Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
T:V→V' isomorfismo Allora kerT= {0} ⇒ dimker=0
Per il teorema Nullità + Rango: 0 + dimV' = dimV
EX: T:V→V' appl. lineare, dimV = u, dimV' = m. Dimostrare che
- a) se u=m, T non è iniettiva
- b) se m>u, T non è suriettiva (USARE Nullità + Rango)
Un'applic. lin. T:V→V' (dominio - codominio) si dice endomorfismo
Data un'appl. lineare, la controimmagine di un vettore b∈V' è l'insieme dei vettori di V che hanno come immagine b (si indica con T-1(b)) { x∈V tali che T(→x)=b }
ES1 La controimmagine di 0V' è KerT.
ES Se T= LA:ℝm→ℝn, la controimmagine di b→∈ℝm è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare A (x1xn) = b→
Siano dimV = u, dimV' = m. Abbiamo detto che fissata una base B di V e una base B di V' abbiamo una funzione
{ appl. lin. T:V→V' } → Mm,u
T → MB, B'(T)
Tale funzione è biettiva.
Se F:V→V' e G:V'→V'' sono appl. lin. la funzione composta G∘F:V→V'' è un appl. lineare (additiva e omogenea)
Prop. Siano B',B'' basi di V',V'' e V una F:V→V' e G:V'→V'' due appl. lin. Allora la matrice MB''B(G∘F) associata a G∘F è il prodotto delle matrici associata a G e F.
MB''B(G∘F) = MB''B'(G) MB'B(F)
Im(1) Sia v∈V
MB''B'(G) MB'B(F) tB(v) = MB''B'(G) tB'(F(v)) = tB''(G(F(v)))
Coord. rispetto a B.
Quindi il MB''B'(G) MB'B(F) agisce per moltiplicazione come MB''B(G∘F) e quindi coincidono.
Sia T:V→V un endomorfismo
T∘T∘T∘...∘T DEF Tn
n volte
Se MBB(T) = A, allora MBB(Tn) = An
Prop. Sia T:V→W un'app. lineare, A = MB'B(T).
T è un isomorfismo ↔ {dim V = dim W
def. A ≠ 0
↔ A matrice quadrata
Teorema
T : V → V endomorfismo. Siano B e B' due basi di V. Allora MBB'(T) e MB'B(T) sono simili.
Dim
Dimostriamo che MBB'(T) = MBB'(Id) . MBB(T) . MB'B(Id) .
MBB'(Id) . vB = MBB'(Id) . MBB(Id) . vB = vB'
FB'B(vB') = FB(T(vB'))
MBB'(T) = MBB(Id) . FB'(T(vB'))
Quindi il prodotto delle tre matrici agisce come MBB(T), quindi è uguale ad essa.
Viceversa, se MBB(T) è simile a A ∈ Mn, allora esiste una base B' per cui A = MB'B(Id) = P-1 . MBB(T) . P, P è la matrice del cambiamento di base che cambia le coordinate da una certa base B' a B.
DEF
Una matrice A ∈ Mn è diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale.
Un operatore (o endomorfismo) T : V → V è diagonalizzabile se esiste una base B di V per cui MBB(T) è diagonale. Quindi T è diagonalizzabile ⇒ MBB(T) è diagonalizzabile (qualsiasi sia la base B).
Def Il polinomio che si ottiene svolgendo il det (A - λI) (λ è la variabile) è detto polinomio caratteristico di A. Le radici del polinomio caratteristico sono gli autovalori di A.
Se λ è un autovalore di A, per trovare il autospazio relativo a λ bisogna trovare Ker (A - λI), ovvero risolvere il sistema (A - λI) x = ( 0..
Sia T : V → V un operatore. Scelgo una base B di V, faccio quanto detto per A = TBB (T) E' base definita, cioè non dipende dalla base B scelta poiché se cambiamo base otteniamo una matrice simile e vale il seguente teorema:
Proposizione Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.
Dim. Siano A e A' due matrici simili. Esiste P ∈ Mn invertibile tale che A' = P-1 A P
- polinomio caratteristico = det (A'-1 - λI) = det (P-1 A P - λI)
- = det (P-1 A P - P-1 λI P) = det (P-1 (A - λI) P) BINET.
- = det(P-1) ・ det (A - λI) ・ det(P)
EX
C'erudomorfismo T : R3 → R3
T(x1, x2, x3) = (2x1 - x2 + x3, x2 + x3, 2x1 + x2 + 3x3)
è diagon...lizzabile?
Scegliamo la base canonica e
Mee(T) = A = (2 -1 1) (0 1 1) (2 1 3)
Troviamo gli autovalori: det (A - λI) =
det (2 - λ -1 1) (0 1 - λ 1) (2 1 3 - λ) = ... = - λ3 + 8λ2 ≥ 0
(λ-2)2 (λ-u)
λ2 = λ1 = 2 ma(2) = 2 mg(2) = 2
λ3 = 4 ma(u) = 1 mg(u) = 1
Troviamo E(2) : (A - 2I) X = 0
(0 -1 1) (x1) (0) (0 -1 1) (x2) = (0) (2 1 1) (x3) (0)
(x2 - x3 = 0) (x2 + x3 = 2x1)
{ (x1) (-x1) con x1 ∈ R (-x1) } = Span (1) (-1) (-1)
mg(2) = 1
NON DIAGONALIZZ.
II2 = V02
( x1 y1 ) ( x2 y2 ) = x1y1 + x2y2 = OP cos φ
OP sen φ
OP OQ ( cos φ cos (θ + φ) + sen φ sen (θ + φ) )
= OP OQ ( cos φ cos θ cos φ + cos φ sen θ sen φ +
sen φ sen θ cos φ + sen φ cos θ sen φ ) =
OP OQ ( cos2 φ + sen2 φ ) =
‖OP‖ = √( x12 + x22 )
Teorema di Pitagora = la distanza del punto o da P.
Def. Una base B (v1, …, vm) di ℝn di un suo sottospazio si dice ortogonale se è composta da vettori a due a due perpendicolari. B si dice ortonormale se oltre ad essere ortogonale è composta da versori.
B(v1, …
vm) ortonormale
⟨vi, vj⟩ = 0
i ≠ j
∀ i, j
V
iffj
⟨vi, vi⟩
ffj
||vi|| = 1
ℝn
Teorema Siano v1, …, vk ∈ ℝn vettori non nulli a due a due ortogonali. Allora essi sono linearmente indipendenti.
Dim. Sia c1v1 + … + ckvk = 0. Per ogni i = 1, …, k0 = ⟨0, vi⟩ = ⟨c1v1 + … + ckvk, vi⟩ = c1⟨v1, vi⟩ + … + ci⟨vi,vi⟩ + … + ck⟨vk,vi⟩ = ci⟨vi,vi⟩ci|
⟨vj, vi⟩ = 0 ∀ j ≠ i
Poiche vi ≠ 0, ||vi||2 > 0, quindi ci = 0
Dal argomento vale ∀ i = 1, …, k quindi tutti i coefficienti sono nulli.
ESERCIZI fino 8.3
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
