Appunti di algebra e geometria (3)

Tipi di numeri

• Naturali: ℕ = insieme dei numeri con sempre un successivo

• Interi: ℤ +, - (infinito)

• Razionali: ℚ

• Reali: ℝ = estensione dei razionali (in più dei razionali la solidità [concretezza] (assioma di Dedekind))

Numeri reali e/o immaginari

x² = -1 → non ha soluzioni reali

Per dare una soluzione a questa equazione è necessario definire l'insieme dei numeri complessi:

ℂ = complessi

I numeri complessi sono l'estensione degli ℝ :

• l: {x + iy : x, y ∈ ℝ, i² = -1}

Ogni numero complesso x + iy con y = 0 è un numero reale

Nota

i = unità immaginaria → i² = -1 (ℝ)

x + iy = z = numero complesso

• [parte immaginaria]

• [parte reale]

Il numero reale z può essere definito anche:

z ~ (x, y) ∈ ℝxℝ{ℝ²

Come si rappresenta sul piano (detto piano di Gauss)

Immaginari puri (x=0)

• x = parte reale del numero complesso z

• y = parte immaginaria del n.c. z

ℝ² = ℂ = rappresentano i numeri complessi

• Numeri reali: (y=0)