Il corpo nero

Il corpo nero

Proprietà di assorbimento/emissione di radiazione elettromagnetica da parte di oggetti allo stesso termine.

• Il moto di agitazione termica (dal teorema di equipartizione dinamico).
• Secondo la teoria di Maxwell le cariche elettriche sono accelerate e successivamente emettono onde elettromagnetiche.
• L'energia totale media è la somma dell'energia cinetica media e dell’energia potenziale.
• La capacità di assorbimento di radiazione elettromagnetica dipende dalla temperatura dell'ambiente circostante.

Vicenza, se un oggetto è posto in un ambiente con diverse temperature è soggetto a radiazione elettromagnetica incidente sulla superficie.

• Energia potenziale aumenta in modo lineare a temperatura costante.

Osservazioni empiriche:

• Oggetti a temperatura limite emettono radiazione e.m. in continuo spettro/soggetta a frequenze lunghezze d'onda.
• Data energia/toda forma di radiazione è un solo picco associato a specifiche frequenze e lunghezze d’onda.

Definizione di grandezze fisiche per quantificare la proprietà di emissione/assorbimento della radiazione elettra-magnetica da parte di corpi/oggetti.

Potere emissivo

• Energia emessa per unità di area e per unità di tempo.
• Flusso di energia emessa.
• _eem = Emissione totale
• _eem(ν) = Flusso di energia emessa per tutta la frequenza.

Energia incidente

• _einc = Flusso di energia incidente
• _eass = Flusso di energia assorbita.
• _A = Coefficiente di assorbimentoA = _eass / _einc

All'equilibrio termico sono tutte funzioni di T._einc(T) = dipende dalle specifiche proprietà del corpo considerato.T_corpo(T) = Forme, taglie, composizione.C. intersegamo le proprietà in funzione della frequenza.

Introduco una funzione di distribuzione (della frequenza)._einc(ν) = Energia incidente per unità di frequenza

_einc(ν) dato: Flusso di energia che per frequenza come r.

_e(ν) funzione di ν, come ν. B_ν, _em(ν, T)

_A(ν, T) sono utilizzate per unità di frequenza

non è una funzione di distribuzione.

0 ≤ _A(ν, T) ≤ 1

IR corpo opaco definito come un assorbitore ideale.Oggetto per cui _A(ν, T) = 1

Teorema di Kirchhoff (1859)

Legge di Rayleigh-Jeans - catastrofe ultravioletta

Per tradurre le equazioni di Maxwell nella cavità si comprenderà:

1. Energia associata ad oscillazione stazionaria che risolvano le eq. di Maxwell e costanti in funzione di frequenza.
2. Calcolare energia come modo di oscillazione per calcolare la densità di E nella cavità dipendente da:

Simile alla densità degli stati (stat. classica) independente da T, ogni oscillatore ha una propria densità degli stati.

Sostituendo eq. di Maxwell ottengo:

E(ν,T) = K_BT

g(E) = 8πν²/c³

L'energia media di un'oscillatore mono dipende dalla frequenza

E = ψ(ν,T) = K_BT

E_b(ν,T) = Cμ(ν,T) = 2πν²K_BT

Fisica classica:

μ(κ_B) = 8πν²K_BT - 4ν³8π K_B T/c³ = ν³F(x)

F(x) = 8πK_B x/c³

e (come energia totale viene armonica e costante nel tempo ma oscilla tra energia potenziale ed energia cinetica . . .)

CATASROFE ULTRAVIOLETA!

E_b(ν,T) → ∞ e ∫ (E_b(ν,T) du = +∞

Aree atome

Il problema: Frequenze alte → catastrofe ultravioletta

Calcolo g(v_r)

g(v_r) dv = numero di modi di oscillazione indipendenti per unità di volume con frequenze comprese tra [v_r, v_r+dv].

Calcoliamo G(v_r) = numero di modi di oscillazione indipendenti per unità di volume con frequenze minori uguali a v_r.

Per contarli frequenze contiamo quante terne di interi positivi (m_x, m_y, m_z) ci sono m_x² + m_y² + m_z² ≤ v_r²

Ovvero a contare i modi di oscillazione indipendenti per ogni terna.

Nel nostro spazio dimensionale (m_x, m_y, m_z) per ogni m_z massimo corrisponde una volume un terna, l’ultima m_x2 + m_z2 ≤ v_r2 corrisponde una sfera di raggio v_r, per cui equivalente al massimo 1 può essere utilizzato.

Se λ≥2L/V ⇒ 2L/V - 2L = 2l/v_r

= il raggio della sfera a grande impatto sulla lunghezza d’onda

la lunghezza della sfera è una buona approssimazione della lunghezza della lunghezza onde classiche

Negli esperimenti del 1900: λ = 60 μm

Si trova:

G(v) = G_inπ2L/v = 1/3

G(v)=G_in2L/v = 2/3

G(v)=G_in3L/v = 1

G(v) mi interessa il numero di modi per unità di volume

valore apero al raggo 2L/v nello spazio (m_x, m_y, m_z) triplo contare 2 polarizzazioni indipendenti

media = (non è ottenute al max., m_y, m_z) per ogni (m_x, m_y, m_z)

=> G(v)=^8πv3_c³

di cui:

g(v) = ^dG/dv = ^8πv2_c³

Il risultato voluto

Un modo di oscillazione stazionario equivale ad un oscillatore armonico (di ν=1)

Consideriamo la densità di energia associata al campo e.m.

U(x,y,z,t) = U₀(x,y,z,t) + U_e(x,y,z,t)

U_e(x,y,z,t)

Ue(x,y,z,t) = E0Ex(x,y,z,t) + Ey2(x,y,z,t) + Ez2(x,y,z,t)

U₀

U0 + c0Bx(x,y,z,t) + By2(x,y,z,t) + Bz2(x,y,z,t)

deminito di energia potenziale elettrica

energia addestri di energia potenziale magnetica

Corrispondente classica energie continua

E_e =

U_e(t)

integrando nelle volumen attraverso le calvisio si ottengono energia potenziale elettrica con il quale potedale magnetica contenente nella cavità:

E_e(t) = ^{∫∫ ∫}_{X Y 2L} dx dy dz lt _e(x,y,z,t)

u(x,y,z,t)

E₀(t) = ^{∫∫ ∫}_{0 y L} dx dy dz μ_e(x,y,z,t)

Esercizio (es. 3): Oscillatore armonico macroscopico al quale...

E_m = h ν

• massa m = 300 g = 0,3 Kg
• k = 10 N/m
• A = 10 cm = 0,1 m

a) energia totale

b) Frequenza angolare

c) quanto fondamentale di energia con ν..

d) Livello energetico corrispondente alla..

...quantizzazione &neq; ΔA_m = A_nm + A_m

...differenza in ampiezza massima di oscillazione...

1. E_m = 1/2 kA₂ = 1/2 10 (0,1)₂ = 0,05 J
2. ω₀ = √(k/m) = √(10/0,3) = 0,92 Hz
3. f = ω⁰ / 2π = 0,92 / 2π = 0,147 Hz
4. J = 6,2 × 10^-34
• f = 0,92 Hz 6,1 × 10^-33
5. a) E_m = h ν E_m = 6,1 × 10^-33 J