Geometria (terza parte)

Esercizio

Sia T: R³ → R² con T

B =

Calcolo

M_B',B(T):

Il vettore delle coordinate rispetto alle due basi scelte, T agisce per moltiplicazione per M_B',B(T):

Osservazioni

1. Se cambio le basi, la matrice, in generale, cambia.
2. Se T è l'applicazione nulla, allora M_B',B(T) = O
3. Se T = Id e B = B', M_B',B(T) = I

Nucleo

Sia T:V→V' un'applicazione lineare, dim V=u. Il nucleo di T è

Ker T = {v ∈ V: T(v) = 0}

Proprietà

Ker T è un sottospazio vettoriale di V e dim Ker T = u - rg A, dove A è la matrice associata rispetto a qualsiasi scelta delle basi.

Dimostrazione

Ker T ≠ 0 : 0 ∈ Ker T perché T(0) = 0

• Chiuso rispetto alla somma: se v₁, v₂ ∈ Ker T, allora

T(v₁ + v₂) = T(v₁) + T(v₂) = 0 + 0 = 0

quindi v₁ + v₂ ∈ Ker T

• Chiuso rispetto al prodotto: se v ∈ Ker T, allora

T(cv) = cT(v) = c0 = 0

quindi cv ∈ Ker T.

Teorema (della dimensione o Nullità + Rango)

dim Ker T + dim Im T = dim V

Dimostrazione

• dim Ker T = dim V - rg A
• dim Im T = rg A

Se T è un isomorfismo, ovvero iniettiva e suriettiva (Im T = V'), abbiamo

0 + dim V' = dim V

Esercizio

Sia T: V -> V' un'applicazione lineare, dim V = n e dim V' = m. Dimostrare che:

• se n < m, T non è iniettiva
• se n > m, T non è suriettiva

Aiuto: Usare Th. Nullità + Rango

Esercizio

Data un'applicazione lineare

T: ℝ³ → ℝ³

(x₁ x₂ x₃) ↦ (-x₁ + 2x₂ + x₃)(5x₁ + 8x₂ - 6x₃)(-3x₁ + 5x₂ + 4x₃)

è un isomorfismo e, nel caso lo sia, trovarne l'inversa.

M_{E, E}(T) = |-1 2 1||5 -8 -6| = A|-3 5 4|

det A ≠ 0 ⇒ isomorfismo

Calcoliamo A^-1:

A^-1 = |2 3 4||2 4 1||-1 1 2|

T^-1: ℝ³ → ℝ³

(x₁ x₂ x₃) ↦ (2x₁ + 3x₂ + 4x₃)(2x₁ + x₂ + 4x₃)(-x₁ + x₂ + 2x₃)

Definizione

Una matrice A ∈ M_n(ℝ) è DIAGONALIZZABILE se è simile ad una matrice diagonale.

Un endomorfismo è DIAGONALIZZABILE se la matrice associata a rispetto a qualsiasi base è diagonalizzabile, ovvero se esiste una base B per cui M_B,B(T) è diagonale.

Domande

• Come si fa a
• vedere se una matrice (o un endomorfismo) è diagonalizzabile?
• trovare la base che la diagonalizza?
• trovare la forma diagonale di una matrice (o un endomorfismo) diagonalizzabile?

Autovettori e Autovalori

• Sia T: V → V un endomorfismo. Un vettore ν ∈ V, ν ≠ 0ν si dice AUTOVETTORE di T se la sua immagine è proporzionale a ν, ovvero T(ν) = λν per un certo λ ∈ ℝ.
• Sia A ∈ M_n(ℝ). Un vettore ν ∈ ℝ_n, ν ≠ 0ν si dice AUTOVETTORE di A se è un autovettore di L : ℝ_n → ℝ, ovvero se Aν = λν per un certo λ ∈ ℝ.

In entrambi i casi, λ si dice AUTOVALORE e è autovalore di autovettore ν.