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30/01/18
Esercizio: Interpretare geometricamente in E3 (R) le risoluzioni di: AkX = Bk con
Ak = 2 1 k
1 k+1 0
-1 k 1
Bk = 0
3k+1
3 k ∈ R
Interpretando le 3 equazioni come equazioni cartesiane di 3 piani
1) Se k ≠ -1, 0 ∃! soluzione
δ(A) = 3 = δ(A|B)
2) Se k = -1 δ(A) = 2
δ(A|B) = 3 ∄ soluz.
3) Se k = 0 δ(A) = δ(A|B) = 2 ∞1 soluz.
4) π ∩ β ∩ γ = ∉ P ⊄
2)
3 paralleli.
2 paralleli.
03 non paralleli.
|⎛ 2x + y - z = 0 ⎞ ⎜ x - 2 ⎟⎜ -x + y - z = 3 ⎟ |⍺ x₁ x <-> [ (a, b, c) ] = [ (a', b', c') ]=> non ci sono coppie di piani PARALLELI
x, β, y sono piani di una stella impropria di piani.
3)
∞ punti di intersezione
x, β, y appartengono a un fascio proprio di piani.
Es
In ℝ(c) equazione cartesiana e reale della retta reale passante per
P₁[-i-1,5,4]
P₂[-i-1,i,3,1]
r : (P,P)
- P₁ (i:1,5)
- P₂ (i:1,4,5)
- PP₁
- x-i+1
- y-5
- =
- |0
- -i-1-i+1
- s/0
- 2:(y-5)=0
y-5=0
Es
Si determini un punto reale appartenente alla retta r: (3+i)x-iy+λ+1=0
- r : (3-i)x+di+iy+1=0
- r:
- (3x+2=0)
- 2x-2=y
- Pa:
- (3+i)x-iy+λ+1=0
- (3+i)x-iy+λ+1=0
- Pr = (-1/3,-1/3)
05/12/2018
Esercizio
Dopo aver riconosciuto L: x2 - y2 - 2x + 2y + 3 = 0
dettamina:
1) I suoi punti impropri:
A = (1 0 -1) (0 1 2) (-1 1 3)
|A| = -3 ≠ 0 ⇒ L generale
|A|*|L < 0 ⇒ L iperbole
a11 + a22 = 0 ⇒ iperbole equilatera
Ci aspettiamo 2 punti impropri reali, distinti, ortogonali:
{ x1 - x2 = 0
x3 = 0
P∞ = [(1,1,0)]
P∞∞ = [(-1,1,0)]
P∞∞ + m1 + m1 = 0
2) La polare di A: (m,1) = [(1,1,1)]
(1 1 1) (0 0 -1) (x1) = 0
(0 -1 1) (0 0 3) (x2)
(-1 1 3) (x3)
3x3 = 0
x3 = 0 ⇐ polare di A
⇒ A è il centro di L
(4y2 + 6y - 12 = 0
y2 + 2y - 3 = 0
(y + 3)(y - 1) = 0
y = -3
y = 1
x = z + y
x - z - y
y = -3
x = -1
V3 = (-1, -3)
Vf = (3, 1)
06/12/18
esercizio:
riconoscere e studiare:
C: x2 + 4y2 + 2x - y - 1 = 0 → 2x2 - 8y2 + 4x - 2y - 2 = 0
|A| ≠ 0 → ℓ generale
(2, 0, 2)
0, 2, -1
2, -1, -2
|A*| = ℓ iperbole
asse non trasverso
asse trasverso
Centro:
2x + 2 → 6y - 1 = 0
(x = -1)
(y = -1/8)
C = (-1, 1/8)
esercizio (T.C. 2010)
Ck : x2+(k-2)xy+y2-4=0 k∈ℝ
- Classificare Ck al variare di k∈ℝ (3 pt.)
Axy = (k-2)2 9 → Atk = k-2 0
Axy = 0 Atk = 1
Atk = 0 Atk = 0
se k ≠ 0 : Ctk generale
se k = 0
A0 = 2 -2 0
-2 2 0
0 0 -6
ℑ(A0)=2 ⇒ C0 è semplicemente degenere
se k = 4
A4 = 2 2 0
2 2 0
0 0 -2
ℑ(A4)=4 ⇒ C4 è sempl. degenere
|Ak|= 2 k-2
k-2 2
=4-(k-2)2=k(4-k)=0 ⇔ k=0,4
k(4-k)≤0 0
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