Riassunto esame Geometria, prof. Ratto, libro consigliato Matematica per le Scuole di Architettura di Ratto e Cazzani

Geometria

Spazio Euclideo Tridimensionale IR³

Vettore

Caratteristiche: - Lunghezza = Modulo

P₀P₁ = sqrt((x – x₀)² + (y – y₀)² + (z – z₀)²)

|v| = sqrt(v₁² + v₂² + v₃²)

• Direzione
• Verso

Operazioni tra vettori

u₂(u₁ + u₂ – u₃)

v (v₁, v₂, v₃)

Somma tra due vettori: Regola del parallelogramma

u + v

u + v (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃)

Moltiplicazione tra un numero e un vettore

λv = (λv₁, λv₂, λv₃)

• Se λ > 0 verso di v = verso di v
• Se λ < 0 verso di v opposto verso di v

Calcolo delle coordinate di un vettore dati due punti

P₀(x₀, y₀, z₀) P₁(x, y, z)

P₁ – P₀(x – x₀, y – y₀, z – z₀)

Calcolo del punto medio

M (x₀ + x)/2 (y₀ + y)/2 (z₀ + z)/2

Calcolo del versore

v/|v| = Versore è un vettore di modulo 1

|v| = 1

Combinazione lineare

v= v₁ + v₂ + v₃

c₁ = x/|x| (1, 0, 0)

c₂ = y/|y| (0, 1, 0)

c₃ = z/|z| (0, 0, 1)

Prodotto Scallare Tra Due Vettori

v • v = v₁u₁ + v₂u₂ + v₃u₃

v • v = | u | | v | cosθ

0 < θ < π/2

Condizione Di Ortogonalità Tra Vettori

v • v = 0

u ⊥v

Calcolo Del Coseno

cosθ = v • v / |u| |v|

Calcolo Di Un Vettore ω, Proiezione Di v Su ω

ω = |v| cosθ vers ω = |v| cosθ ω / |ω|

ω = v • ω / |ω|² ω

Prodotto Vettoriale Tra Due Vettori

u ∧ v = (u₂v₃ — u₃v₂ , (u₃v₁ — u₁v₃ , u₁v₂ — u₂v₁)

Proprietà Algebriche Del Prodotto Vettoriale

u ∧ v = — (v∧ u)

u ∧ (v + ω) = (u ∧ v) + u ∧ (w)

λu ∧ v = λ (u ∧ v) = u ∧ (λv)

Proprietà Geometriche Del Prodotto Vettoriale

|u ∧ v| = |u| |v| sinθ

Condizione Di Ortogonalita Tra Vettore e Piano

u ∧ v ≠ 0 (u ∧ v ↥ al piano v)

(u ∧ v ∧ ω = |u ∧ ω| ⟹ FORMA UNA TRIADE DESTRA

Condizione Di Parallelismo Tra Vettore e Piano

u ∧ v = 0

u // v

Iperbole in forma canonica

F₂ = -F₁

Equazione parametrica dell'iperbole

• X = a cosht
• y = b sinht

coseno iperbolico

seno iperbolico

Parabola in forma canonica

Calcolo dell'equazione della parabola

dati un punto P e la direttrice e/o il fuoco

• dist (P,M) = ^y₀+p/₂
• dist (P,F) = sqrt(x₂(y-^p/₂)²

Sfere e circonferenze

X²+y²+z²-2αx-2βy-2γz+δ=0

(x-α)²+(y-β)²+(z-γ)²-R²

X₀x+y₀y+z₀z-α(x+x₀)-β(y₀)+γ(z+z₀)+δ=0

Matrice Diagonale

Se in A = (a_ij) ∈ H_n(ℝ)

(i = j) => (a_ij = 0)

A = [a₁₁ 0 0] [0 a₂₂ 0] [0 0 a₃₃]

Matrice Identità

I = [δ_ij]

δ_ij = {

• δ_ij = 1 se i = j
• δ_ij = 0 se i ≠ j

δ_ij è simbolo Kronecker

I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

Proprieta' della Matrice Identità

A · I = I · A = A ∀A ∈ H_n(ℝ)

Determinante

detA = |a_ij|

A = |a_ij| ∈ H_n(ℝ)

Matrice 1x1: A = [a₁₁] detA = a₁₁

Matrice 2x2: A = [ [a₁₁ a₁₂] [a₂₁ a₂₂] ] detA = a₁₁ · a₂₂ - a₂₁ · a₁₂

Matrice 3x3: A = [ [a₁₁ a₁₂ a₁₃] [a₂₁ a₂₂ a₂₃] [a₃₁ a₃₂ a₃₃] ] detA = a₁₁ |a₂₂ a₂₃| - a₁₂ |a₂₁ a₂₃| + a₁₃ |a₂₁ a₂₂|

Complesso Algebrico

A_ij si ottiene cancellando righe e colonna del coefficente a_ij

A = [ [a₁₁ a₁₂ a₁₃] [a₂₁ a₂₂ a₂₃] [a₃₁ a₃₂ a₃₃] ] A_ij = [ [a₂₂ a₂₃] [a₃₂ a₃₃] ] A₂₂ = [ [a₁₁ a₁₃] [a₃₁ a₃₃] ]

Sistema Risolvibile

Considerando in generale i sistemi lineari. Diremo che un sistema è risolvibile se ammette almeno una soluzione.

• Ampliamo l'insieme \( \mathbb{R}^n \) (Vettore)
• Trascr. le m soluzioni \( x_1, x_2, ..., x_n \)

Sistemi Svilupaticamente Calcolati

[...] Omogenei sono sempre risolvibili, prime:

• \( b = 0 \quad \epsilon \quad x = \cdot I_ot \right....0 \quad ma \, possono \, avere \altre \, soluzioni \).

Sistemi Triangolari

Si dice che un sistema lineare \( A \cdot X = B \) è triangolare se:

La matrice \( A = [a_{ij}] \epsilon M_{mm}(IR) \) con \( m, n \cdot \epsilon \) matrice triangolare superiore con la proprietà che:

• \( a_{ij} \bold 0 \quad \forall \quad 1, ... , m

Dimensiones D \quad W

La dimensione di W ovvero \( dim \, W \) coincide con numero in particelle (= numeri dei idonei richi) necessaria a descrivere \( W \).

Se W è descritta con in sistema lineare diogene coordinate libere allora:

• \( dim \, W = p \)
• \( dm \, W = n \cdot p(A)

Costruzione di Una Base di W

Si costruisce assegnando a alle coordinate libere (I) insisette in veri:

• \( tov, \, o \quad 0,7,0,0 \quad o_1 \, I, \, o_p - 1 \)

\( X \epsilon s_p \quad avetrò

• 1, 0, 0, l
• 0, 7, 0, 0;
• 0, 0, l, 0;
• 0, 0, 0, 1

Matrice Complessa Associata al Sistema A'

• A' \( = [A,B] \epsilon M_{m \cdot m + 1}(IR) \)

Si ottiene da aggiungendo a destra una colonna costituita dai termini noto B \( \bold I(A) \quad \bold I(A")

Teorema di Rouche-Capelli

Si considera un generico sistema lineare \( A \cdot X = B \) (Assolvibile)

• \( \bold I(A), (bold I(A') \)

Se \( A \cdot X = B \) risolvibile, ovvero ammette un numero \( X \) coordenate libere p = \( n \cdot p(A) = 0 \cdot soluzioni,