Geometria (prima parte)

MATRICI

Una matrice reale m x n, dove m e n ∈ ℕ⁺, è una tabella di numeri reali disposti secondo m righe e n colonne:

A =

( a₁₁ a₁₂ ... a_1n )

( a₂₁ a₂₂ ... a_2n )

( ... ... ... ... )

( a_m1 a_m2 ... a_mn )

A = (a_ij)

a_ij: elemento di posto i,j, cioè sulla i-esima riga e j-esima colonna.

M_m,n = insieme delle matrici reali m x n

es.

• S ( 1 5 7 ) ∈ M_2,3
• ( 8 2 13 )
• ( 1 2 -5 ) ∈ M_3,3
• ( 10 2 727 0 ) ∈ M_3,4
• ( 1 ) ∈ M_2,1
• ( 0 )
• ( 3 ) ∈ M_1,1

Somma di matrici (dello stesso tipo)

Fissiamo m, u ∈ ℕ⁺. Date 2 matrici:A = (a_ij) ∈ M_m,uB = (b_ij) ∈ M_m,u

Definiamo una nuova matrice:

A + B = (a_ij + b_ij) ∈ M_m,u

es:

A = ( ^{1 0 2} _{5 -3 2} ) ∈ ℕ_2,3 B = ( ^{1 -1 3} _{1 0 0}) ∈ ℕ_2,3

A + B ∈ ℕ_2,3

A + B = ( ^{2 -1 5} _{6 -3 2})

Attenzione!!

( ^{1 0 2} _{5 -3 1}) +( ^{1 2} _{3 4}) = non si può fare!!

4) ESISTENZA DELL'OPPOSTO: ∀ A ∈ ℕ_μ ∃

UN'UNICA B ∈ ℕ_μ tale che

A + B = 0 ∈ ℕ_μ.

Tale indice B è la matrici:

(-A) : A

Che indicheremo con -A

Definizione

Una matrice quadrata \( A \in R^{n} \) si dice simmetrica se

\( A^{t} = A \)

e.g.

\( A = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -3 & 0 \\ -3 & 1 & a \\ 0 & a & 5 \end{array}\right) \)

\( S_{n} \) è l'insieme delle matrici simmetriche \( n \times n \)

\( A = (a_{ij}) \in S_{n} \Leftrightarrow a_{ij} = a_{ji} \; \forall i \; \forall j \)

Esercizio

Dimostrare che:

1. \( A, B \in S_{n} \Rightarrow A + B \in S_{n} \)
2. \( A \in S_{n}, c \in R \Rightarrow cA \in S_{n} \)

\( S_{n} \) è un sottospazio vettoriale di \( M_{n} \)

Una matrice A ∈ M_m,n e una matrice B ∈ M_p,q sono moltiplicabili tra loro se n=p. In tal caso

A・B = AB = (c_ij) ∈ M_m,q

dove c_ij è il prodotto della i-esima riga di A per la j-esima colonna di B.

Esempio:

(2 1)(0 1) ・ (1 3) = ((2・1) + (1・3)) ((2・1)・5 + (1・6)) = (1 4)2 0 3 6 0・1 3 0・5 + 1・6 3 6 2 2 + 1・3 2 5 + 0・6 4 10

3×2 2×2n=p

Quanto fa (2 5) (3 6) ・ (2 1)? → Non si può 1 2 0 fare n≠p