Introduzione alla geometria e agli insiemi
Nel XVII secolo, matematici come Viete e Cartesio hanno introdotto la nova geometria, identificando il piano euclideo con lo spazio n-dimensionale ℝn, definito come l'insieme delle n-uple {(x1, x2, ..., xn)} dove xi∈ℝ per ogni i∈{1,2,...,n}.
Definizioni di insiemi
Siano X e Y due insiemi definiti come segue: X1 = {(x, y) : x∈X, y∈Y}. Nel contesto bidimensionale, possiamo definire ℝ2 = {(x, y) : x∈ℝ, y∈ℝ}.
Assiomi e figure geometriche
Quando si considerano gli assiomi di ℝ, come 0.9, -1.23 e 1.3, le figure geometriche sono sottinsiemi di ℝn descritti da un'equazione di tipo {x, y, z} o {x: ax+by+c=0}.
Sistemi di disequazioni e numeri razionali
Un sistema di disequazioni può essere rappresentato come Q:{a/b a,b∈Z/{0}}. I numeri razionali, che includono decimali finiti o periodici, non possono rappresentare valori con cifre decimali infinite non periodiche.
Proprietà degli insiemi reali
Il set ℝ è l'unica ampia ordinata completa, come dimostrato dai teoremi di Cantor e Bolzano-Weierstrass. Si può affermare che per ogni x∈ℝ esiste un y∈ℝ tale che x.
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