Appunti Geometria

GEOMETRIA

• SPAZI AFFINI

Si chiama spazio affine di dimensione n sul campo , e si indica con A_n(), la struttura [A, V_n(), f] dove A ≠ ∅ è un'insieme non vuoto, V_n() è uno s.v. di dimensione n su e f è una funzione:

f : (A x A) → V_n()

(p, q) → f(p, q)

con le seguenti proprietà:

sa1) ∀ p ∈ A, ∀ r ∈ V_n(): ∃ ! q ∈ A t.c. f(p, q) = r

Oss: Elementi di A = "Punti"

f(pq) = "Funzione azione" = ^→PQ = ^→R

sa2) ∀ p, q, r ∈ A: f(p, q) + f(q, r) = f(p, r)

Proposizione: in A_n() valgono i seguenti PMT: ∀ p, q, r ∈ A

1. ^→PQ = ^→QR ⇔ p = r
2. ^→PQ ≠ ^→QR ⇔ q ≠ r
3. ^→PQ = ^→PR ⇔ q = r
4. ∀ p, q, r, s ∈ A: P, Q, R sono allineati ⇔ ^→PQ = α^→PR

Dimostrazione:

1. ^→PQ = ^→QR
2. PQ = PR
3. ^→PQ = ^→PR
4. ∀ p, q, r, s ∈ A: ^→PQ = ^→QR ⇔ q = r, f(p, q) + f(q, r)
5. ^→PQ = α^→PR

Sia A_n() = [A, V_n(), f] uno spazio affine e v ∈ V_n(); si chiama traslazione di ψ la funzione:

τ_v : A → A

p → p - q t.c. ^→PQ = v

Sia A_n() uno S.A.; si chiama sottospazio affine di dimensione r, e si indica S_R = [P, V₁], l'insieme di tutti i traslati di un punto P ∈ A fissato, detto "origine", mediante tutti i vettori di un sottospazio vettoriale V_R ≤ V_n() di dimensione r, detto spazio di traslazione.

Oss:

1. r = 0 ⇒ S₀ = {P, V₀ = {ϑ} "I sottospaz. affini di dim 0 coincidono col i punti
2. r = 1,2 ⇒ S1 = {P
3. r = 2 ⇒ S2 = {P
4. V _R = {P₂, P₃, ..., P_n+1}
5. S_R = {P₄}
6. S_R ≠ {P} ≠ {V_SR}

In A_n() i sottospazi affini di dimensione n - 1 si chiamano iperpiani.

Proposizione:

Sia _SR = [_pVL] un sottospazio affine e sia _p'∉SR ; _SR' = [_p'VL] ∼ S_R ;

Onerò, ciascun punto di S_R può essere scelto come origine.

Dimostrazione

T.S. S_R = S_R'

Dimostro S_R ⊆ S_R' :

∞_pp∈SR ∃ _{p'pq = PVL, con: Pq∈VL ∞p'pq ∉p∈SR' ;}

∼ P_p'p∈VL, ora: P_VL ∉_pp∈VR

- Analogamente si dimostra che S_R' ⊆ S_R ∼ S_R' = S_R

Proposizione:

Siano _SR e _SL sottospazi affini di A_n,k :

1. S_R ⊆ S_L ∼ (V_L ⊆ V_R)
2. S_R= S_L ∼ _{LK = Rk}
3. V_R ⫅ V_L

Se S_R ⊆ S_L e _Lrk ⇒ S_R = S_L

1. Due sottospazi affini S_Q = [_pVE] e S_K = [_qVK] o A_n,k si dicono paralleli se V_E ⊆ V_K oppure V_K ⊆ V_E

1. "||" è una relazione d'equivalenza? :
• Riflessiva: S_E "||" S_E ∼ (V_E ⊆ V_E)
• Simmetria: S_E || S_F ←→ S_F || S_E
• Transitiva: S_F || S_K ∼ S_E||S_F ⇒ S_E || S_K

1) "||" è una relazione di equivalenza solo se considero sottospazi della stessa dimensione.

Proposizione:

Due sottospazi affini della stessa dimensione sono paralleli se ∃ hanno lo stesso spazio di traslazione.

Dimostrazione

S_E || S_F ←→ V_E ⊆ V_K o V_K ⊆ V_E ∼ V_E = V_K

Corollario:

Due sottospazi affini di eguale dimensione e paralleli o coincidono oppure non hanno punti in comune.

Dimostrazione

S_C || S_E = S_C' ||S_E' ∼ S_E = S_F'

S_E "||" S_F, V_E ⊆ V_F ∼ ∃ m, s_E = s_F ⇒ s_C = s_F ∼ s_E' = S_F ⇒ S_C "||" S_F

Proposizione:

In A_n,k (n≥2) valgono:

1. Per due punti distinti passa una e una sola retta;
2. Per tre rette distinte, parallele o incidenti in un punto passa una e una sola retta;
3. Due sottospazi affini aventi intersezione vuota sono paralleli;
4. Per due reali passa una e una sola retta parallela a una retta fissata;
5. Per due piani passa uno e un solo piano parallelo a un piano assegnato;
6. Un piano parallelo a una retta passa uno e un solo piano;
7. Due rette aventi piani distinti in un piano è interamente contenuta in esso;
8. Per un punto passano alcune reti distinte.

Equazioni cartesiane delle rette in IA₂(R)

L.e. retta: (x y) = (x0 y0) + t (m n) t ∈ R, (e, m) ≠ (0, 0) Linermente dipendenti ⇒ (x1 y1)- (x0 y0) = m [(x1-x0), (y1−y0)] m = -a b = -p q y = mx + b, b = y0 − mx0 AX + BY + C = 0 Equazione Cartesiana della retta in IA2(R) -, (e, m, n) ≠ (a, b), (a, b) ≠ (0, 0) ➔ Viceversa: AX + BY + C = 0 (è) descrive tutti i piani di una retta? Si: AX + BY + C = 0 (A, B, C) = (fx), a ∞ Ax + g ÷{( ∞ (a-b)}} Per A ≤ compatibile con 0 Ax + BY + C = 0 (a, b) ≠ (o, 0) il solpart Teorema: tutte e sole le rette di IA2(R) hanno equazioni del tipo: AX + BY + C = 0 con (a, b) ≠ (0,0) Oss 1: La classe di Parametri orizzontali è α: AX + BY + C = 0 ↔ (-b, a) 2: I Parametri di rette ormai soluzioni → AX + BY + C = o 3: retta l: α = (a-b, a,) ⟶ α X * λ +t t ∈ R Esempio: X: AX + B = o -→ -AX + 2t ↔ T: - 3 2X + 4t

Equazioni Cartesiane dei piani in IA₃(R)

L’equazione parametric a di un piano è:

(x y z) = (x0 y0 z0) + t (m n) + t (e' m') t, t∈R e m m' m e' n e' ⟶ 2

Linearmente dipendenti

((x1 y1 z1) - (x0 y0 z0) ≠ 2t[(e',m'),(e'',m'')]] = 0

[…] AX + BY + C = 0 Equazione cartesiana del piano in [(a,b,c)=(0,0,0)]

Equazioni Cartesiane delle rette in IA₃(R)

L.e. retta: (x y) = (x0 y0) + t (m n) t ∈ R, (e, m) ≠ (0, 0) Con (e, m, p) Linearmente dipendenti ⇒ p q y = mx + b, b = y0 − mx0 Ax + by + CE + do = 0 (a, b, c) ≠ o ➔ Viceversa: (a, b) ≠ o *(a-b, a-b) l (AX = o

OSS:

1. I Net para indet, t - xr a (A =(a))
   • ax = -0 y = [(y, z, n)] ∈ [0, o, 0] 0 ≠ ≠
   • (1) Nt p 0 >< ([w]) X
     • (1) O dégâts à = n_4 sources de n =n_ =
   (gr.