Appunti Geometria

Geometria 1

Definizioni importanti 2

C = insieme dei numeri complessi, i = parte immaginaria, risponde all’eq: x² + 1 = 0.

Di fatti i² = -1 per definizione.

N.B. Tutti i polinomi di tutti i gradi hanno una soluzione in C.

I numeri immaginari si possono rappresentare sotto forma algebrica con la dicitura z=a+ib, oppure con la forma geometrica come z(a,b).

Nel grafico di Gauss i numeri immaginari diventano reali e visualizzabili, la parte immaginaria è proiettata sull’asse y, mentre la parte reale sull’asse x.

N.B. Tutte le operazioni che posso fare con i numeri reali si possono fare con quelli complessi:

z=a+ib, z’=a’+ib’.

Somma/differenza

z+z’ = (a±a’)+(b±b’)i.

Prodotto

z . z’ = (aa’-bb’)+(ab’+a’b).

Se la parte reale di z è 0 e il suo coefficiente immaginario è 1 (z=i) la sua moltiplicazione per qualsiasi numero è graficamente uguale ad una rotazione di 90°.

Coniugato

z=a+ib ź “zeta coniugato” = a-bi.

Cambio il segno a b.

Modulo

Modulo = lunghezza del segmento nel piano di Gauss.

√|z|² = a² + b².

Proprietà dei numeri complessi

ź́ = z, il coniugato del coniugato è uguale al numero di partenza.

z+z’́ = ź + z’́.

z . z’́ = ź . z’́.

|z| = |ź|.

|z . z’| = |z| . |z’|.

|z + z’| ≤ |z| + |z’| (disuguaglianza del triangolo).

z . ź = |z|² ≥ 0.

ź + z = 2Re(z) ∈ ℝ.

Quoziente: z / z’ = z . z’́ / |z’|².

Altre rappresentazioni dei numeri complessi

Per praticità indicheremo con ρ il modulo di z e con ϴ l’angolo compreso tra l’asse x e il vettore OP.

ℜ(z) cosϴ = ρ.

ℑ(z) senϴ = ρ.

Con ϴ: 0≤ϴ≤2π (stessi risultati con ϴ+2kπ).

Quindi possiamo scrivere che:

• Forma trigonometrica z=a+ib=ρ(cosϴ+i senϴ).
• Forma esponenziale z=a+ib= ρ . e^iϴ.

Con ϴ = 2π allora e^i2π = 1, di conseguenza qualsiasi e del tipo e^i(z+2kπ) = 1.

N.B. Il prodotto = somma di angoli.

Il quoziente = differenza di angoli.

Es: (funziona allo stesso modo per il quoziente).

z= ρ(cosϴ+i senϴ)= ρ . e^iϴ.

z’= ρ’(cosϴ’+i senϴ’)= ρ’ . e^iϴ’.

z . z’ = ρ . ρ’ (cos(ϴ+ϴ’)+i sen(ϴ+ϴ’))=ρ . ρ’ . e^i(ϴ+ϴ’).

N.B. Il prodotto è più facile in forma esponenziale.

I polinomi

Un polinomio è un’espressione formale del tipo: p(x)=a_nxⁿ +a_n-1x^n-1 +…+a₀.

I coefficienti a ∈ C (ℝ,N).

X è la variabile.

Grado p(x)=max {n}.

Operazioni

• Somma p(x)±q(x).
• Prodotto p(x) . q(x).
• Quoziente siano p,q ∈ C (x) allora esiste un unico g(x) e r(x): p=g . q + r (resto).

deg(r)<deg(q).

Si dice che α è soluzione di un polinomio se p(α)=0.

Teorema di Ruffini

α è soluzione di p(x) se p(x)=(x-α) . g(x), con deg(g)=deg(p)-1.

Gauss ci dice che: sia p(x) ∈ C allora esiste α ∈ C che è soluzione di P.

Se deg(p)=n allora p(x)=c(x-α₁)….(x-α_n).

Quindi deg(p)=n=numero di soluzioni.

Con la formula di de Moivre per trovare le radici n-esime di un numero complesso.

xⁿ = z (numero complesso) ha n soluzioni in C.

Radici di p(x)=soluzioni p(x), con i numeri complessi:

z = ρ(cosϴ+i senϴ), allora le radici saranno:

x_k = ⁿ√ρ (cos((θ+ 2 kπ)/n)+i sen((θ+ 2 kπ)/n)) = ⁿ√ρ . e^{i((θ+2 kπ)/n)}, con k che va da 0 a n-1.

Troviamo n soluzioni.

ϴ = angolo tra i 2 numeri complessi.

x₀, x₁, …, x_n-1 sulla circonferenza sono i vertici di un poligono regolare con n lati.

Matrici

Obiettivo: risolvere sistemi di equazioni lineari.

k-insieme di numeri, k ∈ C, ℝ, Q.

a_ij – elemento di M con coordinate (riga i e colonna j) generico.

Definizione

Siano m e n ∈ N, una matrice di dimensione mxn è una tabella di elementi con m righe e n colonne.

M_mn(k)- l’insieme di tutte le matrici di dimensione mxn con tutti gli elementi in k.

Tipi di matrici

• Una matrice di dimensione nxn si chiama quadrata (1 8 / 5 6).
• I vettori si possono esprimere in forma matriciale anche usando le matrici riga (1xn) e le matrici colonna (mx1).
• Triangolare inferiore quando tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli, cioè a_ij = 0 ∀ i<j: (1 0 0 / 7 5 0 / 8 45 8).
• Triangolare superiore quando tutti gli elementi sotto la diagonale sono nulli, cioè a_ij = 0 ∀ i>j: (1 5 1 / 0 5 6 / 0 0 8).
• Diagonale quando tutti gli elementi non sulla diagonale sono nulli, cioè a_ij = 0 ∀ i≠j.

(1 5 1 / 0 5 6 / 0 0 8) notare che in questo caso la matrice è sia triangolare superiore che inferiore.

• Matrice identità Id è una matrice diagonale dove tutti gli elementi sulla stessa sono 1.
• Matrice nulla quando tutti gli elementi sono 0.

Operazioni con le matrici

Si possono fare tutte le operazioni classiche tranne la divisione.

Somma/differenza

È possibile fare somma e differenza solo quando le matrici hanno dimensioni uguali.

Sia A = a_ij ∈ M_mn(k) e sia B = b_ij ∈ M_mn(k).

Allora A±B= (a₁₁±b₁₁ ⋯ a_1n±b_1n / ⋮ ⋱ ⋮ / a_m1±b_m1 ⋯ a_mn±b_mn).

Per somma e differenza valgono le seguenti proprietà:

• Associativa: (A+B)+C=(A+C)+B.
• Commutativa: A+B=B+A.
• Elemento neutro: A+0_mn = A.
• Elemento opposto: -A = -a_ij A+(-A)=0_mn.

Prodotto

Il prodotto tra matrici è possibile solo quando il numero di colonne della prima è uguale con il numero di righe della seconda (quando i valori interni sono uguali es: 1x3 3x4 (3 e 3 sono uguali e la matrice risultante sarà 1x4).

Per svolgerla moltiplico il primo elemento della prima riga di A con il primo elemento della prima colonna di B, poi il secondo della prima riga di A con il secondo della prima colonna di B, e così via per le operazioni tra matrice riga e matrice colonna.

Per le matrici in generale per trovare l’elemento a₁₁ si moltiplicano in ordine tutti gli elementi della prima riga di A con tutti gli elementi della 1 colonna di B, per a₁₂ moltiplico in ordine tutti gli elementi della prima riga di A con tutti gli elementi della seconda colonna di B.

Per il prodotto valgono le seguenti proprietà:

• Associativa: A(B . C) = (A . B)C.
• Distributiva: (A ± B)C= AC ± AB.
• Identità: A . Id = Id . A = A.
• N.B. Per le moltiplicazioni non vale la proprietà commutativa: A . B.

Una matrice si dice nilpotente quando esiste un r ∈ N: A^r = 0 (moltiplico a per se stessa r volte e ottengo 0 ad un certo punto).

Prodotto scalare

Sia λ ∈ K e sia A = a_ij ∈ M_mn(k).

λ . A = λa_ij, moltiplico ogni elemento di a con λ.

Trasposta

Sia A = a_ij ∈ M_mn(k) la trasposta è la matrice A^t = b_ij ∈ M_nm(k).

Le righe di A diventano le colonne di A^t.

Una matrice si dice simmetrica se:

• A^t=A.
• A è simmetrica rispetto alla diagonale.
• a_ij = a_ji ∀ i,j.

Proprietà scalari e trasposte

• λ(A+B) = λA+λB.
• λ(A . B) = (λA)B = (λB)A.
• (A^t)^t = A.
• (A+B)^t = A^t + B^t.
• (A . B)^t = B^t . A^t N.B. è importante invertire di posizione A e B se no questa uguaglianza è falsa.
• (λ . A)^t = λ . A^t.

Una matrice è invertibile solo se è quadrata:

Sia A ∈ M_n(k) è invertibile se esiste B ∈ M_n(k): A . B = B . A = Id.

Inversa di A = A^-1.

Proprietà inverse

• (A^-1)^-1 = A.
• (A . B)^-1 = B^-1 . A^-1 N.B. è importante cambiare il segno.
• Attenzione: (A+B)^-1 ≠ A^-1 + B^-1.

A . (x₁ ⋮ x_n) = (b₁ ⋮ b_m), se A è invertibile allora: (x₁ ⋮ x_n) = A^-1 . (b₁ ⋮ b_n) trovo le soluzioni del sistema di eq. lineari iniziale.

MEG

Metodo di eliminazione di Gauss – se A è quadrata ottengo una matrice triangolare sup.

È un algoritmo per risolvere qualsiasi sistema di equazione lineare.

L’idea è di riscrivere il sistema in forma matriciale per avere tanti elementi nulli e semplificarne la risoluzione.

Regole per MEG – operazioni elementari per righe

• Scambiare 2 righe.
• Moltiplicare una riga con un numero λ≠0.
• Si può addizionare una riga con un’altra riga o con un suo multiplo.

Pivot = primo elemento non nullo della riga.

Alla fine di MEG si ottiene una matrice a scalini.

1. Si mette la riga con il pivot più a sx in alto e si usano le operazioni per righe per annullare tutti i valori sotto a quel pivot.
2. Si procede ugualmente con tutte le righe.

MEJ

Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan.

Si fa dopo aver terminato l’algoritmo di Gauss e consiste nell’annullare tutti i valori al di sotto e al di sopra dei pivot e ridurre tutti i pivot a 1.

La matrice che otteniamo alla fine di MEJ è detta matrice completamente ridotta.

Posso usare MEJ per trovare le inverse.

Sia C ∈ M_m(k) [quadrata], C è invertibile se la sua matrice completamente ridotta è la matrice identità Id.

(C |Id) → MEJ → (Id | C).

2 matrici sono equivalenti se la seconda è ottenuta dalla prima tramite operazioni per righe.

Matrice elementare: ottenuta applicando una sola operazione per righe sulla matrice Id.

Quindi tutte le matrici elementari sono invertibili e sia A M_m(k) [quadrata] allora abbiamo che se una di queste cose è vera, lo sono tutte:

1. A è invertibile.
2. A è prodotto di matrici elementari.
3. La matrice totalmente ridotta di A è la matrice Id.

(A | b) = matrice completa.

Dunque se da (A | b) usiamo MEG e MEJ per avere (A¹ | b¹) i 2 sistemi hanno le stesse soluzioni ma dopo l’algoritmo il sistema ha molti elementi nulli ed è dunque più facile da risolvere.

MEJ dà automaticamente le soluzioni di (A | b).

Teorema 1

1. Se il primo pivot di una riga si trova nella colonna b allora il sistema non ha soluzioni.
2. Quando tutti i pivot sono contenuti in A abbiamo 2 scenari:

• Il numero di pivot in (A¹ | b¹) = il numero di colonne di A (A): allora il sistema ha una soluzione unica per (A¹ | b¹).
• Il numero di pivot in (A¹ | b¹) < il numero di colonne di A (A): allora il sistema ha infinite soluzioni (il sistema ha una riga completamente nulla).

Il determinante

Sia A ∈ M_n(k), solo con le matrici quadrate.

Il determinante di una matrice è un numero ∈ K e serve ad indicarci quando la matrice è invertibile, quando il sistema ha una sola soluzione.

• Se A ha n=1, A=(a), il suo determinante è det(A)=a.
• Se A ha n=2, A=(a b / c d), il suo determinante è det(A)= ad-bc (quando questo è diverso da 0 il sistema ha 1 sola soluzione).

Per le matrici quadrate con n>2 usiamo il teorema di Laplace:

Sia A ∈ M_n(k), allora:

• Il det(A) = ∑_j=1ⁿ (−1)^i+j a_ij|A_ij|, sviluppo per ogni riga di A.
• Il det(A) = ∑_i=1ⁿ (−1)^i+j a_ij|A_ij|, sviluppo per ogni colonna di A.

Conseguenza: il det(A)=det(A^t).

Scelgo una riga o una colonna della matrice (quella che più mi conviene magari guardando quella con più elementi nulli in modo da semplificare i calcoli) ed elemento per elemento moltiplico -1 elevato alla somma della posizione del valore in considerazione (i+j) (solo per impostare il segno, + se l’esponente è pari, - se l’esponente è dispari) per il valore stesso per il determinante della matrice minore di A escludendo i valori della colonna e della riga del valore considerato; questa operazione si ripete per ogni valore della riga o colonna scelta.

N.B. sia A una matrice triangolare sup, allora il det(A) = prodotto di tutti i valori sulla diagonale.

Esempi con matrici elementari

• Det(Id) = 1.
• Det(E_i(λ))= |1 0 … … 0 / 0 1 0 / ⋮ ⋱ ⋱ ⋮ / λ_i ⋮ ⋱ / 0 1 0 / 0 … … 0 1| = λ.
• Det(E_ij(λ))= 1 (se i>j abbiamo una matrice triangolare inf, se i>j abbiamo una matrice triangolare sup).
• Det(E_ij) = -1.

Prodotto vs determinante

Teorema di Bivet: A è invertibile se il suo determinante è non nullo.

Siano A,B ∈ M_n(k): det (A . B) = det(A) . det(B).

1 = det(Id) = det (A . A^-1) = det(A) . det(A^-1).

N.B. se A ha 2 righe uguali il suo determinante è 0.

Trovare l’inversa

Sia A ∈ M_n(k), la matrice dei cofattori di A è C = C_ij ∈ M_n(k).

Uso lo stesso algoritmo spiegato in precedenza per il trovare il determinante ma lo applico su ogni valore di A per trovare il valore corrispondente in C, una volta fatto per tutti i valori di A avrò ottenuto C tale che:

C^t = A* = la matrice aggiunta di A.

Teorema

Sia A invertibile | det(A)≠0, allora: A^-1 = 1 / det(A) . A*.

Il rango

Sia A ∈ M_mn(k) allora il rango di A = rk(A) è l’ordine massimo di un minore di A RxR con determinante non nullo, rk(A)=R.

• Esiste un minore di A RxR con determinante non nullo.
• Tutti i minori di ordine ≥ R+1 hanno determinante uguale a 0.

Quindi:

• Rk(A)≤ min tra m e n.
• Se A ∈ M_n(k), quindi è quadrata, rk(A)≤n.

Se rk(A)=n, allora A è invertibile (perché il suo determinante non è nullo).

Il rango di A = n° di pivot dopo MEG/MEJ.

Il rango non cambia se utilizziamo le operazioni per righe.

Proposizione

Sia A ∈ M_mn(k), sia B ∈ M_n(k), sia C ∈ M_n(k), allora:

rk(A . B)=rk(A . C)=rk(A).

Teorema di Cramer

Posso usare Cramer quando la matrice è invertibile, ovvero quando il determinante è diverso da 0 e si usa per trovare le soluzioni del sistema iniziale, con A ∈ M_n(k).

Troviamo le soluzioni calcolando il determinante di ogni matrice che otteniamo scambiando la colonna dei risultati b con ogni colonna di A fratto il suo determinante (n colonne = n risultati, per x₁ sostituisco la prima colonna di A con b, e così via con tutte le colonne):

x₁ = |b₁ a₁₂ a₁₃ / b₂ a₂₂ a₂₃ / b₃ a₃₂ a₃₃| / det(A), così per ogni colonna di A.

Teorema di Rouché Capelli

Rk(A)=rk(A|b).

Se rk(A) < rk(A | b) allora il sistema non ha soluzioni.

Osserviamo che:

• Se rk(A)=n, n=numero di colonne di A, allora il sistema ha una sola soluzione.
• Se rk(A)<n, n=numero di colonne di A, allora il sistema ha infinite soluzioni, più precisamente ha ∞^n−r soluzioni.

Vettori nello spazio e nel piano

Vettore = se