Appunti Geometria

DEFINIZIONE

Due rette sono complanari se sono contenute nello stesso piano (se no si diconosghembe).

DISTANZA

Siano A e B ∈ ℝ ( o ℝ ), la distanza tra A e B è:

|AB|

1. TRA UN PUNTO E UNA RETTA

Sia A' ∈ r (retta) la proiezione ortogonale del punto sulla retta r.

La distanza dal punto alla retta è |AA'|.

Siano poi B e C due punti sulla retta, questo si traduce nel dire che il prodotto scalare tra i due vettori è 0.

BC · AA' = 0

Dato un punto e l'equazione della retta si trovano i due punti sulla retta e il vettore tra i due, si considera A' come un punto generico sulla retta di coordinate generiche e si calcola il prodotto tra i due vettori e si trovano le coordinate di A', fatto ciò basta applicare la formula della distanza generica.

2. TRA UN PUNTO E UN PIANO

Sia A' la proiezione ortogonale di A sul piano, dunque il vettore AA' è sempre perpendicolare al piano e dunque parallelo al V del piano.

Avendo il piano π = ax+by+cz+d=0 e A (x y z ) la distanza tra il punto e il piano è:

|ax+by+cz+d| / √(a^2+b^2+c^2)

3) DISTANZA TRA 2 RETTE SGHEMBE (non parallele ma non si toccano “una sopral’altra”):

Se p ∈ r , q ∈ sr,s = retteq,p= punti, questi punti sono:

PQ = |PQ|

Il vettore deve essere ꓕ ai vettori direzionali (che si trovano con i coefficienti dei parametri della retta in forma parametrica) di entrambe le rette, metto dunque il vettore a sistema in modo che il suo prodotto scalare con entrambi i vettori direzionali delle 2 rette sia nullo.

Per p e q, se non sono noti, uso dei punti generali che hanno come coordinate il parametro corrispondente ed eseguo i calcoli con i parametri generici.

Risolvo il sistema per le 2 incognite e trovo le coordinate dei punti per poi fare il modulo del vettore tra i 2 per avere la distanza.

4) DISTANZA TRA RETTA

E PIANO ovviamente solo se retta e piano sono paralleli,se no la distanza e 0

Sia r una retta e sia π un piano

La proiezione di r su π è l’intersezione del piano passante per r e ꓕ per a π , oppure che contiene il V di π

Chiamiamo con r’ la proiezione ortogonale della retta e con π’ il piano di cui sopra ,la sua formula cartesiana sarà quindi la formula cartesiana di π messa a sistema con quella di π’

La distanza tra la retta e il piano sarà dunque la distanza tra A ∈ r e il piano π

Se chiede di trovare la distanza tra la retta e il piano basta scegliere un punto A sulla retta e usare la formula del punto 3

Se chiede l’equazione di r’ bisogna usare i fasci di piani per trovare il generico V nche moltiplicato per il V del piano noto dovrà fare 0 per soddisfare la condizione dinperpendicolarità e metto a sistema cin l’altro piano .

DEFINIZIONE

Un insieme V è uno spazio vettoriale su

vettoriali:
n- V = ℝ
n- V=M (ℝ), valgono somma e moltiplicazione per le matrici
n- V= ℝ[x], insieme dei polinomi

DEFINIZIONE
Sia V uno spazio vettoriale su K e v ,..,v ∈ V dei vettori, una combinazione lineare di
1 kv ,…,v è un’espressione del tipo:
1 kV=λ v +…+λ v con λ ∈ K
1 1 k k i
In piu definiamo uno spazio generato da v ,…,v come:
1 kspan(v ,…,v )=<v ,…,v >, ovvero l’insieme di tutti i vettori che sono combinazione
1 k 1 klineare di quello di cui si prende lo span se abbiamo solo un vettore, se no la somma
dell’insieme dei vettori che sono combinazione lineari dei vettori posti in span
es: span<v v > = {λ v +λ v : λ ,λ ∈ ℝ}
1 2 1 1 2 2 1 2

NOTIZIA: COMPLANARITA’ E COLLINEARITA’
⃗ ⃗ ⃗ 3
Siano ∈ ℝV , W , U ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Sono complanari se ꓱ s,t : =s +t , è una combinazione lineare degli
V W U Valtri 2 vettori

generale i vettori v ,..,v generano V=span<v ,…,v > e tutti i vettori che ∈ V sono1 k 1 kcombinazione lineare di v ,…,v ; l’insieme di questi vettori è detto sistema di1 kgeneratori di V(IN)DIPENDENZA LINEARE{v ,…,v } ∈ V sono linearmente indipendenti se l’equazione :1 nλ v +…+λ v =0 ha una sola soluzione , ovvero che siano λ =…=λ = 0 (questa1 1 n n 1 nsoluzione è detta triviale)altrimenti si dice che l’insieme di vettori è linearmente dipendetePROPOSIZIONE{v ,…,v } ∈ V sono linearmente dipendenti se uno di loro è combinazione lineare degli1 kaltriꓱ quindi λ ,…,λ non tutti nulli1 kÈ possibile convertire le proprietà dei vettori in matrici e viceversaSiano v =(a ,…,a ) e w =(b ,…,b ) con i ∈ N e siano uno combinazione linearei 1i ni i 1i midell’altro :- λ v +…+λ v = w1

1. 1 m mt t t- λ v1+…+λ v = w1 m m( ) ( ) ( )a a b11 1m 1⋮ ⋮ ⋮- λ +…+λ =1 ma a bn1 nm n ( ) ( )λ b1 1⋮ ⋮t t t- matrice dei coefficienti A=( v , v ,…, v ) quindi M (K)→A =1 2 m nm λ bm n

2. REGOLE PER QUESTE PROPRIETA’

   1. {v ,v ,…,v } è un sistema di generatori sse1 2 mn- K =<v ,…,v >
   2. m- rk(A)= n , il rango della matrice A è uguale al numero di dimensioni
   3. {v ,v ,…,v } sono linearmente indipendenti sse1 2 m- rk(A)=m , il rango della matrice A è uguale al numero di vettori

3. BASI E DIMENSIONI

   Sia V – spazio vettoriale su K

4. DEFINIZIONE

   I vettori {v ,…,v } sono una base di V

   1. sono linearmente indipendenti e sono un sistema di generatori di V
   2. V=<v ,…,v >

5. N.B TUTTI I VETTORI SU V POSSONO ESSERE SCRITTI COME COMBINAZIONE LINEARE DELLA BASE

6. PROPOSIZIONE

   {v ,…,v } è una base di V sse ∀ v ∈ V ꓱ! λ

m+1usa la base canonica di quella dimensione , o almeno uno dei vettori della basecanonica ) : aggiungendo quel vettore troviamo una base di V (si va a tentativicon i vettori della base canonica finche non trovo quello che mi forma insieme aquelli dati una base di V)

2) Estrazione di una base

Siano {v ,…,v } un sistema di generatori allora possiamo buttare qualche1 mvettore per ottenere una base- {v ,…,v } , se sono lin. ind. , allora sono gia una base1 m- {v ,…,v } , se non sono lin. ind. allora uno di loro è combinazione lineare ,1 mquindi si rimuove per ottenere una base

N.B. I VETTORI CHE DEFINISCONO IL MINORE CHE CI DA IL RANGO DELLA MATRICEASSOCIATA SONO BASE

CONSEGUENZA

Sia V uno spazio vettoriale di dim(V)=n , allora :

- Se {v ,…,v } sono lin.ind. : m≤n1 m

- Se {v ,…,v } sono un sistema di generatori : m≥n1 m

- Se {v ,…,v } sono una base : m=n1 m

DEFINIZIONE

Sia W ⊆ V è un sottospazio se :

- ∀ w , w ∈ W si ha