Appunti sulle geometria delle masse

NOTA STATICO MASSA

DI

CENTRO

E

:

DEFINAZIONE

PER d Sa

s SxSpd

I MOMENTI STATICI rispetto agli assi baricentri i sono nulli.

DI HUYGENS

TOREMA m(D

+

Fran

ReDt

De d

Frau)

i

Darò un continuo , un versore , e due punti G e +

=

Il momento d’inerzia rispetto ad una retta parallela ad una retta baricentro a é dato dal

momento d’inerzia baricentrico piu la massa del sistema per la distanza fra le due rette al

quadrato bh

Ex =

-

I Fy

+

= =

D'IMERZIA

TENSORE

É un tensore rappresentato da una matrice 3x3 nel caso tridimensionale e 2x2 nel

caso bidimensionale.

Per un sistema discreto é de nito rispetto ad un polo o. Toff

TERR3

s

Sia un vettore generico , il tensore d’inerzia

[ux(j 0

I(a) Ejmj(pj 0) x

= - -

(p-o

. d

Per un sistema continuo

Tori 0)(dVEIR

(p(p ) (ux(

- x

= - ER2

(3 ORTOGONALE AL PLANE -

,

X G

-

Io Izu

(i) - =

u -

Sia un versore, allora MOMENTO D’INERZIA RISPETTO

-

LTLORE i

ALLA RETTA PASSANTE PER O e DIRETTA LUNGO

Rappresentazione di con una matrice, scelto il sistema di riferimento

·

i

Fo

Fo #

I

Ideej I esimo

all'asse

d'inerzia rispetto i-

Momento

=

= : Igje

e

Seij ore Momento deviatorico

ej =

. fi 26/33

MOMENTO DEVIATORICO

. Affit Vettore dato da la sua proiezione ortogonale sulla

hi A

S retta r

o

o

88 ..

Dato un sistema di masse discreto, un polo O e una retta r passante per O, é MOMENTO

DEVIATORICO É IL VETTORE

Emihi

pi

Dra =

per un sistema continuo De

TanSprahorsale

torniamo al TENSORE DI INERZIA

⑫ I Fi

Fo = A

RISPETTO

D'IMERZIA

MOMENTO ASSE .

I

I Foj Iij

ifj

se =

=

J

RETTA"" X5

LA = Forte

I-Fès

Des

Den

= Pertando

+ -

=

e

L RETTA "2" 02

LA = b

I E SIMMETRICO

L "2"

CARETTA 13

=

LEGAMI COSTITUTIVI

5671E Le equazioni di legame devono essere CONSISTENTI : non devono

LEGALE COSTITUTIVO “contraddire” le equazioni di bilancio e di congruenza (cinematiche)

Ipotesi alla base del modello costitutivo che analizziamo

● LOCALE: la tensione in un punti dipende SOLO dalle deformazioni in quel punto

● INDIFFERENZA RISPETTO AL SISTEMA DI RIFERIMENTO: il legame é indipendente

dell’osservatore/ sistema di riferimento

● ISOTROPIA: se le proprietà del materiale sono le stesse

XpeB

● OMOGENEITÀ: la legge costitutiva é la stessa

E-E

● DEFORMAZIONI INFINITESIME

MONODIMENSIONAL

DAL

PARTIAMO CASO car

COMPORTAMENTO &

↑

plastico

,

⑮ lo "Se

, e

/ /

NOMINALE

TENSIONE MEDIA

· Ep Ergreformazio 0

E

formberationa sottura =

= E deformAZINE ASSIAE

TRATTO ELASTICO: in questo tratto se vengono rimosse le cose che provocano la

deformazione, il materiale torna esattamente nella con gurazione indeformata = PROCESSO

É REVERSIBILE

Il processo REVERSIBILE/CONSERVATIVO può essere descritto da una funzione di stato

integrabile e differenziabile che prende il nome di POTENZIALE ELASTICO ( DENSITÀ DI

ENERGIA DI DEFORMAZIONE )

↑ Gij

(ij) Tale che PER

Il problema costitutivo si riconduce alla ricerca della funzione fi

5x ?

ID

MEL cE

CASO G = ga 1x -

"

[c [7] E

u = = young

moruco di

= FIM F MOLLA

( Al

EE

E G EQUAZIONE LEGAME

M

= = KAl

F =

I CONTINUI SONO TRIDIMENSIONALI

(343] [313)

E

d ;

= = EE

G =

Come si può estendere il concetto MONODIMENSIONALE

ER

E

de

dove , al caso tridimensionale? EE

5

Per mantenere la linearità (come per il caso ) si introduce un tensore del 4 ordine

=

tale che ECijnk E

Cijan

dij En =

= E s =

(u = Cijak é l’angolo di E per il caso 3D

Usando la conversione di Einstein

Gazz

-Gark ErntGess Est 6332

Casas (ass

East Case e

Ess Cessa

(a23E (122s Ze

+ d

+

= + +

+

E

Gas Sij

Solo per son servite 9 costanti elastiche. Siccome di Ne esistano 9, allora il

-

legame é scritto con una matrice elastica

Cijar costante

919

di 81

=

Eij 946 54

=

1) Si ricorda che é un tensore SIMMETRICO pertanto le costanti si riducono a

6X6

Dij 36

2) Si ricorda che é SIMMETRICO costanti elastiche per de nire il

=

Eij

Fij

legame , lineato

X

Kijij Enk =

3) Se si deriva ancora rispetto a

(frie) /

Cijma

=> Cakji

Cijak =

↳ COSTANTI

21

15

36 =

-

struttando unipotesi M isotrop

·

⑳ b

646 COSTANTI UNA

COMPORTA DELLE

SIGNIFICATIVA

RIDUZIONE COSTANTI

27/13

*

&

ISOTROPIA >

-

E Y

- b

Se le proprietà meccaniche SONO LE STESSE IN TUTTE LE DIREZIONI DI

&

DEFORMAZIONE per l’hp. di isotropia, allora il potenziale elastico dipende SOLO dagli

invarianti del tensore di deformazione /terGr) /E

EneErEnEai Izdet

Fate(E) Fa

Err-EastEnzEs =

;

=

sono detti INVARIANTI DEL TENSORE DELLE DEFORMAZIONI INFINITESIME

Cijneijderk COSTANTI

Sono

Si osserva inoltre che =

① Eij

é al più una funzione quadratica rispetto a

Il & 0 Ca

Una forma di che soddisfa queste condizioni é la seguente +

y

C2

Cs e SONO DELLE COSTANTI DA DETERMINARE.

In Einik Eij ik O

E =

= = SICF ESTR

E a

ENE ELETTR ESEREARER E E

CHE

NOTT

SI [leja) /Eine]

Kijik

① (ijr-rejorn)

= + E EIj

DERIVARE RISPETTO A

ADESSO

POSSO

dij

ar

Fij

Erkij Ekkijt

Eledij - Enje Eredij-Eij

+ =

= =

=+ E

-dijeforma compatta

X =X, COSTANTI

=

em M

É più conveniente usare le due costanti +

c c

= M CAME

XtEid

0 2uE =

+ esprime il legame costitutivo per un continuo elastico, lineare,

=

omogeneo e isotropo. Xeu

In alcune applicazioni é conveniente adottare altre costanti legate a come

segue tem

E= MODULO DI YOUNG v= COEFFICIENTE DI POISSON