Appunti Geometria

Geometria

Algebra lineare e fino

A, B insiemi

• F: {x, quadrato, radice}
• P: {1, 1/3, 1/5}

msieme finito

#F=3

(cardinalità)

A ∩ B intersezione (elementi comuni ad A e B)

A ∪ B unione

A ∩ B = { x | x ε A e x ε B }

A ∪ B = { x | x ε A o x ε B }

A: {1, 2, 3, 5} B: {4, 5, 8}

A ∩ B: {5}

A ∪ B: {1, 2, 3, 4, 5, 8}

A × B = prodotto cartesiano tra 2 insiemi

{(a,b) | a ε A, b ε B}

A = {1, 3, 5, 7}

C = {5, 9}

C ⊆ A

contenuto

C è un sottoinsieme di A

C = C

ele...at... che ...a...en...no (illeggibile)

due insieme

C ⊄ A

strettamente contenuto e non uguale

C ⊈ A

strettamente... ...ente

anche ... possibile uguale (illeggibile)

φ ⊆ A

o A ⊆ A

insieme vuoto

per og...ni

Applicazione (funzione) tra insieme

f: A → B

Ad ogn. elemento di A si associa uno solo elemento di B

(corrisponde)

• Relazione di equivalenza: deve avere 3 proprietà

• RIFLESSIVA

• ogni elemento deve essere in relazione con sé stesso a R

• aRb ↔ bna SIMMETRICA

• aRb, bRc allora aRc TRANSITIVA

Applicazioni di Identità

A →_Id A

a → a

f:{1,2,3} → I(1) ∈ I(2), I(3), 3

A →_f A∷= A

• I ∷ β = β
• a → f(a) ∷ β(a)
• f ∷ I = f

a → a → f(a)

A ⊆ B

A = {1,7}

B = {2,3,7}

i: A_→B

a_→ b=a

u : A_→B

u (2) = 3

u (7) = 7

Proiezioni

A×B = {(a,b) | a ∈ A e b ∈ B}

π_A : A×B _→ A

(a,b)_→a

π_B: A×B _→ B

(a,b)_→ b

• I_A: A_→ A
• A ⊂ B ⟺ A _→ B

A:7_→2

B:6,1,2,3,2

A×B

π_B (7,1) = 1

= ±

= ±

=( ± ), (↺ ² + ²)

² + ² + ω

( ± ) = ρ(cosθ + iα)

= α(cosφ + tanφ)

= ρ(cos(θ + φ) + (θ + φ))

|| = 1

= ρ(cos( + φ) + ( + φ))

ρ = || = modulo

Θ = argomento (definito solo se ≠ 0)

/ = ρ(cos( + φ) + ( + φ))

Teorema Fondamentale dell'Algebra

Enunciato: Ogni polinomio a coefficienti reali o complessi, di grado maggiore o uguale a 1, ammette almeno una radice complessa.

• p(x) = a_nxⁿ + a_mx^m-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀ con n ≥ 1

p(x) = x² + 4

Essendo p(x) un polinomio a coefficienti reali non ammette radici reali, infatti l'equazione di 2° grado ad esso associata x² + 4 = 0 ha un discriminante negativo.

Conseguenze del Teorema

• Ricordando che l'insieme dei numeri complessi è un campo, che in campo si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio non costante del campo ammette almeno una radice appartenente al campo per il Teorema fondamentale dell'Algebra, il campo dei numeri complessi è algebricamente chiuso.

• p(x) = x⁴ + x² - x²(x² + 4) = 0

• x₂ = 0 V x² + 4 = 0

• x = 0 = y₁ = y₂ = 0

∴ x = 0 è una radice del polinomio con molteplicità 2

• x² + 4 = 0 ⇒ y₂ = i V y₂ = -i

Ogni numero reale è un particolare numero complesso avente parte immaginaria nulla. ⇒ p(x) ammette in totale n radici complesse alcune di numero pari al grado del polinomio p(x).

• q(x) = x³ + 3x² - x - 5 = 0, V x = 3, 12, -20 (f)

q(x) ha grado M = 3 = D (m). C erano esattamente 3-e radici contate con la loro molteplicità.