Geometria (prima parte)

MATRICI

Una matrice reale m × n, dove m e n ∈ ℕ⁺, è una tabella di numeri reali disposti secondo m righe e n colonne:

A = (a₁₁ a₁₂ ... a_1ua₂₁ a₂₂ ... a_2u...a_m1 a_m2 ... a_mu)

A = (a_ij)

a_ij: elemento di posto i,j, cioè sulla i-esima riga e j-esima colonna.

M_m,u = insieme delle matrici reali m × u

es.

(1 5 78 2 13) ∈ M_2,3

(1 2 -580 2 10 3 0) ∈ M_3,3

(10 12 727 0) ∈ M_1,4

(10) ∈ M_2,1

(3) ∈ M_1,1

MATRICI

Una matrice reale m × u, dove m e u ∈ ℕ⁺, è una tabella di numeri reali disposti secondo m righe e u colonne:

A = a₁₁a₁₂...a_1u a₂₁a₂₂...a_2u ............ a_m1a_m2...a_mu

A = (a_ij)

a_ij: elemento di posto i,j, cioè sulla i-esima riga e j-esima colonna

ℝ_m,u = insieme delle matrici reali m × u

es.

• (1 5 7) (8 2 13) ∈ ℝ_2,3

• (1 2 -5) (30 2 1) (0 3 0) ∈ ℝ_3,3

• (10 5 7 0) ∈ ℝ_1,4

• (1) (8) ∈ ℝ_2,1

• (3) ∈ ℝ_1,1

Somma di matrici (dello stesso tipo)

Fissiamo m, n ∈ ℕ⁺. Date 2 matrici

A (a_ij) ∈ M_m,n B = (b_ij) ∈ M_m,n

definiamo una nuova matrice:

A + B = (a_ij + b_ij) ∈ M_m,n

es:

A = ( ^{1 0 2 _{5 -3 2}} ) ∈ M_2,3

B = ( ^{1 -1 5 _{11 0 0}} ) ∈ M_2,3

A + B ∈ M_2,3

A + B = ( ^{2 -1 7 _{6 -3 2}} )

Attenzione!!

( ^{1 0 2 _{5 -3 1}} ) + ( ^{1 2 _{3 4}} ) = Non si può fare!!

Prodotto di una matrice x un numero

Dato un numero e a matrice

C ∈ ℝ A = (a_ij) ∈ ℳ_m,n

Definiamo una nuova matrice:

C · A = C A = (c · a_ij) ∈ ℳ_m,n

Es:

C = 3

A = (^{1 0 2}/_{5 -3 2}) ∈ ℳ_2,3

C A = (^{3 0 6}/_{15 -9 6}) ∈ ℳ_2,3

Proprietà:

1) Proprietà associativa: ∀ A, B, C ∈ _, si ha

(A + B) + C = A + (B + C)

es.

A = (^{3 1}_{0 2})B = (^{0 1}_{1 2})C = (^{1 1}_{0 0})

(A + B) + C = (^{3 2}_{1 4}) + (^{1 1}_{0 0}) = (^{4 3}_{1 4})

A + (B + C) = (^{3 1}_{0 2}) + (^{1 2}_{1 2}) = (^{4 3}_{1 4})

2) Proprietà commutativa: ∀ A, B ∈ M_m,n

A + B = B + A

3) Esistenza elemento neutro: esiste un'unica matrice 0 ∈ M_m,n tale che

A + 0 = A ∀ A ∈ M_m,n

0: Matrice nulla è la matrice che ha tutti zeri

Es:

0 = _{^{( 0 0 )} ( 0 0 )} ∈ M_2,2

0 = ^{( 0 0 0 )} ( 0 0 0 ) ( 0 0 0 ) ∈ M_3,3

4) Esistenza dell'Opposto: ∀ A ∈ ℕ_μ ∃

un'unica B ∈ ℕ_μ tale che

A + B = 0 ∈ ℕ_μ

Tale matrice B è la matrice:

(-A) : A

che indicheremo con -A

5)

Proprietà associativa dei prodotti:

Per ogni _c,d ∈ ℜ e per ogni A ∈ ℜ_m,n

(c·d)·A = c·(d·A)

Prodotto tra 2 numeri

Prodotto tra 1 numero e 1 matrice

6)

Proprietà distributiva rispetto alla somma:

Per ogni _c,d ∈ ℜ e per ogni A ∈ ℜ_m,n