Insiemi numerici

NUMERI logica,

Il linguaggio matematico è strettamente legato alla la quale utilizza il

insiemi.

linguaggio degli INSIEMI

La nozione di insieme è generalmente assunta come primitiva: si usano infatti

espressioni come “collezioni”, “classi”, ecc. un elemento

Un insieme è determinato dai suoi elementi. Si dice dunque che

appartiene a un insieme.

Simboli

Per indicare gli insiemi si usano le lettere maiuscole, come A, B, X, Y, ecc.

Per indicare gli elementi di un insieme si usano le lettere minuscole, come a, b, x,

y, ecc.

Per indicare che un elemento appartiene all’insieme scriviamo ϵ, come a ϵ A.

Per indicare da cosa è composto l’insieme si scrive A={…}.

∀ quantificatore universale

Il simbolo si chiama e si legge “per ogni”.

→ implicazione

Il simbolo si chiama e si legge “implica” o “se… allora…”.

∃ quantificatore esistenziale

Il simbolo si chiama e si legge “esiste”.

∃!

Il simbolo si legge “esiste ed è unico”.

∄

Il simbolo si legge “non esiste”.

Il simbolo : si legge “tale che”.

Ordine, molteplicità, uguaglianza

l’ordine

{1, 2} = {2, 1} ossia in cui elenchiamo gli elementi è irrilevante

 molteplicità

{1, 1, 2} = {1, 2} ossia il concetto di degli elementi è estraneo

 uguali,

A = B significa che i due insiemi sono ossia possiedono gli stessi elementi.

 In altre parole, “Ogni elemento che appartiene ad A appartiene anche a B e ogni

elemento che appartiene a B appartiene anche ad A”; in termini matematici:

( )

∀ ∈ ∈ ∀ ∈ ∈

( )

x x A → x B e x x B→ x A

Inclusione ∀ ∈ ∈

(x

è contenuto in B x A → x B)

A si scrive: A c B o A c B per indicare che . A è

sottoinsieme

quindi di B.

è strettamente contenuto in

A B si scrive: A c B o A c B per indicare che “Ogni

elemento che appartiene ad A appartiene anche a B ed esiste un elemento di B che

( )

∀ ∈ ∈ ∃ ∈ ∈

x x A → x B e x B : x A .

non appartiene ad A”. Formalmente:

Ricorda: non confondere appartiene con include; un insieme è incluso in un altro

insieme, mentre un elemento appartiene a un insieme.

Insieme vuoto

insieme vuoto

Si definisce l’insieme che non contiene alcun elemento e si indica con il

simbolo Ø.

Per qualsiasi insieme A, possiamo affermare che: Ø c A.

Dimostrazione:

∀ ∈ ∈

x , se x Ø → x A

Se l&r