Riassunto esame Geometria, prof. Ratto, libro consigliato Matematica per le Scuole di Architettura di Ratto e Cazzani

Geometria nello spazio euclideo tridimensionale ℝ³

Vettore e caratteristiche

- Lunghezza = Modulo P₀P₁ = √((x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)²) |V̅| = √(v_x² + v_y² + v_z²)

- Direzione

- Verso

Operazioni tra vettori

u̅ = (u₁, u₂, u₃)
v̅ = (v₁, v₂, v₃)

Somma tra due vettori: Regola del parallelogramma
u̅ + v̅ = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃)

Moltiplicazione tra un numero e un vettore
λv̅ = (λv₁, λv₂, λv₃)
se λ > 0 verso di λv̅ = verso di v̅

Calcolo delle coordinate di un vettore dati due punti
P₀(x₀, y₀, z₀)
P_c(x₁, y₂, z)
P_B - P₀(x - x₀, y - y₀, z - z₀)

Calcolo del punto medio
M = (x₀ + x₁ / 2, y₀ + y₁ / 2, z₀ + z₁ / 2)

Calcolo del versore
w̅ = v̅ / |v̅|
Il versore è un vettore di Modulo 1
|w̅| = 1

Combinazione lineare
v̅ = v₁c₁ + v₂c₂ + v₃c₃
c_x = x̅ / |x̅|

• c_x = (1, 0, 0)
• c_y = (0, 1, 0)
• c_z = (0, 0, 1)

Prodotto scalare tra due vettori

u•v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃
u•v = |u| |v| cosθ    0 < θ < π/2

Condizione di ortogonalità tra vettori
u•v = 0

Calcolo del coseno
cosθ = u•v / |u| |v|

Calcolo di un vettore w₁ proiezione di v su u
w₁ = |v| cosθ vers u = |v| cosθ u / |u|
w₁ = (v•u) / |u|² u

Prodotto vettoriale tra due vettori

u∧v = (u₂v₃ - u₃v₂, u₃v₁ - u₁v₃, u₁v₂ - u₂v₁)

Proprietà algebriche del prodotto vettoriale
u∧v = -(v∧u)
u∧(v+w) = (u∧v) + (u∧w)
λu∧v = λ(u∧v) = u∧(λv)

Proprietà geometriche del prodotto vettoriale
|u∧v| = |u| |v| sinθ

Condizione di ortogonalità tra vettore e piano
u∧v ≠ 0 (u∧v ⊥ al piano u)

(v∧w)∧w = 0: formano una terna destrorsa

Condizione di parallelismo tra vettore e piano
u∧v = 0 ⇔ v / v

Calcolo del seno
senθ = |V ∧ W| / |V| |W|

Calcolo dell'area del parallelogramma
Area = |U ∧ V|
h = U Sen θ
Area = h · b = |U| |V| Sen θ

Prodotto misto

U · V ∧ W
|U · (U ∧ V)|

Calcolo del volume del parallelepipedo
|U · (U ∧ V)| = Volume

Geometria analitica in R³

Individuazione di un piano Π in R³
Π = N · P_o = a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

Equazione generica di un piano
ax + by + cz + d = 0

Equazione parametrica di una retta passante per un punto (e un piano Π intersezione R³)
x: x = x₀ + ℓl
y: y = y₀ + mℓ
z: z = z₀ + nℓ

Calcolo della distanza tra due punti
P(x, y, z) Q₁(x₀, y₀, z₀)
PQ₁ = √((x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)²)

Calcolo della distanza tra un punto e un piano
P_o(x_o, y_o, z_o) Π: ex + fy + gz + d = 0
dist (P_o, Π) = |ax_o + by_o + cz_o + d| / √(a² + b² + c²)

Individuazione di un fascio di piani data una retta r:
r {ax + by + cz + d = 0}