Geometria - Prima parte del programma

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Appunti di geometria sulla prima parte del programma basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Marietti dell’università degli Studi del Politecnico …

Esame Algebra lineare e geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Marietti Mario

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2016-2017

73 pagine

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Estratto del documento

Vector de tabelitis - Geometria analitica con elementi di algebra lineare

Informazioni generali

Data: 23/10/2014
Aula: 153/40
Docente: Mario Harpi
Libro di testo: Geometria analitica con elementi di algebra lineare, 7 ed. He Gross Hill

Prerequisiti

Teoria degli insiemi elementare
Funzioni (iniettività, suriettività, immagine, controimmagine, funzione inversa, dominio, codominio)
Logica elementare

Ricevimento

Mercoledì 16:30 / 18:30

Matrici

Caso particolare di spazio vettoriale
ℕ = {0; 1; 2; 3; ...} numeri naturali
ℕ^* = ℕ/\{0;}
ℤ = {0; -1; +1; ...} numeri interi
ℝ numeri reali
ℕ ⊊ ℤ ⊊ ℝ

Definizione

Una matrice reale m x n, dove m, n ∈ ℕ^*, è una tabella di numeri reali disposti secondo m righe e n colonne:
A = (_a₁₁ _a₁₂ ... _{a_1n} _a₂₁ _a₂₂ ... _{a_2n} ... _{a_m1} _{a_m2} ... _{a_mn}) m righe n colonne
A_ij = l'elemento di posto i, j ( i-esima riga, j-esima colonna)
M_m,n(ℝ): insieme di tutte le matrici quali m x n

Esempi

(2 -1 9) ∈ M_1,3(ℝ)
(1 -2 1 2) ∈ M_2,2(ℝ)

Geometria analitica con elementi di algebra lineare

Informazioni generali

Data: 23/10/2014
Aula: LSS/40
Docente: Mario Marietti
Libri di testo: Geometria analitica con elementi di algebra lineare T ed PI George Hill

Prerequisiti

Teoria degli insiemi elementari
Funzioni (iniettività, suriettività, iniezione, controimmagine, funzione inversa, dominio, codominio)
Logica elementare

Ricevimento

Mercoledì 16:30 / 18:30

Matrici

Caso particolare di spazio vettoriale
^N = {0;1;2;3; ... } numeri naturali
^N* = N\{0}
^Z = {... -2; -1; 0; 1; 2; ... } numeri interi
^R numeri reali
^N ⊊ ^Z ⊊ ^R

Definizione

Una matrice reale m x n, dove m, n ∈ ^N*, è una tabella di numeri reali disposti secondo m righe e n colonne:
A = (^a₁₁ ^a₁₂ ... ^a_1n) m righe
( ^a₂₁ ^a₂₂ ... ^a_2n )...
( ^a_m1 ^a_m2 ... ^a_mn )n colonne
^a_ij = l'elemento di posto i,j ( i-esima riga , j-esima colonna )
M(^m,ⁿ) ( R ) insieme di tutte le matrici quali m x n

Esempi

(2 -4 9) ∈ M_1,3(R)
(-1 -2 4 2) ∈ M_1,4(R)

Operazioni sulle matrici

Fissiamo m, n ∈ ℕ⁺
A = (a_ij) ∈ ℝ^m,n
B = (b_ij) ∈ ℝ^m,n

Somma di matrici

La somma è definita solo per matrici con lo stesso numero di righe e colonne.
A + B = (a_ij + b_ij) ∈ ℝ^m,n
Esempio:
A = (^{1 2}_{0 4})
B = (^{3 -2}_{0 1})
A + B = (^{4 0}_{0 5})

Prodotto di una matrice per un numero reale (scalare)

A ∈ ℝ^m,n, c ∈ ℝ
c A = (c a_ij) ∈ ℝ^m,n
Esempio:
c = ... = (^{3 0}_{0 1.2}), si moltiplica ogni elemento

Proprietà delle operazioni

Proprietà associativa della somma

(A + B) + C = A + (B + C) ∀ A, B, C (... stesso num righe e colonne ...)
(^{1 2}_{0 4}) C = (^{0 1}_{1 0})
(A + B) + C = (^{3 2}_{0 4}) + (^{0 1}_{1 0}) = (^{3 3}_{1 4})
A + (B + C) = (^{4 0}_{0 5})

Esistenza dell'elemento neutro (somma)

Esiste una matrice 0 tale che A + 0 = 0 + A = A ∀ A ∈ ℝ^m,n, ∀m,n ∈ ℕ⁺
0 = (a_ij = 0)
Esempio: O_2,2 = (^{0 0}_{0 0}) ... matrice nulla

Esistenza dell'opposto

∀ A ∈ ℝ^m,n, ∃ B ∈ ℝ^m,n tale che A + B = B + A = 0
Esempio: A = (^{7 -2}_{0 1}) l'opposto è (^{-7 2}_{0 -1})
La matrice opposta di A è (-A) = -A

Proprietà commutativa

∀ A, B ∈ ℍ_m,m A + B = B + A
(c · d) A = c (dA) V c, d ∈ ℝ, ∀ A ∈ ℍ_m,m (prodotto associativo scalari, prodotto associativo matrici)
Uguai ordine dei prodotti

Proprietà distributiva rispetto alla somma di scalari

(c + d) A = c A + d A V c, d ∈ ℝ, ∀ A ∈ ℍ_m,m

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