30/01/18
es
r:
{ y-1=0
{ x-z+2=0
a:
{ x-y=0
{ z-2=0
{ x2+y2-z2+z+f=x+y-z-y+f+z-1=0
(Da fare)
k
x y z
A
R
a
Esercizio: Interpretare geometricamente in E3(ℝ) la risolubilitā di: Ak X = Bk con
Ak = ( 2 1 k ) ( 0 )
( 1 k+1 0 ) , Bk = ( 3k+1 ), k ∈ ℝ
( -1 1 k ) ( 3 )
Interpretando le 3 equazioni come equazioni cartesiane di 3 piani [ ]
1) Se k?≠ -1, 0 ∃! soluzione 8(A) = 3 = 8(A|B)
2) se k? = -1 8(A) = 2 8(A|B) = 3 ∄ soluz.
3) se k=0 8(A)= 8(A|B) = 2 ∞1 soluz.
4) x n β n y = ȹ p ȹ
30/01/18
r:y - 1 = 0x - 2 = 0z + zt = 3/2t
a:x - y = 0z - 2 = 0
(da fare)
Esercizio:
Interpretare geometricamente in E3(ℝ) la risolubilità di: AkX = Bk
con
Ak =
- 2 1 k
- 1 k + 1 0
- -1 1 k
Bk =
- 0
- 3k + 1
- 3
Interpretando le 3 equazioni come equazioni cartesiane di 3 piani
1) Se kx ≠ -1, 0∃! soluzioneℚ(A) = 3 = ℚ(A|B)
2) Se kx = -1ℚ(A) = 2ℚ(A|B) = 3 7 soluzione
3) Se k = 0ℚ(A) = ℚ(A|B) = 2∞1 soluz.
4) π ∩ β ∩ γ = {Pβ}
2)
3 paralleli:
2 paralleli:
7 piani paralleli:
2x + y - z = 0 ← α x - z ← β-x + y - z = 3 ← γα ∥ β, α' ∥ β' ↔ [(a, b, c)] = t(a', b', c')]
→ non ci sono coppie di piani PARALLELI
α, β, γ sono piani di una stella impropria di piani
∞ punti di intersezione
3)
α, β, γ appartengono a un fascio proprio di piani:
E.s.: (T.E. 2008) Studiare la mutua posizione di:
v: {(k-1)x + y = 1
(k-z)y + kz = 0
(k-z)z = 3 } k ∈ ℝ
(a,b,c) ≠ (0,0,0) ⟹ se
k = 2 ⇒ (a,b,c) = (0,0,0)
S = 2
O = 3
1 0 | 0
k-2 k | k
se k ≠ 0 S = 2 ✓
se k = 0
(-1 1 9
0 0 0
-0 -2 0)
S = 2 ✓
se k ≠ 1, 2
Studiamo la compatibilità di:
{(k-1)x + y = 1
(k-2)y + kz = 0
(k-2)z = 3 }
{...}
se k, f ≠ 4, 2
S(A) = S(A|B) = 3 ∃! soluz.
se k = 1
S(A) = 2 S(A|B) = 3 ∄ soluz.
se k = 2
S(A) = 2 S(A|B) = 3 ∄ soluz.
⇒ Il piano non esiste
r e x incidenti
v // x disgiunt.
r ⊂ α n ∞ soluz.
Es. (2o test 2016) In ℤ¥(¥2) si determin: , al variare di k ∞ ℝ , la mutua posizione:
rk: x + k y = k
s: x - y = -1
tk: k x + (k - 1) y = 1
(a, b) ≠ (0, 0) ✓
⎡ t ⎤ ⎡ ⎤
{ x + Ky = K 1 K K
{ x - y = -1 AK= 1 -1 Presso BK = -1
{K x + (k - 1) y-1 K -1 k ≤ 1
2
- Se k ≠ 2 -1 &ThereExists; soluz ⊕(A|B) ≠0
- ⊕(B(A|B)=3⪢⊕(A)
- Se k=2 ⊕(A) = System(B(A|B)=2 ∃3/\
- Se k=-1 ⊕(A)= System(B(A|B)=2 ∃soluz
1 rk p tk
2)→
- Le 3 rette appartengono a un fascio proprio
3
v : x - y = -1
s : x - y = -1
tf: x - x - 2y 2 ← 1
- v // v '< ⇒> [(a,b)],[(a',b')]
vk, s
| 1 k || -1 -1 | = -1 - k = 0 <=> k = -1 => v // s <=> k = -1
vk ed s non sono mai parallele
s, tk
| -1 -1 || -1 k - 1 | = k - 1 + k = 2k - 1 = 0 <=> k = 1/2 => s // tk
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