Geometria e algebra - Parte 1

GLI INSIEMI

Se al termine del predicato "P" come contesto si pone il contesto "A" che dipende da "A" e t.t.t. gli elementi "A" tra cui "P" e vero!" si scrivono:

A = {x (Qx) P(x)}

Il nome della proprietà costitutiva di "A" attraverso l'uso di un insiemi. NOTA: PARADOSSO DI RUSSEL

Se "B" è un insieme è "a" è l'insieme "b" (B costitutivo della proprietà "P")

A = {x Є B P(x)}

INFO: Una proprietà e essere attiva attraverso l'insieme dell'insieme che si usa nell'elemento. Essa si convene in un suggerimento diventando la base naturale dell'allarme.

NOTA: Quindi la proprietà di un schema usato nel razionale di B.

INFO: Dove il principio non può esistere consumando il paradosso di Russel.

DEF:

L'INSIEME DELLE PARTI è l'insieme l'insieme dei sottoinsiemi di A,con l'assieme delle proprietà cardinalità.

OPERAZIONI FRA INSIEMI

• A ∪ B = {x | x Є A ∨ x Є B} UNIONE
• A ∩ B = {x | x Є A ∧ x Є B} INTERSEZIONE
• A - B = {x | x Є A ∧ x ∉ B} DIFFERENZA
• A^c = {x | x ∉ A ∧ x Є B} = C_A COMPLEMENTARE

PROPRIETÀ BASILARE DELLE OPERAZIONI FRA INSIEMI

• A ∩ A = A
• A ∪ A = A
• A ∩ B = B ∩ A Proprietà commutativa
• A ∪ B = B ∪ A Proprietà commutativa
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C Proprietà associativa
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C Proprietà associativa
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Proprietà distributiva
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Proprietà distributiva
• A ∩ A^c = ∅ ∪ A ∪ A^c = U

Prima legge di De Morgan

• (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
• (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c

Una applicazione è una funzione che associa elementi a A elementi in B. Se una relazione R è in A × B tale che per ogni a ∈ A esiste uno ed un solo b ∈ B: (a, b) ∈ R.

Esempio

• A = {a, b, c}
• B = {1, 2, 3}
• f: A → B
• a → 1
• b → 2
• c → 3

Definizioni

In ogni insieme X non vuoto, esiste un elemento identità su X e operazione X × X → X tale che ∃ id ∈ X...

Una applicazione f: A → B è detta invertibile se esiste una f^-1: B → A tale che f^-1 ∘ f = id_A, f ∘ f^-1 = id_B.

DEF

Dato l'elemento a e la classe di equivalenza di a, è detto

RAPPRESENTANTE

DEF

INSIEME QUOZIENTE

e il numero delle classi di equivalenza di un insieme A per la relazione di equivalenza R.

A/R = { [a₁], [a₂], [a₃] }

DEF

Dato un insieme A, un ricoprimento è una collezione di non vuoti sottoinsiemi di A che non sono sottomultipli. ∀X∈A, ∃B❎ X∈B ∘ B∈β

ESEMPIO

• A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Un ricoprimento detto anche una collezione di insiemi: A₁, A₂, A₃, A
• A₁ = {1, 2, 3}
• A₂ = {1, 2, 6}
• A₃ = {3}
• A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

DEF

Una qualunque funzione definita in A e che mappa in un'insieme detto Psi chiama PARTIZIONE di A.

• meno due elementi compaiono in vece di uno
• ammettono a loro due attribuzioni, il loro attribuire può essere acceso in vesti altre forme; in altre esse acconsentono dominando ulteriori visite o atti di giudizio
• a meno di non far altro reimpostando senza conclusioni, forse uno sughi all'insieme dei poltroni.

DEF

La CARDINALITÀ di un insieme A è il numero dei suoi elementi e si indica con |A|

Domanda: Dato un insieme A che è sottomesso dell'insieme B, posso dire della loro cardinalità?

Risposta: La cardinalità di A è precisata inferiore o pari alla cardinalità di B.

A ⊂ B ⇒ |A| ≤ |B|

DEF

Due insiemi detti A e B sono EQUIPOTENTI se |A| = |B| ed esisterà dunque una funzione biunivoca definita da A a B.

Relazione che dà luogo ai numeri razionali

A = ℤ x (ℤ - {0})

R ∈ A x A

Q = {[(m, n)]_R | ∈ A} m⋅n' = m'⋅n è una relazione di equivalenza

m     m'— = — ≡ m⋅n' = m'⋅nn     n'

Relazione che dà luogo a vettori liberi

Un vetore possiede le seguenti proprietà:

• Direzione data la direzione della retta passante per gli estremi del segmento
• Verso inteso come il verso della retta passante da A a B o da B ad A
• Modulo detto anche intensità o lunghezza, definito come la misura di ogni AB rispetto un fissato unità di misura

P e P' sono punti di applicazione

P, Q punti dello spazio della geometria elementare

I vettori non sono uguali perché hanno punti di applicazione diversi

La relazione che lega i vettori come disegnati è:

Q = {[(P, Q) (P', Q') | (P,Q) e (P', Q')] hanno uguale direzione, verso e modulo}

R è una relazione di equivalenza

Spazio Vettoriale

Esempio 3: Spazio V₂(R)

• Rⁿ {(x, y) | x, y ∈ R}
• +: Rⁿ x Rⁿ → Rⁿ
• (a₁, ..., a_n)+(b₁, ..., b_n) = (a₁+b₁, ..., a_n+b_n) (K, +) è un gruppo abeliano
• *: Rⁿ x R → Rⁿ
• (x₁, x₂, ..., x_n) * a = (ax₁, ax₂, ..., ax_n) a ∈ R

Es. Se V₂ R

u = (3, 7) v = (8, 3) u + v = (3 + 8, 7 + 3) = (8, 4)

Dimostrare che (K*, K, ⊕₁, 0) è uno spazio vettoriale

Dimostrazione per n = 2 -> V ∈ K*

1. Della prima cosa da dimostrare è che (K, ⊕₁) è un gruppo abeliano
   1. Proprietà commutativa

   ∀(a₁, a₂), (b₁, b₂) ∈ K²

   (a₁, a₂) ⊕₁ (b₁, b₂) = (b₁, b₂) ⊕₁ (a₁, a₂)

   Dim. (a₁, a₂) ⊕₁ (b₁, b₂) = [a₁+b₁, a₂+b₂] + [b₁+a₁, b₂+a₂]

   = (b₁, b₂) ⊕₁ (a₁, a₂)

   1. Proprietà associativa

   ∀(a₁, a₂), (b₁, b₂), (c₁, c₂) ∈ K²

   ((a₁, a₂) ⊕₁ (b₁, b₂)) ⊕₁ (c₁, c₂) = (a₁, a₂) ⊕₁ ((b₁, b₂) ⊕₁ (c₁, c₂))

   = ([a₁ + b₁ + c₁, a₂ + b₂ + c₂])

   = (a₁, a₂) ⊕₁ (b₁, b₂) ⊕₁ (c₁, c₂)

2. Elemento neutro

Esso (x₁, x₂) ∈ K²: ∀(a₁, a₂) ∈ K²: (a₁, a₂) ⊕₁ (x₁, x₂) = (a₁, a₂)

(x₁, x₂) ⊕₁ (a₁, a₂)