Appunti sugli insiemi

Esami: Parlami dei concetti di continuità

• Studio bene definizioni
• Numeri
• N: {1, 2, 3, ...} insieme dei numeri naturali
• Z: {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} numeri interi
• Q: Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}

Q: insieme dei numeri razionali, con convenzione che frazioni come 1/3 e 2/6 si identificano.

Teorema: √2 ∉ Q

Disegno triangolo con lati 1, 1, √2

Dimostrazione:

Per assurdo, nego la tesi: supponiamo √2 ∈ Q

• cioè ∃ p, q ∈ N primi tra loro: √2 = p/q
• Dunque √2 = p²/q² cioè 2 = p²/q²

Ne segue che p² è pari, cioè numero pari:

• quindi 3 K ∈ N tale che p = 2K
• Come conseguenza: 4K² = 2q² ↔ q² = 2K²
• E dunque q² è pari, così che q è pari

Dunque sia p che q sono pari, esistenti contra l'ipotesi che sono primi tra loro. → Assurdo.

Conseguenza sono assegnati ai dai numeri

x ∈ [1, 2] (cioè: 1 ≤ x ≤ 2)

x ∈ [1.7, 1.8]

x ∈ [1.73, 1.74]

Con tale proc., dato x ∈ ℝ

pongo x > 0 per fissare le idee e in meno di un’accensione 3c sono unicamente determin.

x₀ ∈ ℕ {0, 9}, x₁, x₂, … infinito tale

…

.. zero e nove 9-c

x₀ ≤ x < x₀ + 1

x₀ + x₁ / 10 ≤ x < x₀ + x₁ + x₂ / 10

x₀ + x₁ / 10 + x₂ / 100 ≤ x < …

Individual così unicamente x₀ (parte intera di x)

è possibile mollare che fissato x nel tale da parte senza def. è unica osserv.

Vale 0 · 9 = 1 e inoltre valgono infiniti termini decimali che terminando in 9.

Non vi sono altri casi d’ambiguità

Notazione: Dato x ∈ ℝ io identif.x come x = x₀, x₁, x₂, x₃ …

x_n ∈ ℤ … salvo 0 o 9

Le cifre decimali si obbligano (con cambiando poi se va avanti)

(Con questo procedono si individua unicamente un num. reale detto somma di x e y assemblando le cifre decimali come sopra)

Si dimostra che per operare su IR soddisfa le seguenti proprietà:

V, x, y, z ER vale:

1. x + y = y + x
2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. x+0 = x
4. x + (-x) = 0

Si, potrebbe, analogo per il prodotto (più delicato ma risulta allo stesso modo)

valgono ancora V x, y, z ER le seg. doppio:

1. (x * y) * z = x * (y * z)
2. (x - y) * z = x * (y * z)
3. x * y = y * x
4. x * 1 = x
5. V x ≠ 0 E un numero reale indichi con ^x-1 (vale che x * x^-1 = 1) (N.B. x^-1 è unico)
6. x * (y + z) = x * y + x * z

Definiz.

Un insieme dotato di 2 operaz. che soddisfano le pare proprietà viene detto campo (N.B. le operaz. devono eseguire insieme al campo)

Teorema IR è un campo

Su IR vi è un ordinamento naturale se dico che x < y se y (noto su una retta reale) è a sx di x (strettamente non ^≥)

Posizione definire analogamente Z, Z, Z