Identificazione di modelli

N

la funzione è calcolata dai dati. Il criterio migliore è quello che minimizza la funzione di costo:

̂

M = J (M )

! (problema computazionale, prodotto dall’identificazione)

argmin N

M ̂

M

4. Validazione del modello ! . Questo può essere fatto in vari modi, per esempio testandolo su nuovi dati, se

se ne hanno a disposizione, e permette di capire se è necessario ripetere la procedura ripartendo dal

̂

M

passo (2), o addirittura dal (1), facendo scelte diverse, o se ci si può fermare qui e restituire il modello !

1. Raccolta dei dati Consiste nel fare un esperimento su un sistema

vero; se presente, si va a iniettare un certo ingresso

per un certo evento temporale, e si va a misurare

l’uscita corrispondente sullo stesso orizzonte

temporale.

N è l’orizzonte temporale dell’esperimento. È

necessario decidere quando lungo deve essere

l’esperimento, ossia quanto vale N.

Per un sistema I/O con controllabile il problema

u

consiste nel decidere l’andamento dell’ingresso ottimo per rivelare il più possibile di S. Page ! 32 of ! 55

Wednesday, 10 October 2018

2. Definizione della classe di modelli

( ) Esistono moltissimi possibili modelli:

̂ |

i u (i ) y (i ) y i i − i, θ

! ! ! ! •A tempo discreto o a tempo continuo

( )

̂ |

1 u (1) y (1) y 1 0,θ

! ! ! ! •Lineari o non lineari

( )

2 ̂ |

u (2) y (2) y 2 1,θ

! ! ! ! •Tempo invarianti o tempo varianti (LPV)

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

! ! ! ! •Parametrici o non parametrici

( )

N ̂ |

u (n) y (n) y N N − 11,θ

! Considereremo sistemi a tempo discreto, lineari, tempo invarianti

! ! ! e parametrici. nello specifico, utilizzeremo modelli stocastici di

tipo ARMAX come presentati finora, ossia

−1 −p −1 −p

b (θ ) + b (θ )z + . . . + b (θ )z c (θ ) + c (θ )z + . . . + c (θ )z

0 1 p 0 1 p 2

y (t ) = u(t − d ) + e(t ) e(t ) ∼ W M(0,λ )

! 1 − a (θ )z − . . . − a (θ )z 1 − a (θ )z − . . . − a (θ )z

−1 −m −1 −m

1 m 1 m

θ è un vettore di parametri che parametrizza i coefficienti dei polinomi A, B e C di modelli ARMAX: i

(z, ), (z, ), (z, )

A θ B θ C θ

polinomi saranno quindi scritti come ! .

La famiglia di modelli considerata è indicata con:

{ }

(z, ) (z, )

B θ C θ 2

ℳ = y (t ) = u(t − d ) + e(t ), e(t ) ∼ W N (0,λ ), θ ∈ Θ

! (z, ) (z, )

A θ A θ

Θ

In cui ! è il dominio di ammissibilità per θ. θ

1

θ

θ =

Se il vettore di parametri θ è formato da ! , allora potremo avere un’uscita del tipo

2

θ

3

2 −1 −1

θ + θ θ z sin θ + cos θ z

1 1 2 1 2

y (t ) = u(t − d ) + e(t )

! 1 + θ z 1 + θ z

−1 −1

1 1

a (θ ), b (θ ), c (θ )

Il fatto di avere ! permette di incorporare nei

i i i

modelli eventuali informazioni a priori su S, derivate da

conoscenze fisico ingegneristiche.

Un’identificazione di questo tipo è detta La

Grey box.

“nuvoletta” di S non è completamente sconosciuta! La

principale conoscenza di S è in porporata nella struttura di

(θ )

M

! . Le identificazioni su cui ci concentreremo sono di tipo black

non si ha nessuna conoscenza sulla struttura di S; non ha

box:

quindi senso avere una struttura su parametri a, b, c. Il vettore

di parametri è quello dei coefficienti dei polinomi A, B, C:

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a

1

⋮

a m

b

0

b −1 −p −1 −p

b + b z + . . . + b z c + c z + . . . + c z

1 0 1 p 0 1 p

θ = , y (t ) = u(t − d ) + e(t )

⋮

! 1 − a z − . . . − a z 1 − a z − . . . − a z

−1 −m −1 −m

1 m 1 m

b

p

c

0

c

1

⋮

c

m

Tutti questi coefficienti sono da scegliere.

Θ

! è il dominio per θ: dipende da scelte del progettista e incorpora informazioni note a priori.

−1

b c + c z

0 0 1

y (t ) = u(t − 1) + e(t )

Per un’uscita pari a ! , avremo che

1 − a z − a z 1 − a z − a z

−1 −2 −1 −2

1 2 1 2

a

1

a 2 ( )

−1 −2

b

Θ = 1 − a z − a z < 1

! poli

0 1 2

c

0

c as. stabilità

1

a

1

a 2 1

( )

−1 −2

b

Θ = ∃ 1 − a z − a z =

! polo

0 1 2 2

c

0

c

1

Ipotesi: C(z, θ ) C(z, θ )

Θ e(t ) e(t )

! è tale per cui ! (parte ARMA) è in forma canonica forte, e gli zeri di ! sono in

A(z, θ ) A(z, θ )

modulo <1.

Il criterio di identificazione è predittivo e l’ipotesi ci garantisce di poter utilizzare la teoria della predizione.

ℳ

L’ipotesi può essere sempre verificata in quanto la classe di modelli ! è scelta da noi, e ha un impatto su

ℳ

quanto rappresentativa è ! per un dato S.

Chiedere che ci sia canonicità non è limitativo: non stiamo infatti cambiando quello che il modello può dare,

semplicemente è una molteplicità di rappresentazioni dello stesso oggetto. I processi ARMA canonici sono

uguali ai processi ARMA non canonici.

Viceversa, l’ipotesi degli zeri in modulo minore di 1 toglie una parte di modelli ARMA, più precisamente

y (t ) = e(t ) + e(t − 1)

quelli con zeri in modulo pari a 1, per esempio ! .

Andando a parlare di identificazione di modelli non è così limitativa: modelli ARMA con zeri pari a 1

possono essere approssimati molto bene con modelli che hanno degli zeri molto vicini a 1 ma ancora

all’interno della circonferenza di raggio unitario.

{ }

(z, ) (z, )

B θ C θ 2

ℳ = y (t ) = u(t − d ) + e(t ), e(t ) ∼ W N (0,λ ), θ ∈ Θ

La famiglia ! è caratterizzata da

(z, ) (z, )

A θ A θ

( )

2

2

λ θ̄ = θ, λ

θ e da ! : ! . Anche la varianza del rumore bianco deve essere determinata dai dati in quanto il

rumore bianco è una nostra modellizzazione delle cause che determinano l’uscita del sistema vero S. Il vero

y

2

θ̄ λ

vettore dei parametri è ! , e θ è più importante di ! . Viene identificata per prima la parte, una volta

2

λ

identificato θ, ! si ottiene facilmente dopo Page ! 34 of ! 55

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In realtà ci sarebbero altri parametri che potrebbero essere inseriti nel modello, ma che vengono considerati

come fissi.

Essi sono gli ordini del processo ARMAX, ossia la lunghezza dei polmoni A, B, C (fondamentale per ottenere

buone descrizioni di S), e il ritardo tra l’ingresso e l’uscita (che è facilmente misurabile):

m , n , p , d

! ⏟

ritardo

ordine del x

tra

modello y

e

ARMAX ( )

2

θ λ m , n , p, d

L’identificazione simultanea di ! (e di ! ), e di ! tipicamente è difficilissima. Procediamo quindi

( )

m , n , p, d

solitamente con l’identificazione con ! fissati, la scelta dell’ordine ottimo viene lasciata a posteriori

( )

m , n , p, d

durante la fase di validazione. Questa scelta di ! migliori prende il nome di scelta dell’ordine.

3. Introduzione di criteri di identificazione { }

y (1), y (2), . . . , y (n)

Il punto di partenza deve basarsi soltanto sui dati misurati: ! , che sono numeri reali

u(1), u(2), . . . , u(n)

(misure). (z, ) (z, )

B θ C θ

y (t ) = u(t − d ) + e(t )

Il criterio di identificazione deve relazionare i dati con il modello ! .

(z, ) (z, )

A θ A θ

È necessario confrontare i dati con le uscite del modello, ma c’è un problema: il modello è stocastico, infatti

e(t ) = e(t, s)

! . Non ho una singola realizzazione del rumore bianco, ma ne ho infinite! Anche y è un processo

y (t ) = y (t, s)

stocastico: ! , conseguentemente ho infinite possibili realizzazioni. Cosa confronto con i dati che

sono una realizzazione finita?

Per risolvere questo problema esistono molte soluzioni, una di queste prevede di passare attraverso la teoria

̂ (θ )

M(θ ) ⇒ M

della predizione, cioè dai modelli stocastici ai modelli in forma di predizione: ! .

(z, ) (z, )

B θ C θ B(z, θ )E(z, θ ) F (z, θ

( )

̂ |

y (t ) = u(t − d ) + e(t ) ⇒ y t t − 1 = u(t − d ) + y (t − 1)

! (z, ) (z, )

A θ A θ C(z, θ ) C(z, θ )

predittore per il generico processo ARMAX

̂

M(θ )

IDEA: si alimenta ! con i dati raccolti. ( )

̂ ̂ |

y i i − 1,θ , i = 1,...,N

M(θ )

L’uscita ! è una sequenza di valori ! che è confrontabile con l’uscita misurata

y (i ), i = 1,...,N

! . ( )

̂ |

y i i − 1,θ y (i ), i = 1,...,N

Criterio di identificazione: scegliamo il θ che rende ! il più vicino possibile a ! .

Prendiamo quindi il modello che ha il miglior comportamento predittivo sui dati visti.

Un modello è tanto migliore quanto meglio riesce a prevedere il comportamento futuro dell’uscita.

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Wednesday, 10 October 2018

Una scelta che sembra opportuna è quella che va a considerare la varianza dell’errore di predizione

N

1 ( ) 2

( )

̂

∑ |

J (θ ) = y (i ) − y i i − 1,θ

empirica: ! N N i=1 errore di predizione ̂

θ = J (θ )

Il modello ottimo è quello che minimizza la varianza dell’errore empirica: ! argmin

n N

M Page ! 36 of ! 55

Monday, 15 October 2018

7. Identificazione PEM (Prediction Error Minimization)

N

1 ( ) 2

( )

̂ ̂

∑ |

J (θ ) = y (i ) − y i i − 1,θ

! N N i=1

̂ ̂

θ J (θ )

! argmin

n N

θ

OSSERVAZIONE

( ) ( )

−1 −1

B z , θ C z , θ

M(θ ) : y (t ) = u(t − d ) + e(t )

! ( ) ( )

A z , θ A z , θ

−1 −1 2

θ λ

Le realizzazioni di y(t) dipendono da