Geometria (terza parte)

Esercizio

Sia T: ℝ³ ➝ ℝ² con T (_{x1 x3}) = (_x1 - _{x2 x3} - _x2) e siano B = ((_{1 1}) (_{1 0})) e B' = ((_{1 0}) (_{1 1})).

Calcolare M_B',_B(T)

• (_B' _T (_{1 0})) = [_B' _T (_{1 -1})] = (_{0 -1})
• (_B' _T (_{0 1})) = [_B' _T (_{0 -1})] = (_{-1 -1})
• (_B' _T (_{1 0})) = [_B' _T (_{0 1})] = (_{0 1})

M_B',_B(T) = (_{0 1}) (_{-1 1}) (_{1 0})

Il vettore delle coordinate rispetto alle due basi scelte, T agisce per moltiplicazione per M_B',_B(T):

(_TB: T(_{x1 x2 x3})) = (_{0 1 1}) (_{-1 -1 0}) F₃ (_{x1 x2 x3})

Osservazioni

• Se cambio le basi, la matrice, in generale, cambia.
• Se T è l'applicazione nulla, M_B',_B(T) = 0
• Se T = Id e B = B', M_B',_B(T) = I

Esercizio

Sia T: ℝ³ → ℝ² con T ​B = (

(1, 1, 1)(1, 0, 0)

(1, 0)(1, 1)

Calcolare Γ_{B', B} (T)

• Γ_B' T
  (1, 0, 0) = (0, 1)(0, 1, 0) = (-1, 0)(0, 0, 1) = (-1, -1)
• Γ_B T
  (1, 0) = (0, 1)(0, 1) = (1, 0)

Γ_{B', B} (T) = (0, 1, 1)(-1, -1, 0)

Il vettore delle coordinate rispetto alle due basi scelte, T agisce per moltiplicazione per Γ_{B', B} (T):

Γ_B T (x₁, x₂, x₃) = (0, 1, 1)(-1, -1, 0) F₃ (x₁, x₂, x₃)

Osservazioni

• Se cambio le basi, la matrice, in generale, cambia.
• Se T è l'applicazione nulla, Γ_{B', B} (T) = 0
• Se T = Id e B = B', Γ_{B', B} (T) = I

Nucleo

Sia \( T: V \rightarrow V' \) un'applicazione lineare, dim \( V = u \). Il nucleo di \( T \) è \( \text{Ker} T = \{ \vec{v} \in V : T(\vec{v}) = \vec{o} \} \).

Proprietà

\( \text{Ker} T \) è un sottospazio vettoriale di \( V \) e \(\text{dim Ker} T = u - \text{rg} A\), dove \( A \) è la matrice associata rispetto a qualsiasi scelta delle basi.

Dimostrazione

\( \text{Ker} T \neq \{ o \} : \) \( \vec{o} \in \text{Ker} T \) perché \( T(\vec{o}) = \vec{o} \).

Chiuso rispetto alla somma: se \( \vec{v}_1, \vec{v}_2 \in \text{Ker} T \), allora \[T(\vec{v}_1 + \vec{v}_2) = T(\vec{v}_1) + T(\vec{v}_2) = \vec{o} + \vec{o} = \vec{o}\] quindi \( \vec{v}_1 + \vec{v}_2 \in \text{Ker} T \).

Chiuso rispetto al prodotto: se \( \vec{v} \in \text{Ker} T \), allora \[T(c\vec{v}) = c T(\vec{v}) = c \vec{o} = \vec{o}\] quindi \( c\vec{v} \in \text{Ker} T \).

Ponendo in coordinate: dim Ker T = dim FB(Ker T) FB(Ker T) = {x1.xu:A (x..xu )=(0.0)|

Per il Th. di Rouche Capelli, dim F_B(Ker T) = u - rg A.

Proposizione

T è iniettive <=> Ker T = {0}

Dimostrazione

=> Ovvia.

<= Siano v₁, v₂ tali che T(v₁) = T(v₂).

0̅ = T(v₁) - T(v₂) = T(v₁ - v₂) e quindi v₁ - v₂ ∈ Ker T. Dunque v₁ - v₂ = 0̅, ovvero v₁ = v₂.

Esercizio

Dire se è iniettiva l'applicazione lineare T: ℝ³ → ℝ³ (_{x₁ x₂ x₃}) → (_{x₁ - x₂ 2x₂ + x₃ x₁ + x₂ + x₃}).