Infiniti, infinitesimi, simboli di landau e asintoti

INFINITI, INFINITESIMI E SIMBOLI DI LANDAU

DEF sia f definita in un intorno di un punto x₀ ∈ ℝ eventualmente privato di x₀. A si dice

• INFINITESIMA per x → x₀ se lim_{x → x0} f(x) = 0
• INFINITA per x → x₀ se lim_{x → x0} f(x) = +∞

Dato due funzioni f, g:

• f = o(g) per x → x₀ se lim_{x → x0} f(x)/g(x) = 0
• f ∼ g per x → x₀ se lim_{x → x0} f(x)/g(x) = 1

ES f(x) = x

g(x) = x + √x

lim_{x → +∞} x/(x + √x) = 1

ES x³ − x = (x²) per x → +∞

lim_{x → 0} x³/x² = lim_{x → 0} x = 0

xⁿ = o(x^m) per x → ∞

se n > m

INFINITI, INFINITESIMI E SIMBOLI DI LANDAU

DEF Sia f definita in un intorno di un punto x₀ ∈ R eventualmente privato di x₀. A si dice

• INFINITESIMA per x → x₀, se lim_{x → x0} f(x) = 0
• INFINITA per x → x₀, se lim_{x → x0} f(x) = ±∞

"o" PICCOLO        "~"

                    EQUIVALENZA ASINTOTICA

Date due funzioni f, g:

• f = o(g) per x → x₀ se lim_{x → x0} f(x)/g(x) = 0 → f è trascurabile rispetto a g
• f ~ g per x → x₀ se lim_{x → x0} f(x)/g(x) = 1

ES f(x) = x

    g(x) = x + √x

Per x → ±∞, f ~ g perché

(ma f(x) = g(x) = √x, x → −∞)

→ se due funzioni sono equiv. asint. non significa che la loro differenza sia piccola

ES x³ = o(x²) per x →±∞

    lim_{x →±∞} x³ / x² = lim_{x →±∞} x = 0

xⁿ = o(x^m) per x →±∞

se n > m

x² = o (x³) per x → ∞

^x→+∞lim _x→+∞x²/x³ = lim_x→+∞1/x = 0

x^m = o (xⁿ) per x→+∞ se m < n

1 - cosx = Θ(x²) per x → 0

lim_x→0 1 - cosx/x² = lim_x→0 1 - cosx/x² ⋅ x/x = 0

sen x ~ x, perche lim_x→0 sen x/x = 1

1 - cosx ~ x²/2 perche lim_x→0 1 - cosx/x²/2 = 1

log(x+1) ~ x

a^x-1 ~ (log a)x perche lim_x→0 a^x-1/(log a)x = 1

f = o(g) => f = o(h) moltiplico e divido per g(x)

lim_x→x0 f(x)/h(x) = lim_x→x0 f(x)/g(x) ⋅ g(x)/h(x) = 0

f ~ f

lim_x→x0 f(x)/f(x) = 1

c)_{ f^~g

g^~h  ==> f^~h   lim _x->x0 f/g = lim _x->x0 f/g · g/h = 1

d) h^~g

lim _x->x0 f(x)/g(x) = l > 0

g/(ℓ)    

e) f = o(1)

   lim _x->x0 f(x)/ 1 =0

f) _{ f^~g

g(x)= o(1) => f - (1)·g = o(1)

g) f^~g => f - g = o(g)

      osc

lim    

x = Θ(x₀)   f = o(1)

f

 x= Θ(x²) = o(x²)

·(z) = ○(f,g) => x·○(x³) = ○(x⁴)

gf

--- => 0 · --- => 0ph

g = h --- --- --- => 0p = fh---g

ES(x + x² + ○(x²))² per x → 0

lim f(x) x→0 x² = 0

= x² + 2x·x² + ○(x²) + 2x³ + 2x·○(x²) + 2x²·○(x²)   =(x²)²                                 =  x³·○(x)                                                                                                         =  ○(x⁴)

                                                                                                                     ⇒  h = ○(x)h^' alg                                                                                                                   h·○(x)h_' =     = ○(x³)=                                                                                                           x³                                                                                     =   0

= x²+2x³+○(x³) +○(x⁴)

• Log(x⁴) perché è contenuto in ○(x³) ⇒ c’è l’interessa su x³ quindi non ha senso scrivere x⁴

PROPRIETÀlim f(x) + ○f(x)x→x₀ g(x) + ○g(x)                   =   lim f(x)                                                                            lim  x→x₀   f(x)+○f(x)------------ = -----------   g(x)+○g(x)  f(x)            (1+ ○(f(x)------------                                        f(x) )    g(x)----- · f(x)g(x)--------------  (1+ ○(g(x)         g(x) )                                                              ⇒   0

----------------------------------                                          ⇒  1

ES

lim_x→+∞ x + sen²x / x² 1/₂ x² − e^−x = √x² + e^−x − θ(x²)³

= lim_x→+∞ x + θ(x) / x² ⟶ θ(x²) =lim_x→+∞ x / x² = 0

f ≈ g ⟷ f − g = θ(g)

per x → 0 solo!

• sen x = x + θ(x) (cos x)²
• cos x = 1 − x² / 2 + θ(x³)
• −log (1 + x) = x + θ(x)
• a^x = 1 + (log a) x + θ(x²)
• (1 + x)^α = 1 + αx + θ(x²)

ES

lim_x→0 1 − cos x + sen (x²) / x³ + x log (1 + x) / x + θ(x) = 0/0 F . l

sen y = y + θ(y)y → y = x²

sen x² = x² + θ(x⁴)lim_x→0 1 − [ − x² / 2 + θ(x⁴) ] + x² + θ(x⁴) /x³ + x [ x + θ(x)] =

lim_x→0 3/2 x² + θ(x⁴)x² + x³ + θ(x⁵) =

lim_x→0 3/2 x² + θ(x²) =

lim_x→0 3/2 x² / x² = 3/2

26

Ordine di Infinito e Infinitesimo

Supponiamo che f(x), g(x) -> +∞ per x -> x₀ ;

• se f = o(g), f ha ordine di infinito inferiore a g
• g = o(f), f ha ordine di infinito superiore a g

lim x -> x ∞ [A(x)/g(x)] è finito e non nullo, f e g hanno lo stesso ordine di infinito.

Negli altri casi f e g si dicono infiniti non confrontabili.

Analogamente per gli infinitesimi con "inferiore" e "superiore" scambiate.

Esempi:

• x³ = Θ(x²) per x -> ∞
• x² = Θ(x³) per x -> +∞
• x¹⁰⁰ , 2^x per x -> +∞
• x¹⁰⁰ ≠ Θ(2^x) per x -> +∞

2^x ha un ordine di infinito superiore a x¹⁰⁰

• Per x -> +∞ f(x) = x g(x) = x(2 + cos x) 1≤ ≤3

lim x -> x ∞ [x / (X(2 + cos x))] NON ESISTE (f e g NON CONFRONTABILI)

ES

x -> ∞

f(x)=∛x

g(x)=2∛x + x

lim (x -> ∞) ∛x / (2∛x + x) = lim (x -> ∞) 1 / (2) = 1/2

INFINITESIMI DELLO STESSO ORDINE

(vale anche per INFINITI)

DEF

sia f(x) un infinito per x -> x₀.

f(x) si dice infinito di ordine α

rispetto a g(x) per x -> x₀ se

lim (x -> x₀) f(x) / (g(x)α) = l è finito e non nullo

f(x) ~ l g(x)α ⇔ f(x) = l ∼ g(x)α

f(x) ~ l g(x)α ⇔ f(x) = l + o(g(x)α)

ES

f(x) = x²(∛x + 3) è infinitesimo per x -> ∞

g(x) = x

f(x) = 3x² + x²∛x = 3x² + o(x²)

• PARTE PRINCIPALE
• ORDINE DI INFINITESIMO DI f RISP. A g È (2)

ASINTOTI

• VERTICALI:

se il lim (x -> x₀⁺) f(x) = ±∞ oppure lim (x -> x₀⁻) f(x) = ±∞

diciamo che x = x₀ è un ASINTOTO VERTICALE per f

ORIZZONTALE:

se _lim f(x) = l allora la retta y = l

si dice ASINTOTO ORIZZONTALE DESTRO per f

OBLIQUO:

se f(x)=mx+q + o(1) per x → +∞ allora y = mx+q

si dice ASINTOTO OBLIQUO DESTRO per f

A(x) - [mx+q] = o(1)

OPPURE

m = _lim ^f(x)/_x

x → +∞

q = _lim [f(x) - mx]

x → +∞

DEVONO ESISTERE FINITI

ES:

f(x) = x + (x-1)log ^(x+1)/_(x-1)

x → +∞

log ^(x+1)/_(x-1) > 0

log (1+ x_y) = x_y + θ(x_y), x_y → 0

x_y = ²/_(x-1)

log (1+ ²/_x-1) = ²/_x-1 + θ( ¹/_x-1 )

x → +∞

f(x) = x + (x-1) [ ²/_x-1 + θ( ¹/_x-1 ) ] = x +2+ θ(1)

per x → +∞

ES:

f(x) = 3x - 5 ⇒ f(x) = 3x - 5 + θ(1)

L'ASINTOTO È LO STESSO ⇒ 3x - 5 è una retta