Appunti di algebra e geometria (3)

Lezione 3 - 26/03/18

Tipi di numeri

Numeri naturali = IN = insieme dei numeri con sempre un successivo con +1.

Numeri interi = Z (+, -, 0) (infiniti).

Numeri razionali = Q.

Numeri reali = IR = estensione dei razionali (in più dei razionali per la solidità) (assioma di Dedekind). Avremo ogni punto della retta corrispondente ad un numero.

Numeri reali e/o immaginari

x² + 1 = 0 non ha soluzioni reali. Per dare una soluzione a questa equazione è necessario definire l'insieme dei numeri complessi: C = complessi. I numeri complessi non sono l'estensione degli IR.

{x + iy : x, y appartenente IR , i² = -1}. Ogni numero complesso x + iy con y = 0 è un numero reale.

Nota: i = unità immaginaria => i² = -1 (IR). x + iy = z = numeri complessi [parte immaginaria, parte reale].

Il numero reale z può essere definito anche: z = (x, y)_appartiene IR² => IZ = IR².

Come si rappresenta sul piano (detto piano di Gauss)

Immaginari puri (x = 0)

x = parte reale del numero complesso z

y = parte immaginaria del n. c. z

IR² - i - rappresentano i numeri complessi (x, y)

Numeri reali: (y = 0)

Lezione 3 - 26/03/19 - 09:35 e 10:15

Tipi di numeri

Numeri naturali = N = insieme dei numeri con sempre un successivo con +.

Numeri interi = Z (+, -, 0) (infiniti).

Numeri razionali = Q.

Numeri reali = R = estensione dei razionali (in più dei naturali per la suddetta completezza (assioma di Dedekind) avente ogni punto delle rette corrispondente ad un numero.

Numeri reali e/o immaginari

x² + 1 = 0 non ha soluzioni reali. Per dare una risoluzione a questa equazione è necessario definire l'insieme dei numeri complessi: C = complessi. I numeri complessi sono l'estensione degli R.

{x + iy : x, y ∈ R, i² = -1}. Ogni numero complesso x + iy con y = 0 è un numero reale.

Nota: i = unità immaginaria => i² = -1 (1R). x + iy = Z = numero complesso

y = parte immaginaria

x = parte reale

Il numero reale z può essere definito anche: z = (x, y) ∈ R x R {I² = I R²}

Come si rappresenta sul piano (detto piano di Gauss)

Immaginari puri (x = 0)

x = parte reale del numero complesso z

y = parte immaginaria del n.c. z

R² = R² = rappresentare i numeri complessi (x, y)

Numeri reali (y = 0)

Ricorda

• Se y = 0 => numero reale = z
• Se x = 0 => numero immaginario puro = z

Definizione

Dato un numero complesso z = x + iy, il numero complesso con parte immaginaria opposta ma reale uguale è detto coniugato del numero complesso z, ed è indicato con: \(\bar{z}\) = x - iy

z = x + iy

\(\bar{z}\) = coniugato di z = x - iy

Osservazione

Se z = \(\bar{z}\) allora z è un numero reale (y = 0)

Nota \(\bar{\bar{z}}\) = z: coniugato del coniugato

Operazioni

Somma di numeri complessi:

\begin{cases} z = x + iy \\ z' = x' + iy' \end{cases} \Rightarrow z + z' = (x + x') + i(y + y')

Note vettori:

z = \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) \quad z + z' \approx \(\begin{pmatrix} x + x' \\ y + y' \end{pmatrix}\)

Proprietà

• Le somme è commutativa \(\Rightarrow\) z + z' = z' + z \(\forall\) z, z' ∈ \(\mathbb{C}\)
• Le somme è associativa \(\Rightarrow\) (z + z') + z'' = z + (z' + z'') \(\forall\) z, z', z'' ∈ \(\mathbb{C}\)
• \(\exists\) 0 ∈ \(\mathbb{C}\) t.c. z + 0 = 0 + z = z \(\forall\) z ∈ \(\mathbb{C}\) (Elemento neutro)
• \(\forall\) z ∈ \(\mathbb{C}\), \(\exists\) -z ∈ \(\mathbb{C}\) t.c. z + (-z) = 0 (Elemento opposto: -z = -x - iy)

Nota

Somma di z con z̄: z + z̄ = 2x ∈ ℝ (case x) z - (z̄) = 2iy immaginari puri (omy)

Prodotto di numeri complessi

z = x + iy

z̄ = x - iy

z * z̄ = (x + iy) . (x - iy) = x . x' + r (y . xi + i (y) . x) = x² + y¹ + (yx + yx)

Proprietà

• C x C → C
• Il prodotto è commutativo ⇒ z . z' = z' . z ∀ z, z' ∈ C
• 1 ∈ C (z . 1 = z Elemento neutro)
• Il prodotto è associativo

Nota

Prodotto di z con z̄: z . z̄ = (x + iy) . (x - iy) = x² + y² ∈ ℝ non negativo

Il prodotto tra z e z̄ vettorialmente è il quadrato del modulo: |z²| ∈ ℝ

Nota

Ogni numero ≠ 0 ha un inverso dato da:

1/z = 1/|z|²

z = x + iy

z̄ = x/|z|² - y/|z|²

z . z̄ = z . |z| = |z²| = 1/|z²| = (|z²| = 1

Angoli

Coordinate cartesiane ⇒ (x, y)

Coordinate polari ⇒ (ρ, θ)

z = x + iy

ρ = distanza

θ = angolo tra vettore ed asse