Geometria. Teoria (con dimostrazioni) e alcuni esercizi base per comprendere al meglio la parte teorica.

Spazi vettoriali reali (su R)

Insiemi Numerici

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ ⊃ numeri complessi

naturali (ℤ, +) Gruppo

(ℚ, ·) Gruppo ℚ^* = ℚ\{0}

ℚ: Campo

ℝ: Campo

Definizione

Campo: si dice campo un insieme K dotato di due operazioni + e · per cui valgono le seguenti proprietà:

1. Proprietà associativa della somma:

   (a + b) + c = a + (b + c) ∀ a, b, c ∈ K

2. Esistenza dell'elemento neutro nella somma:

   ∃ 0_K ∈ K t.c. a + 0 = a = 0 + a ∀ a ∈ K

3. Esistenza dell'opposto nella somma:

   ∀ a ∈ K ∃ a' ∈ K t.c. a + a' = a' + a = 0

   a' = -a

4. Proprietà commutativa della somma:

   a + b = b + a

5. Proprietà associativa del prodotto:

   (a · b) · c = a · (b · c) ∀ a, b, c ∈ K

6. Esistenza dell'elemento neutro nel prodotto:

   ∃ 1_K ∈ K t.c. a · 1 = a = 1 · a ∀ a ∈ K

Spazi vettoriali reali (su R)

INSIEMI NUMERICI

• N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C ⊃ numeri complessi

naturali (N) interi (Z, +) Gruppo (Q, +) Gruppo (R, +) Gruppo campo

proprietà associativa

elemento neutro

opposto Q* = Q\{0}

↖ Q è campo

Definizione

Campo: Si dice campo un insieme K dotato di due operazioni + e · per cui valgono le seguenti proprietà:

1. Proprietà associativa della somma:

   (a+b)+c = a+(b+c) ∀a,b,c ∈ K

2. Esistenza dell'elemento neutro nella somma:

   ∃0_K ∈ K: a+0_K = a ⟺ 0_K+a = a ∀a ∈ K

3. Esistenza dell'opposto nella somma:

   ∀a ∈ K ∃a'_K ∈ K: a+a' = a' + a = 0_K ⟺ a' = -a

4. Proprietà commutativa della somma:

   a + b = b + a

5. Proprietà associativa del prodotto:

   (a·b)·c = a·(b·c) ∀a,b,c ∈ K

6. Esistenza dell'elemento neutro nel prodotto:

   ∃1_K ∈ K: a·1_K = a ⟺ 1_K·a = a ∀a ∈ K

7

Esistenza dell'inverso nel prodotto:

∀ a ≠ 0, a ∈   ∃ a^-1 ∈   a . a^-1 = a^-1 . a = 0

(mult.)

8

Proprietà commutativa nel prodotto.

a . b = b . a

9

Proprietà distributiva:

a (b + c) = ab + ac   ∀ a, b, c ∈

(a + b) . c = ac + bc   ∀ a, b, c ∈

N.B.

• ¹ + ₂   =   Monodie
• ¹ + ₂ + ³   (, +)   =   Gruppo
• ¹ + ₂ + ³ + ₄   =   Gruppo commutativo
• ⁵ + ₆   (, *)   =   Gruppo
• ⁵ + ₆ + ⁷ + ₈   =   Gruppo commutativo
• ¹ + ₂ + ³ + ₅ + ⁶   =   Anello

Esempi:

• (ℤ, +)   Anello   NON   è un   CAMPO   perché   NON contiene l'inverso dei tutti i moltip. (proprietà 7)

• (ℚ, +, .)   è un   CAMPO
• (ℝ, +, .)   è un   CAMPO
• (ℂ, +, .)   è un   CAMPO

Descrizione: Spazio vettoriale uno spazio vettoriale reale è un insieme V in cui sono definite due operazioni.

• SOMMA:   +  :   V × V → V
• prodotto cartesiano intersimbico
• (V₁, V₂) → V₁ + V₂

• PRODOTTO PER SCALARE:   .  :   ℝ × V → V
• (λ, V) → λV

Che soddisfano le seguenti proprietà (ASSIOMI):

1. Proprietà Associativa

∀u,v,w ∈ V    (u+v)+w = u+(v+w)

2. Elemento Neutro

∃0 ∈ V   ∀v ∈ V    0+v=v+0=v

vettore nullo

3. Esistenza dell'Opposto

∀v ∈ V    ∃-v ∈ V    ∀v (-v)+v=0

4. Proprietà Commutativa

∀u,v ∈ V    u+v=v+u

Proprietà Distributiva

5

∀λ ∈ ℝ   ∀u,v ∈ V    λ(u+v)=λu+λv

6

∀λ,μ ∈ ℝ   ∀v ∈ V    (λ+μ)v=λv+μv

7. Associatività

∀λ,μ ∈ ℝ   ∀v ∈ V    (λμ)v=λ(μv)

8. Comportamento del prodotto rispetto agli elementi neutri

∀v ∈ V    0.v=0

1.v=v

vettore nullo

Spazio vettoriale

1° esempio:

\(\mathbb{R}^2 = \lef