Etivities Geometria

Tempo rimanente: 00:59:55

1. Quale dei seguenti sottoinsiemi di R³ è un sottospazio vettoriale di R³?

• S₁ = {(x, y, z) ∈ R³: (x - 1)(y + 2)z = 0}
• S₂ = {(x, y, z) ∈ R³: 2x - y = 3x + z = 0}
• S₃ = {(x, y, z) ∈ R³: x² = y}
• S₄ = {(x, y, z) ∈ R³: x - 2y + 3z - 2 = 0}

Tempo rimanente: 00:55:58

1. Lo spazio vettoriale R⁴:
• ammette sistemi di generatori costituiti da 6 vettori.
• ammette una base costituita da 6 vettori.
• è generato da qualsiasi insieme di 4 vettori non nulli.
• non contiene sottospazi vettoriali di dimensione 1.
2. I vettori
• (1, 1, 1), (1, -1, 1), (1, 0, -1)
3. dello spazio vettoriale R³:
• sono linearmente dipendenti
• formano una base di R³.
• generano un sottospazio vettoriale di R³ avente dimensione 2.
• costituiscono una base ortogonale di R³.

Tempo rimanente: 00:49:25

5) La matrice

• ha rango 2.
• ha rango 3.
• ha rango 1.
• ha rango 5.

Tempo rimanente: 00:52:55

1. Sia dato un sistema lineare non omogeneo di 3 equazioni in 5 incognite. Allora:
   • esso ammette sempre almeno una soluzione.
   • se esso è compatibile, le sue soluzioni costituiscono un sottospazio vettoriale di ².
   • se esso è compatibile, le sue soluzioni costituiscono un sottospazio vettoriale di ³.
   • se il sistema è normale, esso ammette ² soluzioni.

Tempo rimanente: 00:59:52

1. Un sistema lineare omogeneo di 3 equazioni in 4 incognite:
   • ammette solo la soluzione banale.
   • ammette esattamente ¹ soluzioni.
   • può ammettere ² soluzioni.
   • è sempre incompatibile.

Tempo rimanente: 00:50:21

5) Nello spazio vettoriale R³ si considerino i vettori

v₁ = (2, -³/₂, 1)

v₂ = (3, 4, 5)

v₃ = (8, -6, -25)

Allora:

• I vettori v₁, v₂, v₃ generano un sottospazio di R³ avente dimensione 2
• I vettori v₂+5v₁, v₂, v₃ costituiscono una base ortonormale di R³
• Non è possibile esprimere il vettore 5√3v₃ come combinazione lineare dei vettori v₁, v₂, v₃
• I vettori v₁, v₂, v₃ sono linearmente dipendenti

Tempo rimanente: 00:50:48

2) Sia dato un sistema lineare non omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite. Si denotino con A e Ã, rispettivamente, la sua matrice incompleta e la sua matrice completa. Allora:

• Se r(A) = 3, il sistema è compatibile
• Se una terna è soluzione del sistema, allora una terna estratta proporzionale è
• Il sistema ammette sempre almeno una soluzione
• Se r(Ã) = 3, il sistema ammette un'unica soluzione

Tempo rimanente: 00:48:47

3) Un sistema lineare omogeneo di 3 equazioni in 4 incognite:

• Ammette solo la soluzione banale
• Ammette esattamente x soluzioni
• Può ammettere x² soluzioni
• È sempre incompatibile

Tempo rimanente:

Il sistema lineare omogeneo di 3 equazioni in 3 incognite

ammette la sola soluzione banale

ammette ∞¹ soluzioni, tutte proporzionali alla terna (-2, 6, -2)

ammette ∞² soluzioni

ammette ∞¹ soluzioni, tutte proporzionali alla terna (1, 3, 1)

{2x - y + z = 0, 4x - 3y + 5z = 0, 3x - 2y + 3z = 0}

Alternate forms:

{2x + z = y, 4x + 5z = 3y, 3(x + z) = 2y}

{z = y - 2x, z = ^3y/₅ - ^4x/₅, z = ^2y/₃ - x}

Real solution:

y = 3x, z = x

Solution:

Tempo rimanente: 00:59:42

1. Sia B la base canonica di ℝ² e sia B' = {(1,1), (2,1)} un'altra base. Sia f l'operatore lineare su ℝ² tale che A_B^B = (1 0)(2 3). Allora:
   • f(1, 1) = (1, 0)
   • f(1, 1) = (1, 1)
   • f non è invertibile.
   • f(1, 0) = (2, 3)

Tempo rimanente: 00:47:37

1. Sia f un operatore lineare su ℝ⁴ tale che dim Im f ≅ 3. Allora:
   • f è iniettivo.
   • f è suriettivo.
   • r(A_B) = 3, dove B è la base canonica di ℝ⁴.
   • r(A_B) = 1, dove B è la base canonica di ℝ⁴.

Input:

[x + y + 2 z = 41, 2 x - y + z = 5, 3 x - y + 2 z = 7]

Alternate forms:

{x + y + 2 z = 41, 2 x + y + z = y + 5, 3 x + 2 z = y + 7}

{z = -_x/² + ₄₁/², z = - 2 x + y + 5, z = -_{3 x}/² + y + ₇/²}

Solutions:

(no solutions exist)