Il curvilineo di una forma

Il curvilineo di una forma

∫w := γ(t) = [x(t),y(t)] t ∈ [a,b]∫_a^b[X(x(t),y(t)) x'(t) + Y(x(t),y(t)) y'(t)] dt = w è esatto ⇒ ∫_δ₂ w = ∫_δ₁ w se δ₁, δ₂ sono curve che hanno lo stesso punto finale e lo stesso punto iniziale F(B) - F(A)

I casi in cui curve chiuse ma non esatte

w = y/(x²+y²) dx - x/(x²+y²) dy. Chiusa, ma non è esatta A = ℝ² \ {(0,0)} δ₁ circonferenza di centro 0 e raggio 1 ∫_δ₁ w ≠ 0 y(t)= (cos t, sin t) ∫_δ₂ w = ∫₀^2π sin t - cos t dt = -2π ≠ 0

Il curvilineo di una forma

∫w := γ(t) = [x(t), y(t)] t ∈ [a, b]∫_a^b X(x(t), y(t)) x'(t) + Y(x(t), y(t)) y'(t) dt w è esatto ⇒ ∫_γ2 w = ∫_γ1 w se lo stesso punto finale e lo stesso punto iniziale F(B) - F(A)

I casi in cui curve chiuse ma non esatte

w = y/(x² + y²) dx - x/(x² + y²) dy, chiuso, ma non è esatto A = ℝ² \ {(0, 0)}, γ₁ circonferenza di centro 0 e raggio 1 ∫_γ1 w ≠ 0 γ(t) = { cos t sin t ∫_γ2 w = ∫₀^2π -sin t - cos t dt = -2π ≠ 0