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Stima e Identificazione

27/02/24

Variabili Aleatorie

X = [x1, x2, ..., xn]T = [x1 xn] ∈ ℝn

  • PDF (Probability Density Function)

fX(x) : ℝn → ℝ≥0

∫ℝn fX(x) dx = ∫ fX(x) dx = Prob(X ∈ ℝn) = 1

Data PDF fX(x) e dato un arbitrario sottoinsieme S ⊆ ℝn:

Prob (X∈S) = ∫S fX(x) dx

In alternativa, X può essere caratterizzata dalla:

  • CDF (Cumulative Distribution Function)

FX(x) : ℝn → ℝ≥0

FX(x) = Prob (X ≤ x) = Prob (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ..., Xn ≤ xn) =

= Prob (X1 ∈ (-∞, x1], X2 ∈ (-∞, x2], ..., Xn ∈ (-∞, xn]) =

= ∫-∞x1 ... ∫-∞xn fX(x1, x2, ..., xn) dx1 dx2 ... dxn

S ⊆ ℝn

Da PDF fX(x) ottengo CDF FX(x) = ∫ fX(x) dx

e da FX(x) → fX(x) = ∂FX(x) / ∂x1∂x2 ... ∂xn

Operatore di Media/attesa (Expectation)

E[g(X)] = ∫ g(x)fX(x) dx

(funzione di v.a.)

Momenti di una v.a.

  • 1° ordine (Media di X ∈ ℝn):

mX = x̄ = E[X] = ∫ x fX(x) dx ∈ ℝn

mx = [m1, m2, ..., mn]T, mi = E[xi]

E[X - mx] = 0 = E[X]

- 2o ordine (Matrice di) covarianza

Σx = E[(X - mx)(X - mx)T] = E[χχT] =

Σx = [σ11 … σ1n] [… …] [σn1 … σnn] ∈ ℝnxn

σii = E[(Xi - mi)2] = var(xi)

σij = E[(Xi - mi)(Xj - mj)] = Cov(Xi, Xj) = Cov(Xj, Xi) = σji

→ Σx = ΣxT [È simmetrica]

Def

Matrice quadrata M dici

definita positiva / semidefinita positiva (o non negativa) se e solo se:

∀ u ∈ ℝn\{0} : uTMu > 0 / ∀ u ∈ ℝn : uTMu ≥ 0

Σx > 0 / Σx ≥ 0

Si può verificare che Σx ≥ Σx > 0

Infatti, si consideri la v.a. Y = yTX, y ∈ ℝn\{0} / y ∈ ℝ

Σy = E[(y - my)2] = E[(y - my)(y - my)T]

my = E[yTx] = yTE[X] = yTmx

Σy = E[(yT χT)] = ζx E[(yT χχTu)] = yTE[χχT]y = yTΣxy ≥ 0

var(Y) ∀ ω ∈ ℝn

- [E[Y]]

→ Σx ≥ 0

Riassumendo: Σx è una matrice simmetrica e semi-definita positiva

σii = var(Xi) ≥ 0 le componenti diagonali devono essere non negative

ρij = Cov(Xi, Xj) √var(xi) var(xj) = std-dev(Xi) σi = √var(Xi)

Coefficiente di correlazione fra Xi e Xj, i ≠ j

Si dimostra ρij ∈ [-1, 1]

Condizionamento di X dato Y

(stima di X sulla base di Y): prodotto della PDF a priori fX(x) per la verosimiglianza fY|X(y|x) normalizzato dalla costante:

∫fY|X(y|x)fX(x)dx

Def.

V.A. X e Y dicono indipendenti se fX,Y(x,y) = fX(x)fY(y)

X e Y indipendenti ↔ ∑XY = E[X - mX)(Y - mY)] ∈

∫∫(x - mX)(y - mY)fX,Y(x,y)dxdy = ∫∫(x - mX)fX|Y(x|y)dxdy = E[X](...) = 0 → X ⊥ Y

X e Y indipendenti ↔ X ⊥ Y (incorrelate)

X e Y indipendenti ⇒

  • i) FX,Y(x,y) = FX(x)FY(y)

PDF di una funzione di V.A.

X ~ fX(·) → Y = g(X)(·) → fY(·)

  • es. X = ⌊5/ξ⌋
  • Y = √(ξ2 + η2)

g(X) = g(ξ,η)

Teo. 1

X ~ fX(·), Y = g(X)/∃g-1(·) : X = g-1(Y) → fY(y) = fX(g-1(y))

Jacobiano det |∂Y/∂X (g-1(y))|

Corollario 2

X ~ fX(·), Y = g(X), ∃g-1 X e Y scalari →

Corollario 3

  • X1 = f1(·), X2 = f2(·), X1 e X2 indipendenti
  • Y = X1 + X2

fY(·) = f1 * f2(·) con f1*f2(·) = ∫f2(x)f2(y-x)dx

APPENDICE E

Valori percentili (χ2) per la distribuzione chi-quadrato con ν gradi di libertà

ν 0,0 0,02 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 1,0 1 0,000 0,000 0,004 0,016 0,049 0,103 0,211 0,575 1,32 2,71 4,00 5,02 6,63 7,88 10,83 12,0 13,82 2 0,010 0,020 0,103 0,211 0,446 0,713 1,39 2,71 4,71 6,02 7,38 9,21 10,60 14,14 16,87 18,4 3 0,072 0,116 0,351 0,584 1,01 1,42 2,37 3,67 6,25 7,81 9,25 11,34 12,84 16,87 19,68 21,8 4 0,207 0,297 0,711 1,06 1,65 2,20 3,36 5,99 7,78 9,24 11,05 13,28 14,86 18,46 22,10 23,89 5 0,412 0,554 1,145 1,61 2,34 3,00 4,35 6,98 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75 20,52 23,79 25,38 6 0,676 0,872 1,635 2,20 3,07 3,83 5,35 8,56 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 22,46 25,99 27,61 7 0,989 1,239 2,167 2,83 3,82 4,67 6,35 10,0 12,0 13,98 16,01 18,48 20,28 24,32 27,94 29,98 8 1,344 1,646 2,734 3,49 4,59 5,53 7,34 11,5 13,36 15,51 17,53 20,09 21,96 26,12 29,92 31,73 9 1,735 2,088 3,325 4,17 5,38 6,39 8,34 12,9 14,68 17,01 18,98 21,67 23,59 27,88 31,74 33,71 10 2,156 2,558 3,940 4,87 6,18 7,27 9,34 14,2 16,1 18,41 20,48 23,21 25,19 29,59 33,50 35,61 Pearson, E.K., Hartley, B.O., Biometrika Tables for Statisticians, vol. 1 (1966), tabella 2.
Dettagli
Publisher
martiniger
A.A. 2023-2024
139 pagine
SSD Ingegneria industriale e dell'informazione ING-INF/04 Automatica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher martiniger di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Stima e identificazione e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Firenze o del prof Chisci Luigi.