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SUPERFICI
OSS: Le superfici non si pensano come funzioni differentiabili inviate localmente nelle nelle ma come sottinsiemi di R3 stessi con alcune proprietà che escludono automaticamente la singolarità. Tratteremo principalmente superfici regolari.
Def
∅ ∈ SER3 oppue V⊂SER3 aperto e ∃V⊂S aperto superficie regolare ⟺
- ∅: U⊂R2 → R3 dif.
- (U, ∅) oss. dice parametrizzazione locale di S
- ∅ si dice carta
1) (U)=V
2) : U → V *omeomorfismo
3) d: R2 → R3 iniettiva (di(q)=F)
OSS:
- Se valgono solo 2, 3 si dice superficie immersa
- U⊂R2 può essere connesso o meno indissolubilmente
Vediamo il significato geometrico.
La 3) vuol dire che le trasformate delle rette in U restano lineari indipendenti. Una superficie regolare non può avere tratti unidimensionali (university). Non è un cicloelliptico.
Una superficie regolare non può avere automodulazioni perché avvengono a livelli di infinitesimo. Non vi nulla di oggettivo ad onestesso ad dR2.
Polire un'unatore R2 mandato di R2.
- Una superficie regolare in R3 può essere vista come un sottinsieme di R3 e ogni punto ha nell'intorno di una carta
S⊂R3 V⊂S
P∈U⊂V ⟺ P∈(Uα) con α : Uα=Vα.
L'insieme delle carte {} si dice atlante. H∪A2U2∈1 pezzo di sfera con VAS.
Uα∩Uβ non è aperto in unendo come U (unione delle continue di Hα o l*atlante).
φ(U) è un intorno coordinato della superficie S regolare
φ|U:(U,In,Siook) solo curve diff ⇒ pianoWℐ3
N = (φ|U,N) constante in S curve coordenateesercizi meridiani e paralleli sulla terra
j chiamato di copertura 3
dφp:ℝ2 ⇒ ℝ3 applicazione lineare con φ()=p
(x1,yg,3)(φ1,φ2) f ∝(x) acc(φae)e ℐ3 ∀
φ = (φ1,φ2,φ3)
∂Uzφ = (∂φ1∂U, ∂φ2∂U, ∂φ3∂U)
∂yφ = (∂φ2∂F, ∂φ2∂u, ∂φ3∂u)
∂vφ = (∂φ1∂v, ∂φ2∂v, ∂φ3∂v)
I = (
|det(
) =
dφp è iniettiva ⇔ rango 1 = 2 ∅ ∂u e ∂u sono lin. independent
vutano in q
Nota che le colonne sono il vettore tangente delle curve coordinate. Vettore coordinato hanno tangenta ioni independenti
niente con diversiasse orumbreasse orumbre define
- una cobatera si, e la ri solatu sachet (rioreso yg)(u)m (freo, arentino V),
un'ubicazione di bue un astra ivi v(posa v l di uiv homeno di fdorrimbo consenso la topoloche di in io mcomo di S
A è puntino v ⇔ ∃&tan;intorno di ℝ3 A = E PO 1
grafo t DI OTTUNSSION
- una superficie nucleota è secu se quella rete lação Leached concealed pinofes, e il sui lo doodle conil.rq sono commia ||peritonisco , f'(
scriva The
sch, 1(ade,
) выявленно уникальное соответствие винтов,cASSIe orescanto aaℕ
ponga o (nivoe -R
)la continua aa a petod locar:,860.unido o),locx, la riverinde η piez.
σp,
Ipotesi
f: ℝ2→ℝ differenziabile (Ω=-1(0)⊆ℝ3) a valore regolare 0 f (cioè ∀∈Ω: ∇()≠0 dunque ≠0 cioè ∇≠0)
⇒ S=-1(0) è una superficie regolare (se non vuoto) oppure se ne componenti connesse sono superficie regolare (no )
Oss.
Quali sono le quadriche affine non nulle?
S={∈ℝ3|(t)A()=0 , A∈nxn(ℝ) singolari ≠0}
Se è una sola normale ⇒ ∀∈ℝ3 (u, pt)A ≠0
Quindi:
f: ℝ3→ℝ (x,y,z) ⇒ (x, y, z)A (1) (x) (y) (z) ∇= 2 (, t)A , p∈S
∀∈S: (p)∇= ∇f()TS=0 ⇒ (u, pt)A = (, 0) con ∈ℝ3
ma p∈S ⇒ (0)=0 ⇒ =0 allora
Se p∈ ⇒ p ≠0 ⇒ (u, pt)A ≠0 o
Oss.
I coni, i piani concavi e i piani che s'intrecciano in una retta non sono semi piani polidici i piani singolari non sono un piano al vanzare, le curve quadriche sono regolari
Esempio
Toro si ottiene ruotando intorno alla base una circonferenza di centro C=(0, 0, 0) e raggio r ≤||=0
T={(x,y,z)∈ℝ3 | (+, -) +-3 = 2 }
: ℝ3→ℝ3{:=}asse =ℝ differenziabile
(, y, z) ─────> (+, + 2+2)
S . =-2-2(2)
OSS: la pi viene scelta d'un superficie WFM
a cosa è servita questa proposizione?
S superficie ricavione: (p=3)
Ψ1, U1 ⊆ S → Ψ2, U2 → passum latini pe Ψ2 (U1) ∩ Ψ2 (U2)
Ω = Ψ2(U1) ∩ Ψ2(U2) → Ψ2(Ui) ∩ Ψ2(Ui)
la simile riparametrizzazione e è un diffeomorfismo
(ora vedremo che è differenziabile [consum diffamabile] W dirivum)
Prop
h è un diffeomorfismo tra aperti Ω R2
sa Ω ⊆ Ψ2(U1) ∩ Ψ2(U2) aprono a R3
sa a1 ∈ Ψ2-1(Ω) ⊆ R2, a2 = h (a2)
∃ Bs(a2
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