Geometria. Teoria (con dimostrazioni) e alcuni esercizi base per comprendere al meglio la parte teorica.

Spazi vettoriali reali

INSIEMI NUMERICI

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

(N, +) Gruppo

(Q, +) Gruppo

(R, +) Gruppo

(Q\{0}, \cdot) Gruppo

Q\{0}: Campo

Definizione

Campo: Si dice campo un insieme K dotato di due operazioni + e \cdot per cui valgono le seguenti proprietà:

1. Proprietà associativa della somma:
• (a+b)+c = a+(b+c) ∀a,b,c ∈ K
2. Esistenza dell’elemento neutro nella somma:
• ∃0 ∈ K : a+0 = a \forall a ∈ K
3. Esistenza dell’opposto nella somma:
• ∀a ∈ K ∃a' ∈ K : a+a' = a-a a_0 = (0)
4. Proprietà commutativa della somma:
• a+b = b+a
5. Proprietà associativa del prodotto:
• (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) ∀a,b,c ∈ K
6. Esistenza dell’elemento neutro nel prodotto:
• ∃1 ∈ K : a \cdot 1 = a

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ESISTENZA DELL'INVERSO NEL PRODOTTO:a^-1 . a = a . a^-1 = e_k

∀a ≠ 0 ∈ k ∃ a^-1 ∈ k

a . a^-1 = a^-1 . a = e_k (Multiplo)

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PROPRIETÀ COMMUTATIVA NEL PRODOTTO:a . b = b . a

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PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA:

a . (b+c) = a . b + a . c   ∀a,b,c ∈ k

(a+b) . c = a . c + b . c   ∀a,b,c ∈ k

N.B.

• 1 + 2 → MONOIDE
• 1 + 2 + 3   (k, +)   GRUPPO
• 1 + 2 + 3 + 4   GRUPPO COMMUTATIVO
• 1 + 2 + 5   (k^* , .)   GRUPPO
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5   GRUPPO COMMUTATIVO
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6   ANELLO

Anello

Esempi:(Z, +, .) NON è un CAMPO, perché NON contiene l'inverso di tutti i numeri (proprietà 7)

(Q, +, .) è un CAMPO

(R, +, .) è un CAMPO

(C, +, .) è un CAMPO

Definizione

spazio vettoriale: uno spazio vettoriale reale è un insieme V in cui sono definite due operazioni:

• SOMMA :   V x V → V  prodotto cartesiano intenzionata  (V₁, V₂) → V₁ + V₂
• PRODOTTO PER SCALARE :   R x V → V  (λ, v) → λv

8 ∀v = ₍ ^{x y} ₎ ∈ ℝ²

1 ∙ v = ₍ ^{x y} ₎ ∙ 1 = v

0 ∙ v = 0 ₍ ^{x y} _{) (} ^{0 0} ₎ = 0

⇒ (ℝ², +) è uno SPAZIO VETTORIALE REALE

Esempio:

R^m = {₍ x₁, ..., x_m ∈ ℝ ₎}

L'insieme delle n-uple ordinate di numeri

₍ ^{x₁ y₁} ₎ + ₍ ^{z₁ z₂} ₎

₍ ^{xₙ yₙ} _{) (} ^{xₙₘ yₙₘ} ₎

Verifica da sola le 8 proprietà:

1. ₍ ^{xₐ + y₁ + z₁} ₎ = ₍ ^{x₁ + (y₁ + z₁)} ₎

xₘ + ẏₘ + ẑₘ = xₘ + ( ẏₘ + ẑₘ)

2. o = ₍ ^{0 0} ₎

3. ∀v = ₍ ^{x y} ₎ ∃ un vettore OPPOSTO v = ₍ ^{-x -y} ₎

4. ₍ ^{x₁ y₂} ₎ = ^{( xₐᶻ y₃} ₎

xₘ yₘ yₘ xₙ

5. ₍ ^{x₁ + y₁ y₁ + ẑ₁} ₎ xₘ + ẏₘ = ₍ ^{xᶻᶜ + yᶻᶜ yᵃ + ẑₘ} ₎

xₘ + ẏₘ

4◻

f, g : X → R ◻ f, g : X → R

f + g : X → R ◻ f ◦ g : X → R

x → f(x) + g(x) ◻ x → g(x) + f(x)

5◻

(f + g) : X → R = λf, g : X → R + λg : X → R

x → (f(x) + g(x)) : x → λf(x) + λg(x)

6◻

(λ + μ)f : X → R = λf, g : X → R + μg : X → R

(λ + μ)f(x) = x → (λf(x) + μf(x)

7◻

(λμ)f : X → R = λ(μ: f) : X → R

x → (λμ)f(x) = x → λ(μ(f(x)))

8◻

f : X → R

1 f(x) = f(x)

0 f(x) = 0 = ◻

esempio

∅ Insieme vuoto

(sottomisure di tutti gli insiemi)

(insieme più piccolo di tutti)

Può essere uno spazio vettoriale?

La somma e il prodotto scalare sono definiti, perché non c'è nulla ⇒ funziona tutto

Verifichiamo le 8 proprietà

Sono tutte verificate (perché non c'è nulla) tranne la

inizia con 3, ma se non c'è nulla ⇒

⇒ non può essere uno spazio vettoriale perché non soddisfa la proprietà ◻

⇒ Qual è lo spazio vettoriale più piccolo?

Generatore di W

In generale

V spazio vettoriale qualunque

v₀ ∈ V fissato

W = span(v₀) = {λv₀ : λ ∈ R} è il sottospazio vettoriale del V

Dimostrazione

• w₁ ∈ W w₁ = λ₁v₀
• w₂ ∈ W w₂ = λ₂v₀
• w₁ + w₂ = λ₁v₀ + λ₂v₀ = v₀(λ₁ + λ₂) ∈ W

⇒ chiuso per la somma

• αw₁ = (αλ₁)v₀ ∈ W

⇒ chiuso per il prodotto

III Esempio

W = {(^x/_y) : x² + y² = 1}

No sottospazio (non passa per (0,0))

IV Esempio

W = {(^x/_y) : x² + y² = x = 0}

No sottospazio (perché non chiuso per somma e per prodotto)

Spazi vettoriali

ℝⁿ | ℝ[x] | M_mn(ℝ)

Sottospazi

chiuso rispetto alle due operazioni:

Span(v₁) = {λv₁ | λ ∈ ℝ}È un sottospazio vettoriale

Idea

Il sottospazio vettoriale sarebbe il piano

W = Span(v₁, v₂)W' = Span(v₃, v₂)   = Span(v₁, v₂, v₃)

Definizione

Combinazione lineare

Dati v₁, ..., v_k ∈ V e α₁, ..., α_k ∈ ℝ la combinazione lineare dei k vettori con coefficienti α₁, ..., α_k è il vettore

N = q₁v₁ +...+ q_kv_k

Definizione

Span(v₁,...,v_k)

Si chiama sottospazio generato da v₁,..., v_k e si indica con "Span (v₁, v_k)", l'insieme delle combinazioni lineari di v₁, ..., v_k

Sottospazio generato = (Span(v₁, v_k) = α₁v₁ +...+ α_kv_k : α₁,..., α_k ∈ ℝ)

Definizione

Sistema di generatori

Dato uno spazio vettoriale V e v₁,...,v_k ∈ V, si dichia che

⇒ sono linearmente dipendenti.

Base di uno spazio vettoriale

Definizione

Base

Dato uno spazio vettoriale V, un insieme di vettori B = {V₁, V₂, …, V_n} è chiamato base di V se è un SISTEMA di GENERATORI LINEARMENTE INDIPENDENTE

Cioè:

• V = Span (V₁, …, V_n)
• a₁V₁ + … + a_nV_n = 0 ⇒ a₁ = … = a_n = 0

Esempi:

1) V = ℝ²

• ¹/₀, ⁴/_-4

= B è una base di ℝ²?

• linearmente indipendenti?

I metodo: Sì perché NON PROPORZIONALI

II metodo: ^a₁/₀ + ^a₂/₄ = ⁰/₀

• a₁ = 0
• a₂ = 0
• Sistema omogeneo
• generatori?

Vero che ogni vettore v ∈ V si può scrivere come combinazione lineare di quei vettori ¹/₀ e ⁴/_-4?