Geometria (seconda parte)

Spazio vettoriale dei polinomi di grado < n

ℝ_<n[X]: insieme dei polinomi (reali) nella variabile x di grado <n

Esempio

x⁵ + 2x³ - 4x + 17 e x³ + x² − 4 sono polinomi ∈ ℝ_<n[X]

ℝ_<n[X] è un sottospazio vettoriale di ℝ[X]

ℝ_<n[X] ha basi (finite). Ad esempio, una base di ℝ_<n[X] è

(1, x, x², x³, …, xⁿ−1)

Info

• questi n vettori (polinomi) sono linearmente indipendenti
• ogni polinomio di grado <n è combinazione lineare di essi

Esempio

(1, x, x², x³, x⁴, x⁵) è una base di ℝ_<6[X], ha 6 vettori

Spazio vettoriale dei polinomi di grado < n

R _n [x] = insieme dei polinomi (reali) nelle variabile x di grado <n

Esempio

5 + 2x^3 - 4x - 17 e x^3 + x^2 - 4 sono polinomi ∈ R _n [x]

R _n  [x] è un sottospazio vettoriale di R[x]

R _n  [x] ha basi (finite). Ad esempio, una base di R _n [x] è

(1, x, x^2, x^3, ..., x ^n-1)

Infatti:

• questi n vettori (polinomi) sono linearmente indipendenti
• ogni polinomio di grado <n è combinazione lineare di essi

Esempio

(1, x, x^2, x^3, x^4, x^5) è una base di R _n [x], ha 6 vettori

Fissiamo uno spazio vettoriale V con una base B = (v₁, v₂, ..., v_n).

Teorema

Ogni vettore v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n.

Dimostrazione

v ∈ V si scrive come combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n perché questi generano V. Supponiamo

v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_nv = b₁v₁ + b₂v₂ + ... + b_nv_n

Allora v - v = (a₁ - b₁)v₁ + (a₂ - b₂)v₂ + ... + (a_n - b_n)v_n.

Essendo indipendenti, l'unica combinazione lineare di v₁, v₂, ..., v_n che dà il vettore nullo è quella con i coefficienti = 0, ovvero

a₁ = b₁, a₂ = b₂, ..., a_n = b_n.

Grazie al teorema, se v = a₁v₁ + a₂v₂ + ... + a_nv_n, definiamo:

F_B(v) =

( a₁

...

a_n )

coordinate rispetto alla base B

La base canonica di Rⁿ è E = (e₁, e₂, e₃, ..., e_n).

e₁ = (1)(0)(0)(⋮)(0)

e₂ = (0)(1)(0)(⋮)(0)

e₃ = (0)(0)(1)(⋮)(0)

... e_n = (0)(0)(0)(⋮)(1)

Rispetto alla base canonica, ogni vettore ha coordinate che coincidono con le sue componenti: infatti:

(d₁)(d₂)(d₃)=(⋮)(d_n)

= d₁ (1)(0)(⋮)(0)

+ d₂ (0)(1)(⋮)(0)

+ d₃ (0)(0)(1)(⋮)(0)

+ ... + d_n (0)(0)(0)(⋮)(1)

Se cambio base, un vettore ha, in generale, coordinate diverse.

Esercizio Calcolare le coordinate del vettore (5, 8) rispetto alla base canonica E e alla base B = ((1, 1), (1, 2)).

Coordinate rispetto alla base canonica: F_E (5, 8) = (5, 8)

Coordinate rispetto alla base B: F_B (5, 8) = ?.

Qual'è la combinazione lineare di (1,1), (1, 2) che dà (5, 8)?

x₁ (1)(1)

+ x₂ (1)(2)

= (5)(8)

(x₁ + x₂)(x₁ + 2x₂)=(5)(8)

x₁ = 2

x₂ = 3

Quindi F_B (5, 8) = (2, 3)

Il vettore nullo _B induce, le coordinate rispetto a qualsiasi base B = (v₁, v₂, ..., v_n).

0 = 0v₁ + 0v₂ + ... + 0v_n