Appunti di Identificazione e stima dei modelli

Lezione 1: Prerequisiti del corso

I prerequisiti del corso includono corsi di analisi dei sistemi e analisi matematica, o meglio di analisi matematica applicata. Non ci interessa tanto la struttura logica e deduttiva di un teorema come prodotto di un nostro ragionamento. Il nostro ragionamento di solito parte dal mondo reale, produce un’astrazione della realtà di tipo matematico quantitativo, elaboriamo questa astrazione e poi torniamo nella realtà con dei risultati, risultati che andranno confrontati con la realtà stessa.

Matematica applicata

In questo senso, la matematica applicata prevede l'utilizzo di un ragionamento matematico con il presupposto che le finalità del nostro ragionamento matematico siano legate al nostro congegno. Questo modo di rapportarsi alla realtà è un modo che contraddistingue gli ingegneri e dà quel valore aggiunto rispetto ad altri soggetti che si occupano della realtà economica. Questa disciplina la useremo per “quantificare”: un conto è parlare di economia o pontificare, un conto è fare proiezioni di quello che saranno, ad esempio, le vendite di automobili per i prossimi sei mesi.

Noi ci collochiamo nell’economia quantitativa, nell’econometria, anche se poi il corso si chiama identificazione dei modelli e controllo ottimo. In realtà, il corso si sarebbe dovuto chiamare “controllo ottimo e identificazione dei modelli” per la consecutio degli argomenti. Vediamo cosa sono il controllo ottimo e l’identificazione dei modelli.

Controllo ottimo

Abbiamo visto che se costruiamo un modello matematico nel reame dell’astrazione ed è rappresentazione di una certa realtà, presupponiamo che ci sia stata un’edulcorazione in relazione ad una certa realtà. Il modello matematico spesso si presenta nelle forme più curiose. Quello che è stato messo in evidenza nel modello è la caratteristica dinamica del sistema, nel senso che la relazione tra ingresso ed uscita del sistema è una relazione che avviene nel tempo. Il rapporto causa-effetto non si estrinseca istantaneamente. La caratteristica dinamica del sistema, la relazione fra ingressi ed uscite, il legame causa-effetto richiedono la considerazione del tempo: gli effetti si articolano nel tempo e non con un legame istantaneo. Oggi succede una cosa, ma questa cosa genera un effetto domani.

La complessità dei nostri problemi sta proprio in questa caratteristica dinamica. Se causa ed effetto avessero un legame istantaneo, tutte le problematiche sarebbero più semplici. Come nella fisica, esiste anche in ambiti economici, sociali e psicologici una certa “inerzia”, ovvero questa “lentezza” della risposta del sistema. Si può parlare di inerzia termica, con riferimento al fatto che un corpo che ha una certa temperatura ci mette del tempo per raggiungere la temperatura alla quale lo espongo; l’inerzia meccanica (forza, velocità, accelerazione…) e si parla di inerzia sociale quando non ci si adegua subito a delle norme o a dei cambiamenti.

Dicevamo… è dato il modello matematico. Come si usa? Uno dei possibili usi (pensiamo ai problemi di analisi dei sistemi) è esplorare il rapporto causa-effetto. Significa dire che se ho un sistema S descritto attraverso il suo modello matematico ed ho identificato gli ingressi u e delle uscite y, io posso porre questo problema che chiamiamo problema diretto:

• Date le cause e dato il sistema, so prevedere gli effetti.
• Dato un modello matematico della realtà, dato uno stimolo (l’ingresso), io calcolo l’uscita.

In un certo senso, se so risolvere questo problema ho acquisito una certa capacità previsionale! Questo meccanismo serve ad ipotizzare degli ingressi, perché vorrei poter fare questo ragionamento: conosco il mio sistema S, ipotizzo degli ingressi, ipotizzo la politica economica rappresentata attraverso delle equazioni, e voglio vedere come vanno a finire i miei indicatori. Voglio esplorare sinteticamente scenari di possibili azioni. Questa è la soluzione del problema diretto! (In analisi dei sistemi il problema diretto era “dato l’ingresso, trovare l’uscita”).

Se questo è l’uso diretto, l’uso inverso quale potrebbe essere? Per il problema inverso, il modello è sempre dato con questo livello di astrazione. Posso sempre immaginare di avere delle y: io voglio produrre quelle y, cioè voglio che il sistema si comporti nella maniera desiderata. Voglio condizionare il comportamento del sistema ad un comportamento definito. Posso allora dire: qual è l’ingresso che, dato un certo modello ed il comportamento desiderato, produce questo comportamento?

Questa logica di procedere significa controllare il sistema. Controllare un sistema significa determinare un comportamento in maniera tale che non sfugga e sia prossimo al comportamento desiderato. Controllare un’automobile in fase di slittamento, controllare il biglietto dell’autobus… cosa significa? Nell’azione di controllo c’è implicita la volontà di far seguire un certo comportamento!

Controllo ottimo

Che significato ha controllo ottimo? L’ottimizzazione risolve un problema di scelta: laddove io abbia una possibilità di scegliere, l’ottimizzazione mi aiuta, attraverso degli indici di tipo qualitativo, che sono le funzioni obiettivo, ad operare la scelta in maniera ottimale. Un problema di ottimizzazione si pone quando c’è una molteplicità di scelte. Cioè, un problema e la scelta sarà effettuata in base a degli obiettivi (minimizzare quantità di denaro e il tempo che voglio impiegare ad esempio per andare da Napoli a Milano).

Allora, perché si possa parlare di controllo ottimo dobbiamo essere in presenza di più possibilità che conferiscono al sistema un comportamento desiderato, ovvero il mio problema inverso deve ammettere una molteplicità di soluzioni. Dire “il problema non ammette soluzioni” significa dire che non è possibile condizionare il sistema ad avere un certo comportamento, che non posso controllare il sistema! E quindi il problema di ottimizzazione non si pone. Stesso discorso per “esiste una soluzione ed è unica”: nessun problema di ottimizzazione se la soluzione è unica!

Infine c’è il caso di nostro interesse: “la soluzione esiste e ne esistono tante, infinite soluzioni”: ed ecco che si pone il problema della scelta, ed ecco che si pone il problema del controllo ottimo! Controllo ottimo allora vuol dire problema di scelta tra infinite possibili soluzioni che realizzano un determinato comportamento. È un’operazione di tipo matematico-analitico, nel senso che effettivamente ragiono sul modello, sulle equazioni (esiste la soluzione? è unica? esistono infinite soluzioni?) ma in realtà sto sempre ritenendo di dover fare queste operazioni perché voglio fare un’operazione ideale: voglio scegliere una “politica ottimale di intervento”!

Identificazione dei modelli

Il problema dell’identificazione è la terza possibilità che possiamo avere: il sistema esiste, faccio degli esperimenti sul mio sistema e rilevo dati. Se rilevo sperimentalmente che il mio sistema soggetto a degli ingressi ha prodotto delle uscite (rilevati sperimentalmente ingressi ed uscite del mio sistema), mi pongo il problema di individuare il modello del sistema che riesce a produrre questo legame tra questi dati. Alla fine avrò un set di dati ingresso, un set di dati di uscita schedulati naturalmente nel tempo (trattandosi di fenomeni dinamici bisogna considerare la variabile temporale).

Spesso chi fa questo tipo di cose in ambito economico sente parlare di “serie temporali” di dati. Questa espressione ci fa capire che i dati sono una serie, serie “temporale” perché i dati sono presi in istanti di tempo definiti (serie temporale delle vendite delle automobili in Italia nell’ultimo semestre, ad esempio). Si capisce che la variabile temporale è la variabile indipendente!

Allora, data la serie temporale degli ingressi e delle uscite, trovare il legame, cioè quell’effetto che noi abbiamo rilevato sperimentalmente. L’identificazione è una tecnica interessante quando si esplorano delle realtà in cui non esistono leggi costitutive. Spieghiamo meglio…

Che cosa sono le leggi costitutive? Nell’ambito della meccanica newtoniana conosciamo i principi di Newton. È una legge costitutiva, nel senso che è un principio che non possiamo giustificare. È un assunto, un assioma, un dogma! Il principio di inerzia è un principio che asserisce la verità di un’asserzione senza alcun esame. Tuttavia, il fatto che le conseguenze di questo principio siano così prossime alla tendenza della nostra esperienza fa sì che noi riteniamo questo principio valido. Lo stesso principio newtoniano applicato in situazioni nelle quali le velocità sono prossime a quelle della luce rivela una sua fragilità, una sua inconsistenza… e così passiamo ad un altro assunto di tipo relativistico, per cui passiamo dalla meccanica newtoniana a quella relativistica che ha un altro campo di validità, con delle velocità molto elevate.

Ebbene, attraverso l’uso di leggi costitutive io produco dei modelli matematici. Le leggi costitutive nell’ambito della fisica e della meccanica esistono. Le leggi costitutive dell’elettromagnetismo sono le equazioni di Maxwell… Ogni ambito della fisica ha le sue leggi costitutive che fungono da supporto per la nostra produzione di modelli matematici. Se però affronto altre realtà che non sono fisiche, come ad esempio il dominio dell’economia, non esistono leggi costitutive universalmente accettate, non esistono “principi”.

Nell’ambito dell’economia questa tipologia di leggi costitutive a cui i fenomeni devono adattarsi non esistono o hanno validità molto relativa, e quindi si escludono dei comportamenti. Nell’ambito delle scienze in cui queste leggi costitutive non dovessero esistere, per la produzione dei modelli bisogna far ricorso ai dati: posso rilevare serie storiche di dati di uscita e di ingresso e posso generare il modello anche in assenza di leggi costitutive. E l’idea dell’identificazione è proprio quella di produrre il modello dai dati! Il modello non è l’elaborazione, non è l’applicazione di un principio fisico ma proviene dall’analisi dei dati.

Mi interessano i numeri in quanto numeri e la relazione che riesco a creare fra questi numeri di ingresso e questi numeri di uscita. Riesco a creare una plausibile relazione fra questi numeri in modo da giustificare come dai numeri in ingresso si possano generare i numeri in uscita? Bene! Questo è un modello fondato sui dati! Non è fisicamente basato, non è basato su leggi costitutive ma è fondato sui dati. L’obiettivo dell’identificazione è quello di elaborare dati, senza sapere neanche di cosa si tratti (dati astratti), e quindi generare il modello matematico che non è altro che un generatore di numeri: metto dei numeri dentro, delle sequenze e mi produce delle sequenze.

Se c’è un “livello di parentela”, un livello di correlazione alto fra queste sequenze di ingresso e di uscita generate dal modello e quelle rilevate sperimentalmente aumenta la fiducia del modello e dirò che quello che ho identificato è un buon modello di una realtà che ho studiato senza il supporto di leggi costitutive.

Identificazione di tipo black box

Questa di cui abbiamo parlato generalmente si chiama identificazione di tipo a “scatola nera”, black box, nel senso che nel box non vedo le equazioni, non vedo la legge costitutiva, e sono io che devo creare un legame fra ingresso e uscita. Questo a “scatola nera” è un estremo del problema di identificazione. L’altro estremo del problema è quello a “scatola trasparente”, una scatola che mi fa vedere la legge costitutiva, la legge fisica alla quale mi devo in qualche modo attenere.

Tra la via della scatola completamente trasparente e quella della scatola nera vi sono tutte una serie di sfumature di colore, vari livelli di grigio, che corrispondono a tutta una serie di situazioni intermedie che posso affrontare come problemi di identificazione a vari stadi. Importante è aver capito la differenza fra i due estremi. Abbiamo così chiarito perché il corso si chiama “identificazione dei modelli e controllo ottimo”.

Vedremo che anche il problema di identificazione può essere ricondotto ad un problema di ottimizzazione, per cui se sappiamo fare l’ottimizzazione sapremo affrontare un problema di identificazione.

Come si pone un problema di ottimizzazione

Riprendiamo dei concetti che dovremmo già conoscere ma che vale la pena di rinfrescare… e vediamo come si pone un problema di ottimizzazione. Facciamo riferimento al caso più semplice di problema di ottimizzazione, ovvero al “caso statico” in cui la variabile temporale non è presente. Questo tipo di problema lo abbiamo trattato in ricerca operativa.

Elementi di un problema di ottimizzazione

Quali sono gli elementi che caratterizzano un problema di ottimizzazione? Un primo elemento è l’insieme di ammissibilità, cioè l’insieme all’interno del quale devo andare a trovare le soluzioni. Questo insieme di ammissibilità lo chiamiamo U. Nell’insieme U ci sono degli elementi (meglio non parlare di soluzioni), che chiamiamo u. U è un insieme e u sono degli elementi di U che possiamo immaginare come dei vettori di n componenti u₁, u₂, ..., u_n.

Quindi abbiamo uno spazio vettoriale di dimensione n, un vettore di questo spazio e una possibile soluzione. L’insieme di ammissibilità trasferisce mentalmente l’idea che io posso considerare solo alcune soluzioni, mentre altre in qualche modo non sono da considerare perché voglio restringere la ricerca delle mie soluzioni ad un certo insieme di ammissibilità. Allora immaginiamo per esempio, di avere uno spazio 3D (disegniamo u₁, u₂, u₃) e in questo spazio 3D immaginiamo una patata. Ebbene, il volume racchiuso è l’insieme di ammissibilità: solo i vettori che hanno la coda nell’origine e la punta all’interno delle pareti di questo volume possono essere considerati. Gli altri vettori non sono da considerare.

Quando scrivo ho realizzato praticamente il concetto secondo il quale nello spazio delle decisioni (che è lo spazio 3D, costruito nell’ipotesi che la u avesse 3 componenti per decidere quale vettore dell’insieme di ammissibilità scegliere) è lo spazio nel quale io vado a cercare un insieme di ammissibilità e nel quale io vado a cercare le soluzioni. Prendere una decisione significa decidere, scegliere fra tutta la famiglia di vettori che sta nel volume un solo vettore. Di solito il vettore selezionato lo si indica con l’asterisco, per cui se ho fatto la selezione, il prodotto della mia selezione sarà u^*. u^* è la decisione ottimale.

Minimizzazione di una funzione

Ma come faccio a prendere questa decisione ottimale? Posto che io non posso scegliere un vettore dello spazio 3D ma solo un vettore dell’insieme di ammissibilità, effettuo la decisione sulla base di un criterio, che di solito è il criterio di minimizzazione di una funzione. Quindi il criterio di scelta è la minimizzazione di una funzione, la funzione obiettivo, che chiamo J ed è una funzione di u: min J(u).

In altre parole, fra tutte le u che appartengono al mio insieme di ammissibilità voglio trovare quella che minimizza la mia funzione obiettivo J(u). J è una funzione di u, ed è una funzione scalare che mi porta da Rⁿ a R. Questo significa che ogni volta che prendo un vettore nell’insieme di ammissibilità (a n dimensioni) finisce che ho un valore di J in R.

Se allora volessi scegliere quel vettore che minimizza J, dovrei mettermi a vedere ogni valore dell’insieme di ammissibilità che pazientemente J mi dà, compilare una lista e scegliere così il valore più piccolo (o più grande se il problema è a massimizzare). Avrei così risolto il problema attraverso un’elencazione esaustiva. È evidente per però che questo tipo di algoritmo potrebbe funzionare solo nel caso in cui l’insieme di ammissibilità fosse un insieme con un numero finito di elementi. Se l’insieme è infinito non c’è pazienza che tenga… non riuscirei mai a risolvere questo problema!

La tecnica che potrei utilizzare per risolvere questo problema consisterebbe nel discretizzare il nostro problema stesso. Consideriamo per semplicità il caso bidimensionale. Questo vuol dire che possiamo considerare ammissibili soltanto quei vettori che stanno all’interno o sulla frontiera del dominio. I vettori sono un numero infinito e allora che faccio? Costruisco una griglia, prendo i soli nodi della griglia come rappresentativi di tutto il dominio e discretizzo così il dominio in un numero finito di punti che sono i nodi della griglia. Mi muovo sui nodi della griglia, in ogni nodo vado a valutare il valore della J (è come se dalla lavagna facessi uscire un altro asse per J) e poi valuto le soluzioni ottimali.