Geometria - seconda parte del programma

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Revisionato il 20/04/2026

di mazzock23

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Appunti di geometria sulla seconda parte del programma basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Marietti dell’università degli Studi del Politecnico …

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Marietti Mario

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2016-2017

92 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

L'isomorfismo tra spazi vettoriali

T: V → V' ^isomorfismo. Allora ker T = {0}, dim ker = 0, Im T = V'. Per il teorema nullità e rango: 0 + dim V' = dim V

Applicazioni lineari

EXT: V → V', appl. lineare, dim V = n, dim V' = m. Dimostrare che:

Se n = m, T è iniettiva
Se m = n, T non è suriettiva

(USARE Nullità e Rango)

dim ker(T) + dim Im(T) = dim V

Endomorfismo

Un'applicazione lineare T: V → V' (dominio = codominio) si dice endomorfismo (o operatore)

Date un'applicazione lineare, la controimmagine di un vettore b ∈ V' è l'insieme dei vettori di V che hanno come immagine b (si indica con T^-1(b))

Esempi

ES1: La controimmagine di 0_V' è ker T.
ES2: Se T = L_A: ℝⁿ → ℝ^m, la controimmagine di b_V' è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare Ax = b_V'.

Siano dim V = n, dim V' = m.

Abbiamo detto che fissata una base B di V e una base B' di V' abbiamo una funzione tale funzione è biettiva.

Isomorfismo

T: V → V' ⁱ isomorfismo. Allora ker T = {0}^j ➔ dim ker = 0. Im T = V'^k. Per il teorema nullità e rango: 0 + dim V' = dim V

Teorema Nullità e Rango

Ex: T: V → V'^l, appl. lineare, dim V = n, dim V' = m. Dimostrare che:

Se n = m, T è iniettiva
Se m = n, T non è suriettiva (USARE Nullità + Rango)

dim ker (T) + dim Im (T) = dim V

Endomorfismi e operatori

Un'applicazione lineare T: V → V'^m (dominio = codominio)ⁿ si dice endomorfismo (0-operatore)

Date un'applicazione lineare, la controimmagine di un vettore b ^o V' è l'insieme dei vettori di V che hanno come immagine b (si indica con T^-1(b))

{^pv^q∈V tale che T (v')=b^r}

Esempi

ES1: La controimmagine di 0^sV' è ker T.
ES2: Se T = L^tA: R^u→ R^v, la controimmagine di b^w è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare A (x₁x_m) = b^x.

Siano dim V = n, dim V' = m.

Abbiamo detto che fissata una base B di V e una base B' di V' abbiamo una funzione {appl. lin. T: V → V'} → M_m,nT → M^y_B',B(T). Tale funzione è biunivoca.

Composizione di applicazioni lineari

Se F:V→V' e G:V'→V'' sono appl. lin., la funzione composta G∘F:V→V'' è un'applicazione lineare (additiva e omogenea)

Siano β, β' , β'' basi di V, V', V'' e F:V→V' e G:V'→V'' due appl. lin., allora la matrice M_β''β^β(G∘F) associata a G∘F è il prodotto delle matrici associate a G e F.

M_β''β^β(G∘F) = M_β''β^β'(G) . M_β'β^β(F)

Endomorfismi e matrici

∃ un endomorfismo T∘T∘T … ∘T = Tⁿ. Sia T:V→V' un'app. lineare, A = M_β'β^β(T). dim V = dim W, det A ≠ 0. L: A matrice quadrata Dim T isomorfismo.

Proposizione

Se T è un isomorfismo e M_B,B(T) = A, allora M_B,B(T^-1) = A^-1 Dim Visto che T^-1 o T = I_n, le due matrici moltiplicate tra loro devono dare l'identità di ordine (I_m), ovvero sono una l'inversa dell'altra.

Esempio

Es: Sia F: R³ → R³. Dire se è invertibile e in caso lo sia, trovarne l'inversa. Scegliamo la base canonica det ≠ 0. F è invertibile (quello col determinante).

Problema

Siano B e B' due basi di V (dim V = n). Sia v∈V qual è il legame tra F_B(v) e F_B'(v) (ovvero tra le coordinate dello stesso vettore v rispetto a due basi diverse)?

M_B'B(Id)F_B'(v)F_B(v) matrice del cambiamento di base che cambia le coordinate da B a B'

B = (v₁, ..., v_n) M_B'B(Id) = (F_B(v₁) F_B'(v₂) ... F_B'(v_n)) La matrice del cambiamento di base che cambia le coordinate da B' a B è M_BB'(Id) ed è l'inversa di M_B'B(Id).

Osservazione

OSS det M_B'B(Id) ≠ 0 perché Id. è un isomorfismo. Viceversa, fissata una base B di V, se A è una matrice con det ≠ 0, allora esiste una base B' di V tale che A = M_B'B(Id). (ogni matrice con det ≠ 0 è la matrice del cambiamento di base per un'opportuna base B').

Definizione

DEF det M_B'B(Id) e det M_BB'(Id) sono uno l'inverso dell'altro e, quindi, o tutti e due positivi o tutti e due negativi. Se sono positivi, B e B' si dicono basi equivalenti. Se sono negativi, B e B' si dicono basi controverse. La relazione "essere equivalenti" è una relazione di equivalenza.

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