Insiemi, sommatorie

Cenni di teoria degli insiemi

Insieme = collezione di oggetti

Insemi numerici =

Notazioni insiemi = lettera maiuscola/grassetto (A, B, C,

Εlementi = lettera minuscola/greca (a, b, c,

L’elemento “a” appartiene all’insieme “A”

Diciamo che due insiemi A e B sono uguali quando tutti gli elementi di A Anche a B e viceversa.

A è sottoinsieme di B quando tutti gli elementi di A sono anche elementi di B

Insieme formato da tutti gli elementi di A e di B. È l’insieme unione di A e B

Insieme formato dagli elementi che sono sia di A che di B. È l’insieme intersezione di A e B

Insieme formato dagli elementi di A che NON sono elementi di B. È l’insieme differenza di A da B

Prodotto cartesiano di A per B. È definito come

Osservazioni

Descrizione degli insiemi = elencazione Elenca tutti gli elementi

Caratteristiche Usa una proprietà per cratterizzare gli elementi dell’insieme

In generale scriviamo

Si postula l’esistenza di un insieme vuoto, ossia l’insieme che non contiene alcun elemento

Proprietà = quando gli insiemi sono definiti tramite delle proprietà

Quantificatori = universale “Per ogni”

Esistenziale “Esiste un”

Esistenziale unico “Esiste un unico”

Esempi

La negazione di una proposizione P è quella proposizione Q che è vera se e solo se P è falsa

Attenzione = quando si usano più quantificatori è fondamentale l’ordine in cui appaiono

Quando si nega una proposizione contentente quantificatori, bisogna far attenzione a cambiare i quantificatori

SOMMATORIE

Definizione = dati

Esempi:

Proprietà = PRINCIPIO DII INDUZIONE

Teorema =

Dimostrazione = procediamo per assurdo: supponiamo falsa la tesi, ossia vera la negazione della tesi,

ossia vera:

Esercizi con sommatorie e progressioni

1) A partire dal 1/1/24 investo 50€annualmente con una rendita del 3% annuo. Quanto avrò accumulato dopo 3 anni?

2) la banca mi presta 50€ ad un tasso annuo del 4% sul debito rimanente. Se dopo ogni anno verso una rata di uguale

importo. Quanto deve essere il valore della rata perchè io saldi il debito dopo 4 anni?

Fattoriale e coefficienti binomiali

Definizione =

Ossservazioni =

Definizioni =

Proprietà dei coefficienti binomiali

Dimostrazioni Numeri razionali (Q)

In Q abbiamo 2 operazioni, somma e prodotto, che verificano le proprietà di campo:

Definizione = dato un insieme A, una relazione d’ordine su A è un sottoinsieme R di AxA |

Inoltre diremo che A è totalmente ordinatoquano vale anche la proprietà seguente:

Applicazioni =

Teorema =

Dimostrazione = supponiamo per assurdo che

Applicazione Insieme dei numeri reali (R)

Limitato (es. 7/5)

Illimitato periodico (es. 1/3)

Definizione = un numero reale è un allineamento decimale proprio e può essere Illimitato non periodico (es.

Fatto = su R si possono estendere le operazioni di somma e di prodotto viste su Q in modo da conservare tutte le proprietà

di campo totalmente ordinate

Teorema di completezza = Elemento separatore di A e di B

Esempio =

Notazioni =

R* = insime dei reali estesi , è un insieme ma non soddisfa più le proprietà di campo

Definizione = dato a R, chiamiamo “modulo di a” |a| il seguente numero:

Proposizioni =

Dimostrazione =

Teorema = (Disuguaglianza triangolare)

Maggioranti, minoranti, massimi, minimi, estremi superiori/inferiori

Definizione = dato A R, A = 0. Diciamo che A é superiormente limitato quando

Un tale elemento M é detto maggiorante di A.

Se A non ammette maggioranti, diremo che A é superiormente illimitato

Analogalmente, diremo che A é inferiormente limitato quando

Un tale elemento m é detto minorante di A

Se A non ammette minoranti, diremo che A é inferiormente illimitato

Esempio = 1) sia A = [0,2] trovarne l’insieme dei maggiotranti e dei minoranti