Insiemi numerici

NUMERI logica

Il linguaggio matematico è strettamente legato alla logica, la quale utilizza il concetto di insieme.

La nozione di insieme è generalmente assunta come primitiva: si usano infatti espressioni come "collezioni", "classi", ecc. Un insieme è determinato dai suoi elementi. Si dice dunque che un elemento appartiene a un insieme.

Per indicare gli insiemi si usano le lettere maiuscole, come A, B, X, Y, ecc. Per indicare gli elementi di un insieme si usano le lettere minuscole, come a, b, x, y, ecc. Per indicare che un elemento appartiene all'insieme si scrive ϵ, come a ϵ A. Per indicare da cosa è composto l'insieme si scrive A={...}.

∀ quantificatore universale: Il simbolo si chiama e si legge "per ogni".

→ implicazione: Il simbolo si chiama e si legge "implica" o "se... allora...".

∃ quantificatore esistenziale: Il simbolo si chiama e si legge...

“esiste”.∃!Il simbolo si legge “esiste ed è unico”.∄Il simbolo si legge “non esiste”.Il simbolo : si legge “tale che”.

Ordine, molteplicità, uguaglianzal’ordine{1, 2} = {2, 1} ossia in cui elenchiamo gli elementi è irrilevante

molteplicità{1, 1, 2} = {1, 2} ossia il concetto di degli elementi è estraneo

uguali,A = B significa che i due insiemi sono ossia possiedono gli stessi elementi.

In altre parole, “Ogni elemento che appartiene ad A appartiene anche a B e ogni elemento che appartiene a B appartiene anche ad A”; in termini matematici:

( )∀ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈( )x x A → x B e x x B→ x A

Inclusione ∀ ∈ ∈(xè contenuto in B x A → x B)A si scrive: A c B o A c B per indicare che . A è sottoinsieme quindi di B.

è strettamente contenuto inA B si scrive: A c B o A c B per indicare che “Ogni elemento

che appartiene ad A appartiene anche a B ed esiste un elemento di B che (∀ ∈ ∈ ∃ ∈ ∈x x A → x B e x B : x A .non appartiene ad A”. Formalmente:

Ricorda: non confondere appartiene con include; un insieme è incluso in un altro insieme, mentre un elemento appartiene a un insieme.

Insieme vuoto

Si definisce l'insieme che non contiene alcun elemento e si indica con il simbolo Ø.

Per qualsiasi insieme A, possiamo affermare che: Ø c A.

Dimostrazione: ∀ ∈ ∈x , se x Ø → x A

Se l'ipotesi è sempre falsa, per le regole della logica allora la tesi è sempre vera e perciò dimostrata.