Geometria - Prima parte del programma

23/10/2014

AULA 1SS/1O

MARIO HARIETTI

Abaco dei risultati — Geometria analitica con elementi di algebra lineare I ed II liceo classico

Prerequisiti:

• Teoria degli insiemi elementari
• Funzioni (iniettività, suriettività, immagine, controimmagine, fun inv, dom, codom)
• Logica elementare

RICEVIMENTO —> MERCOLEDÌ 16:30/18:30

MATRICI — caso particolare di spazio vettoriale

N₀ = {0,1,2,3...} numeri naturali

N = N\{0}

Z = {..., -1,0,1,2...} interi

R numeri reali

N ⊆ Z ⊆ R

Def. Una matrice reale m×n, dove m,n ∈ N^*, è una tabella di numeri reali disposti secondo m righe e n colonne

A =

( a₁₁ a₁₂ ... a_1n

a₂₁ a₂₂ ... a_2m ) m righe

_______________________

a_m1 a_m2 a_mn

_______________________

n colonne

a_ij = l'elemento di posto i,j (i-esima riga, j-esima colonna)

M_m^m(R) insieme di tutte le matrici reali m×n

EX. (2 - 4 7) ∈ H_1,2 (R)

(1 -1 1, 2) ∈ M_2,2 (R)

A = (a_ij) i = 1,..., m

________________

j = 1,..., m

________________

matrice generica

Fissiamo m, n ∈ ^IN

A = (a_i,j) ∈ M_m,n,

B = (b_i,j) ∈ M_m,n

SOMMA MATRICI ⇔ solo stesso m^esimo righe e colonne

A + B = (a_i,j + b_i,j) ∈ M_m,n

EX.

A = \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) B = \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)

A + B = \(\begin{pmatrix} 1+3 & 2-1 \\ 0+1 & -1+2 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)

PRODOTTO MATRICE x NUMERO REALE (SCALARE)

A ∈ M_m,n

c A = (c . a_i,j) ∈ M_m,n

EX.

\(\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -1.c & 2.c \\ 0.c & 1.c \end{pmatrix}\) → si moltiplica ogni elemento

PROP. ASSOCIATIVA DELLA SOMMA

(A + B) + C = A + (B + C) ∀ A, B, C

(stesso m^esimo righe e colonne)

(A + B) - C = (3 4 0 1) (0 3) - (4 3)

A + (B + C) = (3 2 2 1) (0 1)

ESISTENZA DELL'ELEMENTO NEUTRO (SOMMA)

Esiste una matrice O tale che A + O = O + A = A ∀ A ∈ M_m,n, ∀ m, n ∈ ^IN

O = (o_i,j) = 0

EX.

O = \(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) → matrice nulla

ESISTENZA DELL'OPPOSTO

∀ A ∈ M_m,n ∃ B ∈ M_m,n tale che A + B = B + A = O

EX.

A = \(\begin{pmatrix} 7 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)

il opposto è \(\begin{pmatrix} -7 & 1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}\)

La matrice opposta di A è (−)A = −A

Se B ∙ A ha senso non è detto che B ∙ A = A ∙ B.

Siano A, B, E ∈ M_n, A ∙ B, B ∙ A hanno senso. In generale A ∙ B ≠ B ∙ A. Non vale la prop. commutativa.

Non vale la proprietà di annullamento del prodotto.

A ∙ B = 0 ⇏ A = 0 oppure B = 0

esistono due matrici non nulle il cui prodotto è uguale alla matrice nulla.

Proprietà:

• Associativa (A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C) ∀A, B, C per cui ha senso
• Prop. distrib. a destra A ∙ (B + C) = A ∙ B + A ∙ C
• Prop. distrib. a sinistra (A + B) ∙ C = A ∙ C + B ∙ C
• Prop. di omogeneità c ∙ (A ∙ B) = A ∙ (cB) = c ∙ (A ∙ B)

t(A ∙ B) = B^t ∙ A^t

A ∈ E_{l, m} tA ∈ E_{m, l}

B ∈ E_{m, q} tB ∈ E_{q, m}

In generale la t(A + B) non si può fare.

Aⁿ = A ∙ A ∙ A... hanno senso

A⁰ = I_m = (^{1   0}/_{0   1})   matrice identità

Teorema di Laplace

Le numeri che si ottengono sommando i prodotti dei singoli elementi di una linea (riga o colonna) di A ciascuno per il proprio cofattore, è sempre lo stesso, e il determinante di A.

Ex: Calcolare il determinante:

Det A = (-5) * det ( ^{2 3 3} _{1 0 0} ) + 7 * det ( ^{2 3 3} _{1 1 0} ) - 5 * det ( ^{2 3 3} _{1 1 0} )

Sarrus:

Det A = 5 * 2 - 3 (9 - 5 - 2) = -5

Proprietà determinanti

1. Det I_n = 1   ∀n ∈ ℕ⁺
   • Dim per induzione
   • Passo base   Det I₁ = det (1) = 1
   • Passo induttivo
   • Det I_m = det (^{1 0 ⋯ 0}_{0 1 ⋮ 0})
   • La stessa ma più piccola
   • 1 * det A_{m - 1} = det I_{m - 1}
   • Posso continuare fino a det I_m-1
2. Se A ha una riga o una colonna con tutti 0, allora det A = 0 (Laplace)
3. Se A è triangolare (sup, inf, diagonale), il determinante è il prodotto degli elementi sulla diagonale.Esempio: A = (^{a b c}_{0 x ⋯ 0 0 ⋯ b})

tale che det A^K uguale 1_K

det A = 0 significa f - x_K

Per K tra le quantità tra parentesi è il determinante della matrice che otteniamo da A sostituendo la riga massima con la riga restimua di A.

Tale matrice ha due righe uguali e quindi det = 0

Teorema

Aⁿ è invertibile ⟺ det A≠0

Una matrice A con det ≠ 0 è singolare

det ≠ 0 è non singolare

RANGO DI UNA MATRICE

Fissiamo h righe e k colonne di una matrice A∈ℝ_mxn. Gli elementi che si trovano agli incroci di tali righe e colonne formano una nuova matrice h x k che si dice sottomatrice di A

A = (  a₀₁  a₁₂  a₂₂  a₄₀  )^{0 0} è una sottomatrice di A

A = (^{0 0})^{0 0} è una sottomatrice di A

Def. Il rango della matrice nulla m x m è 0. Il rango di A ∈ℝ_m,m

rg (A) = l'ordine massimo tra gli ordini delle sottomatrici con det ≠ 0

rg A ≤ min (m, n)

Se A∈ℝ_m rg A=m⟺det A≠0

rg A = rg A

rg A = 0 ⟺ A=0

Dal teorema di Cramer, se det A ≠ 0, l’unica soluzione è

_{x1 x2 xm}

dove

x_i = det della matrice che otteniamo da S sostituendo la colonna i-esima con B.

det A

EX. 3.2

x₁ + x₂ - x₃ = 1

2x₁ + x₃ = 0

x₁ - x₂ + x₃ = 0

A =

det A = -1 - 2 - (-4+x) -1 - 2 + 2 + z ≠ 0

(sost. 1_esima, x_i)

Il sistema ha un’unica soluzione.

x₁ = det (

x₂ = det (

x₃ = det (

Soluz:

( 0 )

( 0 )

( 0 )

EX

x₁ + 2x₂ - x₃ = 4

x₁ - x₂ + kx₃ = 0

2x₁ + x₂ - 2x₃ = 0

Per quali k il sistema ha soluzione?

A =

det A = x₄ vk - 1 - (2+x) - -3k

3k + 3 ≠ 0 → k ≠ -1

Per tali valori qual è la soluzione?

x₁ = det (

det A =

(3k+3)

Sol(

Corollario: Un sistema quadrato omogeneo ha solo soluz: ( 0 )

det A ≠ 0