Appunti di Geometria

Forma Trigonometrica di un numero complesso

z = x + iy

_{|z| = √(x² + y²)}(modulo di z distanza di z da 0)

θ = l'angolo che il segmento che ha origine e λ e passante per z

x = ρ cos θy = ρ sin θ

z = x + iy = ρ (cosθ + i sinθ)

ρ (cos²θ + sin²θ)

PRODOTTO

z·z₁

- o = ρ (cosθ + i sinθ)ρ₂ⁱ

z·z₁ = ρ·ρ₁ [cos(θ+θ₁) + i sin(θ+θ₁)]

QUOZIENTE

z——— = _{ρz1 ——}

_{ρ    1}

- è imprtortans dell'introduzione della forma trigonometricstata nel calcolo delle potenzez^m = ρⁿ (cosθ + i sin θ_n)ⁿe va a molprificareargomento da= ρⁿ (cos*n+1 sin sinθ)ⁿa cosin zθ = 90°

cos (2·90) + i sin (2·90)

RADICE

- di un numero complesso _z = x (cosθx + i sinθx)cioè_{z = x↳ è radice di un numero complesso cosθ + i sinθ se [stato] = r · cos θ}Dos questa de derivano di formolae per il calcolodelle radici (n-esime di un numero complesso) w

nel campo complesso ci sono sempre tunde soluzioni

qunnun e lógato dell`equuione radice

Calcolare le potenze del numero complesso in forma cartesiana

1) Innanzitutto bisogna trasformare in forma cartesiana

=

=

2) Effetto di potenza

3) Trasforma -1 in forma trigonometrica ricordando che

4) Calcolo il modulo

5) Calcolo l'argomento

Proprietà delle operazioni in uno spazio vettoriale

1. ∀ λ ∈ ℝ λ ⋅ 0̲ = 0̲ dove 0̲ è un vettore quindi ha coordinate in ℝ^l uguali (0, 0)
2. ∀ μ ∈ ℝ scalare 0 ⋅ μ = 0
3. ∀ x̲ ∈ ℝ se x̲ ⋅ λ = 0̲ allora λ = 0 ∨ x̲ = 0
4. ∀ x̲ ∈ ℝ x̲ + (−x̲) = 0̲ = −2 x̲ = λ ⋅ (1 + μ) ⋅ λ = λμ
5. ∀ χ ∈ V +χ = V = V

Gli elementi di V si chiamano vettori

Gli elementi di ℝ si chiamano scalari

V = ℝ²

̲_R² = (0, 0) (l'elemento neutro per la somma è detto vettore nullo)

V = ℝ³

V = ℝ₂[x]

Insieme dei polinomi di grado 2

̲_ℝ²[x] = 0x² + 0x + 0

Esempio

λ = 3 V = ℝ²

1. λ ⋅ 0̲
2. (3, 0) ⋅ (3 ⋅ 0, 3 ⋅ 0) = (0, 0) = 0
3. 0 ⋅ μ = 0̲ V = ℝ²

0 ⋅ (1, 5) = 0̲ V = (1, 5)

λ ⋅ V = 0 λ ≠ 0 V = 0

dimostrazione delle proprietà

Dato V₁, V₂... Vₙ, un sottinsieme di vettori di V, questi si dicono linearmente dipendenti se almeno 1 di essi si può scrivere come combinazione lineare degli altri, altrimenti si dicono linearmente indipendenti.

Come nel quesito due prop. I vettori V₁, V₂..., Vₙ sono linearmente indipendenti se l’equazione x₁V₁ +...+ xₙVₙ =0 implica che x₁ = x₂ =... = xₙ =0 tutti gli scalari.

OSS: Due vettori sono linearmente dip. se stanno sullo stesso rettᶝ cioè: sono proporzionali. V₁ = λxV₂

Per determinare tutti i vettori che giacciono su una retta bastᶝ 1 vettore

Se prendiamo due vettori qualsiasi del piano non proporzionali: possono ottenere tutti i vettori del piano come combinazione lineare dei due

Tre vettori sono dipendenti ➔ giacciono sullo stesso piano

Si dice base l’insieme di vettori: 1) vettori v₁, v₂..., vₙ sono line. indipendenti 2) generano V

- Si dice matrice trasposta di A la matrice ottenuta scambiando ordinatamente le righe con le colonne che indichiamo con A^T

Vale la proprietà: (A^T)^T = A

- Esempio

- Si dice matrice diagonale la matrice in cui elementi A_ij con i ≠ j sono tutti nulli

un caso particolare è la matrice unità - Tutto 1 sulla diagonale principale: elemento neutro (del prodotto)

- matrice simmetrica : A = A^T

- matrice antisimmetrica : A = -A^T

- Una matrice si dice triangolare superiore se a_ij = 0 quando i > j

A = _{3 0 6} A = _{9 4 0 1 5}

Conseguenze della definizione e condizione per la dipendenza o indipendenza lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale V.

Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n e:

β = {u₁, u₂, ..., u_n}

S = {w₁, w₂, ..., w_m}

con w_i = α_i1u₁ + α_i2u₂ + ... + α_inu_n

dove i = 1, 2, ..., m

Consideriamo la matrice

A = (α₁₁, α₁₂, ..., α_1n α₂₁, α₂₂, ..., α_2n ... α_m1, α_m2, ..., α_mn)

in cui i sistemi di righe contengono le coordinate del vettore w_i rispetto alla base β.

Diciamo che A è la matrice delle coordinate dei vettori w_i entro la base β.

Proposizione:

Dati m vettori, w₁, w₂, ..., w_m, essi sono linearmente indipendenti se e solo se l'incognita della matrice delle coordinate dei m vettori ha rango equale a p.

In generale, dati m vettori, esistono tra essi o più p vettori, linearmente indipendenti se e solo se la matrice delle coordinate degli m vettori ha rango equale a p.

Come calcolare il rango. Bisogna prima definire cosa si intende per sottomatrice.

Si dice sottomatrice di A la matrice ottenuta da A cogliendo delle righe e delle colonne di A.

Esempio:

Sia A (1 3 -1 7 5 1 0 13 6 2 1 11 0 2 7 1)

Possiamo estrarre sia matrici quadrate che rettangolari.

• Nel caso in cui la matrice scelta sia quadrata allora ne possiamo calcolare il determinante, che è detto minore di ordine r dove con r si indica l'ordine della sottomatrice scelta.