1 Insiemi numerici

Definizioni sulle strutture d'ordine

JDef: Struttura d'ordine parziale è una relazione su un insieme non tale che:

• Riflessività: ogni elemento è in relazione con se stesso
• Antisimmetria: se due elementi sono in relazione tra loro, allora non possono essere in relazione inversa
• Transitività: se due elementi sono in relazione tra loro e il secondo elemento è in relazione con un terzo elemento, allora il primo elemento è in relazione anche con il terzo elemento

Osservazione: perché un ordine parziale partiziona l'insieme in classi di equivalenza, ogni elemento dell'insieme è ordinato parzialmente rispetto agli elementi della sua classe

Def: Struttura d'ordine totale è una relazione quando:

• Confrontabilità: ogni coppia di elementi è confrontabile tra loro
• L'insieme si forma una catena algebrica non vuota

Osservazione: Max, Min ed insiemi numerici d'ordine nella relazione totale possono essere identificati anche come:

• Discreta: ogni elemento ha un successore e un predecessore
• Semiretta: ha un elemento minimo ma non ha un elemento massimo
• Retta: ha un elemento minimo e un elemento massimo
• Catena: l'insieme è completamente ordinato

Le strutture algebriche e le strutture d'ordine sono quindi compatibili e possono essere viste come strutture ordinate.

Def: campo ordinato N è ordinato munito

di TelèUn unacampo quandod'ordine totale tale maV elemento1 kE2 2se Xe zEyez qualsiasig y2 K ZzXx xzeg.EEE ll2 se neutroe 1oagyOss!: proprietà e corollario della de nizione di campo ordinatoS Etip IfVII 702 acome eyeTh 70X x2 o27o x oinDim un campoordinato 270a Ex0 ox xordinatiI Rusati solonoicampi da saranno eProprietà: gli intervalli di RI IR b elementiab 00exeXEa sonoRdi penetranocueI IR bbQ MaxXE a c dare eddi unXc min alla catenaunIRIb Rb ordinataaXE exeai diIRb bIa elementoaXE exe fe ao grandedi l'insiemetuttop IRXEao aa elemento00 piccoloI IR di tutto l'insiemeaXEa 00C IRIb b00 eXE IRC b bp eXEaoC 11200 00Proprietà (legata alla struttura d’ordine): Max, min, estremo inf e supJDef: intervallo limitato. Sia X RE IG limitato1 X è IMER GEMFAXIsuperiormente quando Tonetti HEXci limitatoX2 quandoinferiormente neHEXERIlimitato Mè 7M due3 X quando neDef: massimi e minimi. Sia X R e x CXE IN FAX1 è diMax XoXo Ene