Geometria - numeri complessi

Calcoli con numeri complessi

iθz = a+bi = ρ (cos θ + i sen θ) = ρ eρ = |z| = √ a2+b2 di conseguenza per ogni a,b ρ≥0a = ρ cos θ b = ρ sen θ

Sugli appunti sono presenti i calcoli tra numeri complessi in forma esponenziale

Funzione esponenziale complessa

È una funzione che ha come dominio C e come codominio C. Una funzione da C in C è una legge che per ogni z € C fa corrispondere uno ed un solo numero complesso. Quindi la funzione esponenziale complessa è la funzione che: z xV z = x+ay € C associa e = e (cos y+ i sen y) € C

Sugli appunti sono presenti cinque osservazioni sulla funzione esponenziale complessa

Formule di Eulero

V y € R: iy -iycos y = (e + e ) : 2iy -iysen y = (e – e ) : 2

Dimostrazione: iy 0e = e (cos y + i sen y) = cos y + i sen y-iy 0e = e [cos (-y) + i sen (-y)] = cos y – i sen ySommando membro a membro si ottiene: iy -iy iy -iye + e = 2 cos y => cos y = (e + e ) : 2Sottraendo, invece, gli

stessi due membri si ottiene: iy -iy iy -iye – e = 2 i sen y => sen y = (e – e ) : 2

Polinomi

0 1 n n 2n

Posto x =1 , x = x e x x = x dove n € Z si dice polinomio a coefficienti in C nell’indeterminata x

l’espressione: ni=0 i 2 3 n

P(x) = ∑ a x = a + a x + a x + a x +…+ a x dove a € Ci 0 1 2 3 n i

Esempi

4 2 3

P(x) = 1+2x+x e P(x) = x +ix

Indichiamo con C[x] l’insieme di tutti i polinomi nell’indeterminata x a coefficienti complessi e

con R[x] l’insieme di tutti i polinomi nell’indeterminata x a coefficienti reali.

N.B. R[x] ϵ C[x]

Teorema di divisibilità