1 Insiemi numerici

Proprietà fondamentali e definizioni degli insiemi numerici

Insiemi di numeri

Numeri naturali: Insiemi di numeri interi positivi.

Numeri interi: Numeri positivi e negativi.

Numeri razionali: Questi numeri si esprimono come rapporto tra due quantità omogenee.

Numeri reali: Includono numeri razionali e irrazionali.

Numeri complessi: Includono numeri come quelli reali ma con parte immaginaria.

Teorema

La radice di 2 è irrazionale. Supponiamo che esistano numeri a e b, tali che la radice quadrata di 2 sia uguale al rapporto a/b, dove a e b sono numeri interi primi fra loro. Allora, 2 divide a², quindi a deve essere pari. Se a è pari, allora a=2k per un certo intero k. Sostituendo, otteniamo 2b² = 4k², quindi b deve essere pari. Questo contraddice l'ipotesi che a e b siano primi fra loro. Quindi, la radice di 2 è irrazionale.

Esistenza di numeri irrazionali particolari

Esistono numeri a, b irrazionali tali che a elevato a b sia un numero razionale. Ad esempio, prendiamo a = √2 e b = √2. Allora a^b è razionale.

Operazioni interne

Un'operazione è interna a un insieme se, applicata a due elementi dell'insieme, restituisce un elemento dello stesso insieme. Ad esempio, la somma e il prodotto sono operazioni interne ai numeri interi.

Strutture algebriche

Definizione di gruppo

Un gruppo è un insieme munito di un'operazione binaria che soddisfa le proprietà di associatività, esistenza di un elemento neutro ed esistenza di un elemento inverso per ogni elemento.

Gruppo abeliano (o commutativo): Un gruppo è abeliano se l'operazione è commutativa, cioè se per ogni coppia di elementi x, y nell'insieme, x*y = y*x.

Gruppi ed insiemi numerici

Valutando le operazioni all'interno degli insiemi di numeri interi, razionali, reali e complessi, possiamo determinare come queste operazioni siano strutturate e siano chiuse all'interno di tali insiemi.