Appunti Geometria

GEOMETRIA

SPAZI AFFINI

Si chiama spazio affine di dimensione n sul campo K, e si indica con A_n(K), la struttura [A_, V_n(K), f] dove: “A” è un’insieme non vuoto, “V_n(K)” è uno s.v. di dimensione n su K e “f” è una funzione: f : (A x A)→V_n(K), con le seguenti proprietà:

• (SA1) ∀P∈A, ∀γ∈V_n(K): ∃!Q∈A t.c. f(P,Q)=γ.

“se f(P,Q) = γ fissa γ ⇒ ∃!Q tale che

• (SA2) ∀P,Q∈A :

“se ho 3 reali r1 e r2 sono uguali se, otterò”

• Proposizione: In A_n(K) valgono i seguenti fatti: ∀P,Q,R∈A:
• 3) f(Q,R) = f(R,Q) ⇒ P= R

Sia A_n(K) = [A, V_n(K), f] uno spazio affine e γ∈V_n(K); si chiama traslazione di γ la funzione:

Ty :

• 0) f(P,Q) = R ∀P,Q,R∈A.
• 1) f(P,Q) = f(Q,P) = f(R,Q) = R

Sia A_n(K) uno s.a.; si chiama sottospazio affine di dimensione R, e si indica SR = [P,VR ], l'insieme di tutti i traslati di un punto

f ∀ fissato, detto origine, mediante tutti i vettori di un sottospazio vettoriale V_R(K) di dimensione R, detto spazio di traslazione.

• oss: L₀ = {so, [P], v_o={o}} = “I sottospa affini di dimm 0 coniugono con i ‘punti’”

oss: se P ∈ V

L1 = {so w_{k.sub>I vo =I ki } = “I sottosp.aff. Di dimm 1 sono retti}

Nell’ A_n(K) i sottospazi affini di dimensione n-1 si chiamano iperpiani.

• oss: [P,V] = T_γ(y) = [y(c),γ] ∃ z∈V ∀z∈V, y(x)(P,Q) ⇔ (P-Q)*z ∈ V

GEOMETRIA

• SPAZI AFFINI

- Si chiama spazio affine di dimensione n sul campo K, e si indica con A_n(K), la struttura [A, V_n(K), f] dove: "A" è un'insieme non vuoto, "V_n(K)" e' uno s.v. di dimensione n su K e "f" è una funzione: f : A x A → V_n(K) con le seguenti proprietà:

Sa1) ∀P∈A, ∀v∈V_n(K) ∃! Q∈A t.c. f(P,Q)=v

"SE FISS0 P E FISS0 v ∃! Q ESISTE UN SOLO PUNTO Q*"

Sa2) ∀P,Q∈A f(P,Q)= ∀Q',Q''∈A--> f(P,Q)=f(P,Q')+f(Q,Q'')

"SE HO 3...UNIV. DI f∉V_n"

- Proposizione: In A_n(K) valgono i seguenti punti: ∀P,Q,R ∈ A.

1. _PQ ∈ V_n(K)
2. ∀P,Q ∈ A P=Q→=
3. ∀P,Q ∈A ∃ R ∈ A
   • _RP=_P + _P → Q ∈ VK

   - Sia A_n(K)=A, V_n(K), f uno spazio affine e v ∈ V_n(K); si chiama traslazione di f la funzione: Ẍ_v.

   Sia A_n(K) uno S.A.; si chiama sottospazio affine di dimensione R, e si indica SR= [P,VA], l'insieme di tutti i traslati di un punto P fissato, detto origine.

   - Ossi: R← _SA = So → TRASLAZIONE.

   • In A_n(K) i sottospazi affini di dimensione n-1; si chiamano iperpiani.

   PROPOSIZIONE: Sia _ℝ = [_ℝ] un sottospazio affine e sia pe_ℝ. Ossia, ciascun punto di _ℝ può esser scelto come origine.

   DIMOSTRAZIONE

   Se _ℝ = _ℝ dimostro che _ℝ = (_ℝ).

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