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Geometria - numeri complessi

Appunti con rappresentazione algebrica e trigonometrica di un numero complesso. Formule di Eulero e forma esponenziale di un numero complesso. Radici n-esime di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra. Decomposizione di un polinomio reale e complesso in fattori di grado minimo.

Esame di Geometria docente Prof. M. Serpico

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Numeri complessi

Rappresentazione algebrica di un numero complesso

z = a+bi € C

assocerò ad un numero complesso una coppia di numeri ordinati che corrispondono ad a (parte reale

[Rez]) e b (coefficiente dell’immaginario [Imz]). La coppia di numeri ordinati (a,b) corrisponde alle

coordinate di un punto sul piano cartesiano.

2

In simboli (a,b) € R .

Esempio

z = √2 – i

il punto corrispondente a questo numero complesso sul piano cartesiano è P (√2, 1)

Il modulo di z è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati della parte reale e del

coefficiente dell’immaginario di z.

2 2

|z| = √a +b = √2+1= √3

I numeri reali giacciono sull’asse x poiché i numeri reali sono i numeri complessi con coefficiente

immaginario nullo. Di conseguenza i numeri reali sono molto meno dei numeri complessi.

Gli immaginari puri, cioè senza parte reale, giacciono, invece, sull’asse y.

Il piano su cui si rappresentano i numeri complessi è il piano di Argand Gauss.

Sugli appunti sono presenti utili esercizi svolti.

Coniugato di un numero complesso

Sia z = a+bi € C chiamiamo coniugato di z quel numero che ha la stessa parte reale ma coefficiente

immaginario opposto.

N.B. il coniugato di un numero reale è il numero reale stesso.

Studiare sugli appunti le osservazioni sul coniugato di un numero complesso.

Forma trigonometrica di un numero complesso

V z € C – {0} sono individuati:

2 2

1. |z| = ρ ( = √a +b ) che corrisponde alla distanza del numero complesso considerato

dall’origine.

2. e un angolo 0 ≤ θ < 2π (cioè individuato a meno di multipli di 2π) tale che a = ρ cos θ e

b= sen θ dove θ è detto argomento di z.

z = a+bi = ρ cos θ + i ρ sen θ = ρ ( cos θ + i sen θ)

Questa si chiama forma trigonometrica di z.

Teorema di de Moivre

V z = ρ (cos θ + i sen θ), z = ρ (cos θ + i sen θ ), z = ρ (cos θ + i sen θ ) € C.

1 1 1 1 2 2 2 2

• z z = ρ ρ [ cos (θ + θ ) + i sen (θ + θ )] Ossia il prodotto di due numeri complessi è il

1 2 1 2 1 2 1 2

numero complesso che ha come modulo il prodotto dei moduli e come argomento la somma

degli argomenti

• n n

V n € Z si ha che z = ρ (cos n θ + i sen n θ)

Sugli appunti sono presenti le dimostrazioni di questi due punti e le operazioni con numeri

complessi.

Forma esponenziale di un numero complesso


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DETTAGLI
Esame: Geometria
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria meccanica (GENOVA, LA SPEZIA)
SSD:
Università: Genova - Unige
A.A.: 2014-2015

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Daniele Biggi di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Geometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Genova - Unige o del prof Serpico Maria Ezia.

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