Geometria - Esercizi - Parte 1

GEOMETRIA

TEORIA IN BREVE + ESERCIZI SVOLTI

• VETTORI
• MATRICI
• SPAZI VETTORIALI
• APPLICAZIONI LINEARI - SISTEMI LINEARI
• AUTOVETTORI + AUTOVALORI
• PIANI E RETTE
• FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
• FUNZIONI F: Rⁿ→ R^m

GEOMETRIA

• VETTORI

• PARALLELI → v = λw λ ε ℝ
• ORTOGONALI → uguali o multipli: Es. (2,3,4) e (4,6,8) u∙v = 0
• VETTORE NORMALE n = λv
• COMBINAZIONE LINEARE w = av + bu
• MODULO ||v|| = √^{x2 + y2 + z2}
• PRODOTTO SCALARE v∙w = |v|∙|w|∙cos∠vw ∇u = |v|∙|w|∙sin∠vw
• PROIEZIONE ORTOGONALE di v su u è v_u = (u∙v) u/||u||²
• PRODOTTO VETTORIALE • v∧w è uguale all’area del parallelogramma avente come lati u, w.
• • Proprietà anticommutative v∧w = -w∧vNON vale proprietà associativa.
• PRODOTTO MISTO u(v∧w) = 0 se e solo se u, v, w sono linearmente DIPENDENTI
  • • È uguale (in valore assoluto) al volume del parallelepipedo che ha per spigoli i vettori u, v, w
  • • Scambiando due dei tre vettori il prodotto cambia di segno
• • TRE VETTORI GIACCIONO SULLO STESSO PIANO (complanari) se:
  • le C.P. di 2 vettori dei tre pezzo, cioè w = au + bv
  • n nel p.u. u∙(v∧w) = 0

Matrice 2x2

a b

c d

ad - bc

Matrice 3x3

a₁₁ a₁₂ a₁₃

a₂₁ a₂₂ a₂₃

a₃₁ a₃₂ a₃₃

= + a₁₁

a₂₂ a₃₃

a₂₁ a₃₂

= + a₁₃

a₃₁ a₃₂

Per seguire (-1)^i+j Es. c₃₂ (-1)³⁺⁶ = -1

opp. ricondati

c₁₁ scritte - + -

diagonale + + +

Es. 1 0 0

3 5 7

4 2 5

Esercizio 4

Dati

u = (1, 2, -2)

C

v = (2, 0, 1)

Prodotto scalare: u · v = (1, 2, -2) · (2, 0, 1) = 2 + 0 - 2 = 4

P. vettoriale u ∧ v =

i j k

1 2 -2

-2 0 1

m.b.

u ∧ v = 1

i j k

2 -2 1 2

0 1 -2 1

=

(2, 3, 4)

Il vettore v risulta ortogonale al piano che contiene u e v?

Anche es. (4, 6, 8) = 2 (2, 3, 4) riscrive lettere ortogonali

85. Dato ẏ^→=(−3ĵ) e λ^→

Per proprietà distributive:

(xı + 3ĵ)λ^→ = xıl^→ + 3ĵλ^→ = 0 + 3k

∣ I₃ ∣

note. Se due righe sono uguali, il determinante è uguale a zero!

1. ẏ^→ ^ −3ĵ 3k < λ^→_{(x = 0)}
2. 3k < λ^→_{(x = 2)} @∴3k ≠ 3j
3. 3k < λ^→_{(x = 3)}
4. ∣ λ^→ ∣ ≠ 3

Determinare k ∈ R, in modo che il parallelepipedo individuato dai tre vettori abbia volume 1:

(u_→(^→ ^ v^→)

(1 1 0)

(3 − 1 4 )

(∣ k 1 )

(μ^→(*^u^→))=^{− k→}

k= 1 v. k= −1

1. Date k nel modo che i tre vectro siano complanari:

Pone k = 0

Spazi Vettoriali ℝ^m

ℝ^m è dotato di una struttura di spazio vettoriale &su; ℝ, poiché in ℝ^m abbiamo definite le operazioni di somma e prodotto.

Sottospazio Generato

• Un sottoinsieme W ⊆ V è un sottospazio di V se:
• 1) ∀λ∈ℝ, u∈W ⇒ λu∈W
• 2) ∀u,v∈W ⇒ u+v∈W

Condizione Necessaria

• Vettore nullo O_W∈W ma O_W∈W ⊄ W≠ s.s.v.
• Piani e rette passanti per l'origine sono s.s.v.
• Dati tre s.s.v. non è detto che la loro unione sia s.s.v.

L (v₁,...v_k) è un s.s.v. di ℝ^m

È l'insieme di tutte le c.l. a₁v₁+...+a_kv_k al variare dei coefficienti.

I vettori v₁,...v_k∈ℝ^m si dicono generatori di L (v₁,...v_k).

• Un insieme ordinato di vettori B = (v₁,...v_k)∈V si dice base per V se:
• 1) ∀ v₁,...,v_k sono l.i.
• 2) V = L(v₁,...v_k), i vettori v₁,...v_k sono generatori di V
• I vettori riga (o colonna) di Im sono una base di ℝ^m che si dice base canonica: B = (e₁,...,e_m)

• dim(V) è dimensione di V, cioè il numero di elementi di una sua qualunque base.
• Per ogni matrice M ∈ ℝ^m×m si ha p(M) = dimR(M) = dimC(M)
• Intersezione U ∩ W è un sottospazio di ⊻V.
• L'intersezione di un numero qualunque di sottospazi è un sottospazio e poiché contiene sempre almeno un vettore nullo, tale intersezione non è mai vuota.

19/03

1) Trovare il minimo sottospazio vettoriale di R³ che contiene i vettori

u = i + k

v = j + j

μu + λv l.c.i.

a₁u + a₂v ⇒ 0 = ⇒ a₁ = a₂ = 0

α(0,1,-1) + β(1,0,0) = (α + β, β, β - α) = (0,0,0)

γ + β = 0

β = 0

γ = 0

(α, β, γ)

(x,y,z) ∈ V

(α + β, β)

γ - β = y + z + y

V = {(y,z,y,z) | y,z ∈ R³} = {(x,y,z) ∈ R³ | x - y = z}

V = s.s.v.

V = {(y₁-x,y₂)/ y₁x ∈ R³}

(-y = z, 0 + 0) = z(0,1,0,1)

β = {(1,-1,0),{-1,0,1)} l.i.

2) I vettori u_x = x₂, u_y = y₂, u_z = z₃ generano un sottospazio di R³?)

Il vettore t ∈ ? Sotto scrimta in tale sottospazio?

Nota: Se non os con di lon (c.i.) tra di loro

Verificare che u ed v somo l.i.

αa + b= o (⇒ a= 0)

( a(1,-1,0) + (0,1,0) = O)

(α, -α + β, 0) = (0,0,0) a= 0, b = 0

V = {(x,y,z) ∈ R³ | z = 0}

u =(0,2,3) t∈V t perché # dovrebbe essere O

Se non fosse invisibile fa⇒r t ∈V t= aσu + bσv(vedere ve t c.t. degli altri due)

(0,2,3) =(a,-a+b,0)

{ a=0

-a+b=2

0=3 IMPOSSIBILE!

SISTEMI LINEARI

AX=B

• A è la matrice dei coefficienti
• B è la matrice dei termini noti
• X è la matrice delle incognite

Un sistema lineare AX = B si dice RIDOTTO PER se la matrice (A|B) è RIDOTTA PER RIGHE

• SISTEMA COMPATIBILE → una sola o infinite soluzioni
• SISTEMA INCOMPATIBILE → nessuna soluzione

n.b. SOLUZIONE del n sistema è n-uple di numeri

• SISTEMA OMOGENEO → con tutti i termini noti nulli

→ è sempre compatibile (ha sempre almeno una sol. che x ottiene assegnando a tutte le incognite il valore 0)

METODO DI GAUSS

obiettivo: ottenere una matrice RIDOTTA A SCALA attraverso operazioni elementari sulle righe di M:

• scambiare due righe
• moltiplicare riga per coeff. non nullo
• aggiungere a una riga un'altra riga

EQUIVALENTI se hanno esattamente le stesse soluzioni

TEO DI ROUCHÉ-CAPELLI

Se il sistema A x B ammette almeno una soluzione ⟺ ρ(A) = ρ(A|B) = k

m numero incognite

• k = m → soluzione unica
• k < m, m = k+1 ⇒ s il sistema ammette soluzioni
• m-k = 2, m = k+2 ⇒ = soluzioni

SISTEMA OMOGENEO ASSOCIATO al AX = B è AX=0

CRAMER

Se il sistema lineare AX=B invertibile ha una sola soluzione data da

X = A^-1B

Come procedere:

• Verifica detA ≠ 0
• Calcola Δ_x sostituendo B nella prima colonna di A.
• Trova x = Δ_x / |A|
• Calcola Δ_y sostituendo B nella seconda colonna di A. → y = Δ_y / |B|
• etc...

Il risultato è un vettore di componenti (x,y,z)