Infiniti, infinitesimi, simboli di landau e asintoti

INFINITI, INFINITESIMI E SIMBOLI DI LANDAU

DEF Sia f definita in un intorno di un punto x₀ ∈ R eventualmente privato di x₀, f si dice

• INFINITESIMA per x → x₀ se lim_x→x0 f(x) = 0
• INFINITA per x → x₀ se lim_x→x0 f(x) = +∞

O "piccolo"

"~" EQUIVALENZA ASINTOTICA

Date due funzioni f, g:

• f = o(g) per x → x₀ se lim_x→x0 f(x)/g(x) = 0
• f ~ g per x → x₀ se lim_x→x0 f(x)/g(x) = 1

ES

• f(x) = x
• g(x) = x + √x

Per x → +∞ f < g poiché

• lim_x→+∞ x/(x + √x) = 1

(ma f(x) - g(x) = -√x → -∞)

se due funzioni sono equiv. asint., non significa che la loro differenza sia piccola

ES

x³ = o(x²) per x → ∞

• lim_x→∞ x³/x² = lim_x→∞ x = ∞
• x^m = o(xⁿ) per x → +∞
• se n > m

x² = o (x³) per x → +∞

lim_x→+∞ x²/_{x³ = limx→+∞} 1/x = 0

x^m = o (xⁿ) per x → +∞ se m < n

1 - cos x = Ɵ(x²) per x → 0

lim_x→0 (1 - cos x)/x = lim_x→0 (1 - cos x) · 1_/x²/_1/2 = 0

per x → 0

sen x ~ x perché lim_x→0 sen x/x = 1

1 - cos x ~ x²/2 perché lim_x→0 (1 - cos x)_/x²/2 = 1

(per il lim notevole)

log (1 + x) ~ x

a^x - 1 ~ (log a) · x perché lim_x→0 a^x - 1_/(log a) · x = 1

log (1 - x) ~ - x

oss lim x → x_o

f = o (g) => f = o (h) moltiplico e divido per g (x)

lim_x→xo f(x)/h(x) = lim_x→xo f(x)/g(x) · g(x)/h(x) = 0_/0

b) f ~ f

lim_x→xo f(x)/_f(x) = 1

ORDINE DI INFINITO E INFINITESIMO

Supponiamo che f(x), g(x) → +∞ per x → x₀; se

• f = o(g), f ha ordine di infinito inferiore a g
• g = o(f), f ha ordine di infinito superiore a g

lim _x→x0 f(x)/g(x) = finito e non nullo, f e g hanno lo stesso ordine di infinito

Negli altri casi f e g si dicono infiniti non confrontabili.

ANALOGAMENTE PER GLI INFINITESIMI con "inferiore" e "superiore" scambiate.

ES.

• x³ = o(x²) per x → ∞

x² ha un ordine di infinitesimo superiore a x³

• x² = o(x³) per x → +∞

x² ha un ordine di infinito inferiore di x³

• x¹⁰⁰, 2^x per x → +∞
• x¹⁰⁰ = o(2^x) per x → +∞

2^x ha un ordine di infinito superiore a x¹⁰⁰

• per x → +∞

f(x) = x

g(x) = x (2 + cos x)

1 ≤ 3

lim _x→+∞ f/g NON ESISTE (f e g NON CONFRONTABILI)