Il necessario per superare "Analisi Matematica 1" - Appunti della prof. Teresa Radice

Prof. Katia Teresa

Orari: Venerdì dalle 8:30 oppure dalle 12:30

INSIEMI

Un “aggregato caotico di oggetti determinati e distinti” (Cantone)

• aggregato caotico: non ci interessa l'ordine
• determinati: si può facilmente individuare l'appartenenza all'insieme
• distinti: gli elementi si presentano una unica volta

Scriveremo con lettere maiuscole il nome dell'insieme (es. R) e con minuscole gli elementi (es. a)

{S = {a,b} = {b,a}

con a,b ∈ S

QUANTIFICATORI

• ∀ ⇒ per ogni
• ∃ ⇒ esiste
• ∃! ⇒ esiste ed è unico

Prof. Rastile Teresa

Orari: Venerdi dalle 8:30 oppure dalle 12:30

INSIEMI

Aggrecato esastico di oggetti determinati e distinti (Lambda)

• aggregato elastico: non ci interessa l'ordine
• determinati: si può facilmente individuare l'appartenenza dell' insieme
• distinti: gli elementi si presentano una unica volta

Scriveremo con lettere maiuscole il nome dell’insieme (es. R) e con minuscole gli elementi (es. a)

S = {a, b} = {b, a} con a, b ∈ S

QUANTIFICATORI:

• ∀ ⇒ per ogni
• ∃ ⇒ esiste
• ∃! ⇒ esiste ed è unico

Diremo che un insieme è incluso in un altro quando ogni elemento di A appartiene anche a B

A ⊂ B ⇔ ∀x: x ∈ A ⇒ x ∈ B

Si potrà anche avere una inclusione propria quando esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A

A = {a, b, c} B = {a, b, c, d, e}

A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A: x ∈ B ∧ ∃x ∈ B: x ∉ A

Proprietà

Verifichiamo una proprietà al quando si può essere applicata ∀ x ∈ S

Ad es. S = {4, 2, 3, 4} α = n pari

α individuerà A = {2, 4} ➝ A ⊂ S

Applicando anche β n pari < 3, otteniamo B = {2}

A ⊂ S: x vero {2, 4}

B ⊂ B: β vero ➝ {2}

Otteniamo che β implica α (se β è vera allora lo sarà anche α) ➝ b ⊂ A

Chiamiamo β condizione sufficiente – se verifichiamo β verifichiamo di conseguenza anche α

Caso particolare: α ➝ β e β ➝ α ➝ α = β

Otteniamo una proprietà falsa se β n < 100, non si verifica su nessun elemento creazione di A ovvero dell’insieme vuoto.

A = {∅}

℘(S) - insieme di tutte e parti di S (tutti i possibili

sottinsiemi pari di vuoto ed S totale)

Operazioni fra insiemi

Consideriamo A, B non vuoti e contenuti in S.

• Unione A ∪ B = {x ∈ S: x ∈ A opp. x ∈ B}
• S = {1, 2, 3, 4} A = {1, 2, 3} B = {3, 4}
• A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
• Intersezione A ∩ B = {x ∈ S: x ∈ A e x ∈ B}
• Secondo l'esempio precedente abbiamoA ∩ B = {3} (graficamente)
• Sottrazione A - B = {x ∈ S: x ∈ A e x ∉ B} (seg(*))B - A = {x ∈ S: x ∉ B e x ∉ A} (seg(*))
• Prodotto
  • Siano A, B, C, ..., N insiemi non vuoti e facciamo il prodotto cartesianoA x B x C x ... x N
  • creiamo una n-upla costituita da n componenti (a, b, ..., n) con a ∈ A, b ∈ B, ..., n ∈ N e con n pari al numero degli insiemi.
  • Es. A = {4, 5} B = {5, 6}
  • A x B = {(4, 5), (4, 6), (5, 5), (5, 6)}
  • → A x B ≠ B x A

Funzioni

Prendiamo X e Y come insiemi non vuoti. Definiamo una funzione f di X in Y tale che ogni elemento di X può appartenere ad un solo elemento di Y.

(f: A ∈ A ∃! B ∈ B; f: A → B)

f: X → Y

f(x) = {

• 1 (x è umano)
• 2 (x è mamma)

Da quanto detto prima, f: I → S - I non sarà una funzione mentre f: I → T - S non sarà una funzione!

Chiameremo l'insieme di partenza X come dominio e l'insieme di arrivo (o delle immagini) Y come codominio.

f: X → Y

f(X) = {f(x) = Y, x ∈ X}, f(x) = y

f(X) ⊆ Y

Tipologia delle funzioni

• Suriiettiva: Se ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X, f(x) = y
• Iniettiva: Se ad ogni elemento del Dom corrisponde un unico elemento del Cod.
• Se una funzione è sia suriettiva che iniettiva allo stesso momento si dire biunivoca (o invertibile).

∀ y ∈ Y ∃! x ∈ X, f(x) = y

f: X → Y

f: Y → X

f^(-1)(B) = {x ∈ X | f(x) = y, y ∈ B}

ASSIOMI

Fissiamo un sistema sui numeri reali (R) e su di essi definiamo le operazioni e definiamo maggiore, minore o uguale.

• *somma*

(a; b) ∈ R x R; R => a + b ∈ R

• *prodotto*

(a; b) ∈ R => a . b ∈ R

//sia per somma che per prodotto

1. proprietà associativa

(a + b) + c = (a + c) + b

2. proprietà commutativa

(a + b)