Geometria (seconda parte)

Spazio vettoriale dei polinomi di grado < n

R _n [X] = insiemi dei polinomi (reali) nella variabile x di grado < n

Esempio

3 + 2x3 + 4x + 7 e x3 + x2 - 4 sono polinomi ∈ R _n _n [X]

R _n [X] è un sottospazio vettoriale di [R[X]

R _n [X] ha basi (finite). Ad esempio, una base di R _n [X] è

(1, x, x ², x ³, ..., x ^n-1)

Infatti:

• questi n vettori (polinomi) sono chiaramente linearmente indipendenti
• ogni polinomio di grado <= n è combinazione lineare di essi

Esempio

(1, x, x ², x ³, x ⁴, x ⁵) è una base di R ₆ [X], ha 6 vettori

Teorema

Ogni vettore v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n.

Dimostrazione

v ∈ V si scrive come combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n perché questi generano V. Supponiamo:

v̅ = a₁v̅₁ + a₂v̅₂ + ... + a_nv̅_nv̅ = b₁v̅₁ + b₂v̅₂ + ... + b_nv̅_n

Allora v̅ - v̅ = (a₁ - b₁)v̅₁ + (a₂ - b₂)v̅₂ + ... + (a_n - b_n)v̅_n

Essendo indipendenti, l'unica combinazione lineare di v̅₁, v̅₂, ..., v̅_n che dà il vettore nullo è quella con i coefficienti = 0, ovvero

a₁ = b₁, a₂ = b₂, ..., a_n = b_n

Grazie al teorema, se v̅ = a₁v̅₁ + a₂v̅₂ + ... + a_nv̅_n, definiamo:

F_B(v̅) =

1. a₁
2. ...
3. a_n

Applicazioni lineari

Siano \( V \) e \( V' \) due spazi vettoriali. Una funzione \( T : V \rightarrow V' \) si dice applicazione lineare se è additiva e omogenea, ovvero se

1. per ogni \( \vec{v_1}, \vec{v_2} \in V \), si ha \( T (\vec{v_1} + \vec{v_2}) = T (\vec{v_1}) + T(\vec{v_2}) \) _{(additività)}
2. per ogni \( \vec{v} \in V \) e \( c \in \mathbb{R} \), si ha \( T (c \vec{v}) = c T(\vec{v}) \) _{(omogeneità)}

Esercizio Dimostrare che

\[ T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \]

\[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} x_1 - x_2 \\ 2x_2 + x_3 \end{pmatrix}\]

è un'applicazione lineare.

In un'applicazione lineare da \(\mathbb{R}^u\) in \(\mathbb{R}^m\), le componenti dell'immagine di \(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_u \end{pmatrix} \) sono combinazioni lineari di \( x_1, \ldots, x_u \).

Corollario

Sia T: V ➝ V' un'isomorfismo. v̄₁, v̄₂, ..., v̄_k ∈ V sono dipendenti se e solo se T(v̄₁), T(v̄₂), ..., T(v̄_k) ∈ V' lo sono.

Dimostrazione

Basta applicare il risultato precedente e T e T^-1.

Proposizione

Siano T: V ➝ V' un'applicazione lineare, W un sottospazio vettoriale di V e G un insieme di generatori di W.Allora l'immagine di W

T(W) = {T(w̄) : w̄ ∈ W}

è un sottospazio vettoriale di V' generato da T(G).

Dimostrazione

T(W) ≠ ϕ poiché W ≠ ϕ. ϕ = insieme vuoto

• chiuso rispetto alla somma ?
• " " al prodotto ?

Teorema

Sia A = {₁, ₂, ..., _k} un insieme di generatori di V e B ≤ A un sottinsieme massimo di vettori indipendenti (cioè i vettori di B sono indipendenti e se aggiungiamo un altro vettore di A, non lo sono più). Allora B è una base di V.

Dimostrazione

Bisogna dimostrare che B genera V; per fare ciò basta dimostrare che A ⊆ Span B, perché ciò implica V = Span A ⊆ Span B. Sia v ∈ A. Supponiamo B = {₁, ₂, ..., _n}. ₁, ₂, ..., _n, v sono dipendenti; perciò ∃ a₁, c₂, ..., c_n, c non tutti nulli tali che

c₁₁ + c₂₂ + ... + c_nn + c v = 0

c ≠ 0 perché ₁, ₂, ..., _n sono indipendenti. Quindi:

v = 1/c (c₁₁ + c₂₂ + ... + c_nn) ∈ Span B.

Quindi uno spazio vettoriale di dim = u non può essere generato da meno di u vettori perché da questi si potrebbe estrarre una base con meno di u vettori.