Geometria - numeri complessi

Numeri complessi

Rappresentazione algebrica di un numero complesso

Un numero complesso è rappresentato algebricamente come z = a + bi, dove a è la parte reale e b è il coefficiente dell'immaginario. Possiamo associare a un numero complesso una coppia di numeri ordinati che corrispondono ad a (parte reale [Rez]) e b (coefficiente dell’immaginario [Imz]). La coppia di numeri ordinati (a, b) corrisponde alle coordinate di un punto sul piano cartesiano.

In simboli, (a, b) ∈ ℝ².

Esempio

Se z = √2 – i, il punto corrispondente a questo numero complesso sul piano cartesiano è P (√2, 1). Il modulo di z è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale e del coefficiente dell’immaginario di z.

|z| = √(a² + b²) = √(2 + 1) = √3

I numeri reali giacciono sull’asse x poiché i numeri reali sono i numeri complessi con coefficiente immaginario nullo. Di conseguenza, i numeri reali sono molto meno dei numeri complessi. Gli immaginari puri, cioè senza parte reale, giacciono, invece, sull’asse y. Il piano su cui si rappresentano i numeri complessi è il piano di Argand Gauss. Sugli appunti sono presenti utili esercizi svolti.

Coniugato di un numero complesso

Sia z = a + bi ∈ ℂ, chiamiamo coniugato di z quel numero che ha la stessa parte reale ma coefficiente immaginario opposto. Nota bene: il coniugato di un numero reale è il numero reale stesso. Studiare sugli appunti le osservazioni sul coniugato di un numero complesso.

Forma trigonometrica di un numero complesso

Per z ∈ ℂ – {0} si individuano:

• |z| = ρ ( = √(a² + b²)) che corrisponde alla distanza del numero complesso considerato dall’origine.
• Un angolo 0 ≤ θ < 2π tale che a = ρ cos θ e b = ρ sen θ, dove θ è detto argomento di z.

z = a + bi = ρ cos θ + i ρ sen θ = ρ (cos θ + i sen θ)

Questa si chiama forma trigonometrica di z.

Teorema di de Moivre

Per z = ρ (cos θ + i sen θ), abbiamo che:

• z₁ z₂ = ρ₁ ρ₂ [cos (θ₁ + θ₂) + i sen (θ₁ + θ₂)]

Ossia, il prodotto di due numeri complessi è il numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma degli argomenti.

• Per n ∈ ℤ, si ha che zⁿ = ρⁿ (cos nθ + i sen nθ)

Sugli appunti sono presenti le dimostrazioni di questi due punti e le operazioni con numeri complessi.

Forma esponenziale di un numero complesso