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-> Prof Katia Fesus
= Orari: lunedì dalle 8:30 oppure dalle 12:30
= INSIEMI =
def: "Aggregato caotico di oggetti determinati e distinti" (Cambiò)
- Grappoli caotici, ma ci interessa l'ordine
- Determinati: si può facilmente individuare l'appartenenza all'insieme
- Distinti: gli elementi si presentano una unica volta
Scriviamo con lettere maiuscole il nome dell'insieme (es. R) e con minuscole gli elementi (es. a)
S = {a ;b ;f ;b ;a} con a, b, c ∈ S
QUANTIFICATORI
- ∀ -> per ogni
- ∃ -> esiste
- ∃! -> esiste ed è unico
Diciamo che un insieme è incluso in un altro quando ogni elemento di A appartiene anche a B.
A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
Si potrà anche avere una equivalenza esterna quando A ⊂ B e esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A.
A = {a, b, c} ; B = {a, b, c, q}
A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B ∧ ∃x ∈ B : x ∉ A
Proprietà
Verifichiamo una proprietà Π quando si può essere certi che ∀x ∈ S.
Nel cg. S = {1, 2, 3, 4}
α = n pari
α includendo A = {2, 4} ⇒ A ⊆ S
Applicando anche β = n pari < 3 otteniamo B = {2}
A ⊆ S; α vera, β = {2, 4}
B ⊆ B; β vera, β = {2}
otteniamo che β implica α (se β è vera allora lo sarà anche α) ⇒ B ⊆ A
Chiamiamo β condizione sufficiente e verifichiamo β :
Verificando la congiuntura anche α
α = caso particolare
α ⇒ β, β ⇒ α ⇒ α ⇔ β
Otteniamo una proporzione falsa se γ ∉ n > 100, wav si verifica un nessun elemento creazione di A, ovvero l’insieme vuoto.
A = {φ}
Il prodotto dei due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo.
Se b ≠ 0 b = a . b = a . 0 = 0
- a . 0 = a . (1 + 0) = a
- a . 0 = b . 0 = 0 sei abc = 0
- a . d = d 0
- a ≠ 0
a . b = 0 allora a = 0 o b = 0
(t) dimostrato con b ≠ 0
(ii) se b ≠ 0 => a = 0
- a . 1 = a . (b . 1 ) = (a . b) . b = 0 . b = 0
- a ≠ 0 // per ipotesi
dimostrato attraverso il primo caso.
L'unicità dell'opposto e dell'inverso di un numero.
Supponiamo per assurdo che esistano due opposti e due inversi: a, b con -a ≠ b e a ≠ b
- a (t+a)=0 => a . b = 0 => a+(+a)=a ≠ b
- -a= b per assurdo
Allora:
- a . b = b . b // relazione dimostrata
- -(-a) = a // unico inverso
- a. b = - (a . b) =-ab
- -(-a) + a = 0 // relazione
- a(-b) = e-b // int, moltiplicazione e sottrazione
esse[a . b = (ab)] = ab
se nell'assunzione a ≠ 0 esistono opposto e inversemo che esista l'inverso di a = 0
Sia considerano due insiemi di razionali A i B e dimostriamo che manca un elemento di separazione e e φ.
A={q∈∁:q≤s} ∪{q∈∁:q≥s} a≤x≤b
b={b∈∁:b〉0 ∧ b〈2 ∈`}\\
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