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- 0 prof Nadine Teresa
= Orari: Venerdi dalle 8:30 oppure dalle 12:30
INSIEMI
Def: "Aggregato caotico di oggetti determinati e distinti" (Cantore)
- a. aggregato caotico: non ci interessa l'ordine
- b. determinati: si puo' facilmente individuare l'appartenenza all'insieme
- c. distinti: gli elementi si presentano una unica volta
Scriveremo con lettera maiuscola il nome dell'insieme (es. R) e con minuscolo gli elementi (es. a)
S={a,b,c} = {b,a,c} = {a,b,c}
QUANTIFICATORI
- ∀ = per ogni
- ∃ = esiste
- ∃! = b esiste ed è unico
Diciamo che un insieme é incluso in un altro quando ogni elemento di A appartiene anche a B
A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B
Si pone anche avere una esclusione parziale quando A ⊂ B se esiste almeno un elemento di B che non appartiene ad A
A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A x ∈ B ∃x ∈ B !&x ∈ A
Proprietà:
Verificheremo una proprietà β quando α finì essere opportu-cata ∀x ∈ S
Ad es. S = {1,2,3,4} α in pari
0 indicizzazione. A = {2,4} ⇒ A ⊆ S
1 applicando anche β, in pari 100 non si verifica per nessun elemento. Creazione di A avverrà
A = (Σ)
Il prodotto di due fattori è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è nullo.
Se b ≠ 0 → a ⋅ b = a ⋅ 0 = a ⋅ (1 + b-1 ⋅ b) =a + a ⋅ b-1 ⋅ b = 0 = a ⋅ b-1 ⋅ ba + a ⋅ 0 = a ⋅ 0 ∧ a ⋅ 0 = 0
Ip. a ⋅ 0 = 0 Ancheq.e.d.
II) a ⋅ (a-1 ⋅ a ⋅ b-1) = (a ⋅ b)-1 = 0 = b-⋅a = 0
Dimostro attraverso il primo caso.
Concetto dell'opposto e dell'inverso di un numero!
Supponiamo per assurdo che esistano due opposti e due inversi -a, a-1, con -a ⋅ b e a ≠ b.Ip. a + (a) = 0 a + b = 0 => a - (a) = a ⋅ b =>- a = -a
Absurdum: (.a ( -a = -b = id)
a ⋅ b = 1a ⋅ b ⋅ -a = 1a-1 ⋅ -a = -b-u ip
Se -(-a) = a id ∴ idem.
s
id ab = [-(ab)] = ab
id =(-a .b) &sube
ep
a(a) = a.b
Contraduzioney--- a
x
O
dimostrando che non vi è elemento di separazione e
e se:
A = {a : a < √2}
B = {b : b > √2}
V non esISTE a razionale tale che
con: A ∩ B = Ø e A ∪ B = Q
si ottVEnGonI quindi a < b ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B, infatti
a ≤ √2 ≤ b
e ; -
con a ∈ A
otteniamo piu di che A e B sono insiemi separati
con a ≤ b ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B
non e non con a ∈ A
otteniamo anche q in vari p. a
dim.
Proprietà di Archimede
∀ x ∈ R ∃ n ∈ N (n > x)
la teoria di sopra
∀ a < 0 supponiamo c ∈ A (elemento di separazione e
c ∈ Q)
∀ a ∈ A c > a (con unc)
e a ∈ A e ...
consideriamo A = {a : a < √2 e
c ∈ A a ≤ c ≤ √2 < ∞ → c < √2
consideriamo un numero c Bidiciato ad un numero naturale
√2 + 1 -√2 + 1
Fisso un punto P del piano π e considero le proiezioni Px e Py. Essendo P il punto defiii▯ora o posso considerare O▯ e O▯ ottenendo:
| x = ascissa di P
y = ordinata di P
| x = (¯)▯
y = ( ...) = 0o y ▯ ordinata di P
x y ε P ε π
| x (x, y) ε nε
- Coordinata cartesiane
Principio di induzione
Sia una proposizione P dipendente da un indice n ε N.
Supponiamo sia vera per n = 0 e supponiamola vera anche per n = k + 1, di▯allora P vera ∀ n ε N.
- Principio utile nelle dimostrazioni di proprietà sui N.
Es. 1 + 2 + 3 + .... + n = n (n + 1)
Verifica per n = 0
1 = 1 (1 + 1)
=1 . 2/2 o 1 = 1
ok!
Verifica per n = n + 1
1 + 2 + ... + n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)/2
((1 - 2 + ... n) + n + 1 ↔ n(n + 1)+n + 1 = [n(n + 1) + 2(n + 1)] =
2/2
↔ n(n+1)
= (n + 1)(n + 2)/2
Verificata per n = n + 1
Il principio di induzione allora appiccati
∀ n ε N
∀x(y)∈X f(x(y))∈X = f(c,y)2 > f(x)2
Si appi … definici.
Funzioni lineari
∀f:∀x∈ℤ→m⋅x+q con m ∈ ℝ:
- m>0 ⇒ f(b):= m⋅x+q … eccitati …
- Pochi …
- m=0 ⇒ f(x):=q
- m<0 ⇒ f(x):= m⋅x+q oltrettanto …
- Poche … m …
∀f(x)=q 6=< ⊥ ∀ ≡ ≡ m⋅x+q=0 …
Gp={x:y∈ℝxℝ y=f(x)}
Gf={j:f(e):j c d X}
m>0 ⇒ f(x)=m⋅x+q
m=0 ⇒ f(x)=q
m=coefficiente angolareq=teatrina auto→quota
si possono risolvere graficamente anche le disequazioni
=> per n ∈ Np
(a)1/n = (c-a)n
- Per ottenere una funzione sim.
bis. darunio restringere. lin.
tenodo a [0,+∞)
______________________________________
∀y ∈ [0;+∞) ∃ x ∈ (0;+∞) | xn = y |
_______________________________________
facciò x1/n è di tuo il-libile solo per a > 0 otteniammo
che x1/α (α va come di rato anche che x-1/α)
Co
o
o x< > a → x << < o x> a > <o <a
→ x
x<o <a
<u → x<
o xx o <o1 →
* Funzione esponenziale *
sia a ∈ R con a > 9 ve lo amo definire f(x) = ax
Tat a suit c'e è
di definizioni di
A(form= di f(x) => ∀ x ∈ R e CoI [0;+∞]
lie → a ∈ > [0;l em]
cerca:
Xuj x > s
ha tutte le Pnovsieto theory pootolta
(3) a0 aa aa0 aa- A(a⊃x xp
p has a)(a)o-2_
peron ax ><x >)
con >>x
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