Riassunto esame Fondamenti di matematica, Prof. Torricelli Lorenzo, libro consigliato Geometria 1, Edoardo Sernesi

SPAZI VETTORIALI

1. Vettori applicati

Nel capitolo degli spazi vettoriali, le lettere maiuscolo si riferiscono a un vettore. Un vettore applicato è una

2

, ) ℝ

coppia ordinata di numeri reali (es. appartenenti a uno spazio (prendiamo in esempio , ossia il

⃗⃗⃗⃗⃗

piano cartesiano). Dunque il vettore applicato lo chiameremo ad esempio , che rappresenta un

, . =

segmento orientato sulla retta avente in comune i punti Il vettore in questione prende il nome di

⃗⃗⃗⃗⃗

ed è formato da quattro informazioni: ,

1 Il punto di applicazione: in questo caso il punto il punto iniziale del vettore

2 La sua direzione: o giacitura, la retta su cui poggia il vettore

3 La lunghezza: chiamata anche norma o modulo, ossia la lunghezza del segmento orientato

⃗⃗⃗⃗⃗

4 Il verso: che è indicato dal verso della freccia, in questo caso (il verso cambia nel caso in cui il vettore

venisse moltiplicato per uno scalare negativo) =

Prendendo in esame sempre l’esempio sopra riportato, se (o meglio, se la coppia, terna, n-upla è

.

uguale) il vettore sarà chiamato vettore nullo e sarà indicato da o anche da solamente

Si possono svolgere delle operazioni: la prima è quella di modificarne la lunghezza e il verso attraverso il

prodotto di un vettore per un numero reale k (nel caso dei numeri reali, vengono chiamati anche scalari)

⃗⃗⃗⃗⃗

= . La seconda è la somma tra due vettori, attraverso la regola del parallelogramma: dati due

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

= = + = + = =

vettore e la somma è data da (diagonale del

parallelogramma). Sono molto importanti le proprietà di queste due operazioni:

()

() = = (),

1 commutatività dei prodotti reali

+ = = +

2

1 =

3 ⃖⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (−)

– = = + =

4 , allora

( (

+ ) + = + + ) = + ( + ),

5 proprietà associativa della somma vettoriale

( + ) = + ,

6 proprietà distributiva della somma vettoriale rispetto al prodotto reale

( + ) = + ,

7 proprietà distributiva del prodotto reale rispetto alla somma vettoriale

Due vettori applicati si dicono equipollenti se hanno la stessa direzione, lunghezza, verso. L’equipollenza è

una relazione di equivalenza, perché soddisfa la riflessività, la transitività e la simmetria. Hanno tutte le

stesse proprietà caratterizzanti, eccetto il punto di applicazione. Possiamo dare quindi la definizione

= ∕∽,

dell’insieme dei vettori geometrici: dove è la relazione di equipollenza. Un vettore geometrico

∈ è una classe di equivalenza di vettori applicati rispetto alla relazione di equipollenza.

2. Spazi vettoriali (,∙, +),

Uno spazio vettoriale reale è una terna costituito da un insieme non vuoto e due operazioni

+: × → ) ∙: × ℝ → )

binarie somma (data da e moltiplicazione scalare (data da che soddisfano

queste proprietà: ( (

∀, , ∈ + ) + = + + ) = + ( + )

V1) Proprietà associativa della somma: ∀, , ∈ + = +

V2) Proprietà commutativa della somma: ∃ ∈ |∀ ∈ + = + =

V3) Esistenza dell’elemento neutro rispetto la somma: (−)

∀ ∈ , ∃ − ∈ | + = 0

V4) Esistenza dell’opposto: ∀ ∈ , 1 =

V5) Esistenza dell’elemento neutro rispetto la moltiplicazione scalare ()

∀, ∈ ℝ, ∈ = () = ()

V6) Proprietà associativa della moltiplicazione scalare:

V7) Proprietà distributiva della somma di vettori rispetto alla moltiplicazione scalare:

∀ ∈ ℝ, , ∈ ( + ) = +

V8) Proprietà distributiva della moltiplicazione scalare rispetto alla somma di vettori:

(

∀, ∈ ℝ, ∈ + ) = +

Per capire se si sta parlando di uno spazio vettoriale, basta verificare le proprietà.

⊆

Sia uno spazio vettoriale. Un sottospazio vettoriale di è un sottoinsieme tale che:

∈

1. Condizione necessaria:

∀, ∈ +∈

2. ∀ ∈ , ∈ ℝ ∈

3. (,∙,

⊆ +)

Sia un sottospazio vettoriale; allora anche la terna è uno spazio vettoriale. Per

dimostrarlo, basta verificare le proprietà V3 e V4, perché le proprietà V1, V2, V5, V6, V7, V8 sono

2

ℝ

“ereditate” da V. Gli unici sottospazi vettoriali di sono quello contenente solo l’origine, l’intero

2

ℝ (chiamati anche sottospazi vettoriali impropri o banali) e quelli che coincidono con le retti passanti per

⟨⟩ ⟨⟩

=

l’origine. Un sottospazio generato da un vettore si indica con ed è definito da come segue:

{| ⟨⟩

∈ ℝ}. .

è l’insieme determinato da tutti i multipli reali di

, ⊆ ∩

Se è uno spazio vettoriale e sono due sottospazi, allora l’intersezione è ancora un

{

, ⊆ + = + | ∈ , ∈ }

sottospazio. Siano due sottospazi. L’insieme è detto

{}

, ⊆ ∩ =

sottospazio somma. Si dice somma diretta tra due sottospazi se e si indica con

⊕ (la ∀ ∈ + ∈ , ∈ = + )

somma è diretta se e solo se esistono unici tali che

3. Dipendenza lineare, basi e dimensioni

∈ ℕ , … , ∈ , … , ∈ ℝ. , … , ∈

Per siano e siano La combinazione lineare di

, 1 ,

=1

∑

, … , = + + ⋯ + =

secondo le costanti è il vettore . Il vettore è

1 1 2

.

combinazione lineare di qualsiasi insieme di vettori in La combinazione di tutti gli nulli si dice banale.

⟩ ⟨ ⟩.

< , , … , ⊆ , … ,

Se allora⟨ Da questo possiamo dire che: sia uno spazio vettoriale;

, , … , ∈ , … ,

si dicono linearmente dipendenti se esistono non tutti nulli, ossia se il vettore

1

, , … , +

può essere ottenuto come una combinazione lineare non banale di :

1

+ ⋯ + = = 1, … , | ≠ 0)

(∃

2

, … , ∈

Sia uno spazio vettoriale. si dicono linearmente indipendenti se il vettore può essere

,

ottenuto solo con la combinazione lineare banale:

+ + ⋯ + = ⟹ = = ⋯ = =

1 2 1

Il metodo utilizzato per determinare se i vettori sono dipendenti o indipendenti è moltiplicare e

= 0,

risolvere il sistema: se tutte le incognite allora i vettori sono linearmente indipendenti, sennò

,

dipendenti. Due vettori , entrambi non nulli, sono linearmente dipendenti se e solo se sono uno

⟨ ⟩;

∈

multiplo dell’altro, ossia estendendo questo esempio, si può quindi definire che dei vettori

, , … , sono linearmente dipendenti se e solo se almeno uno di essi si può scrivere come

= + ⋯ +

combinazione lineare di tutti gli altri: .

2

, , … ,

Sia uno spazio vettoriale. Si dice che generano (o sono un sistema di generatori per) se

⟨ ⟩

, , … , = .

Partendo da questa definizione si può introdurre il concetto di base. Sia uno spazio

{ }

, … ,

vettoriale. Si dice che è una base di se:

, … ,

1. generano

, … ,

2. sono linearmente indipendenti

{ , … , } > . { , … , }

Sia una base di e Allora qualsiasi insieme di vettori è linearmente

= (1, −3, 0) { , , }

dipendente. Per esempio, si consideri e sia la base canonica. Per il Teorema

, , ,

appena enunciato i vettori sono linearmente dipendenti. Si ha questa importante conseguenza

{ , … , }, { , … , }due = .

del teorema: siano basi di . Allora

{}.

uno

Sia spazio vettoriale che non coincide con Si dice dimensione di il numero di vettori di una sua

qualsiasi base finita, se esiste. Se tale base non esiste si dice che ha dimensione infinita e si scrive

{}

() = ∞. {} = 0 = ⟺ () = 0)

Si pone infine (si noti che

Nicolò Chiari - nicolo.chiari@studio.unibo.it - @nicolochiarii

FONDAMENTI

1 Insiemi e le loro relazioni

L’insieme è un ente primitivo o assioma, ossia un concetto che non necessita di una definizione rigorosa

(una verità a priori) è la teoria assiomatica degli insiemi. Un insieme è una collezione finita o infinita di

∈

elementi. Per rappresentare che un elemento appartiene a un insieme scriviamo A. Per descrivere gli

insiemi si una la notazione estesa (comoda solo quando ci sono pochi elementi) oppure la caratterizzazione

{|()

= è }).

semantica (cioè si usa una affermazione (es. “()” valida per tutti gli elementi

∅

L’insi