Geometria IV - Curve

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di el_ces_94

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Teoria locale delle curve: concetto di curva parametrizzata, lunghezza d'arco, riferimenti di Frènet, curvatura e torsione in R^3, curvatura nel piano, curvature generalizzate in R^n. …

Esame Geometria IV

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Dal corso del Prof. Ciccoli Nicola

Università Università degli Studi di Perugia

A.A. 2015-2016

62 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Curve

Def

I intervallo chiuso di ℝ

f: I →ℝ^m si dice f(I) ⊂ ℝ^m è il luogo dei punti

Ueva parametrizzata C⁰ ⟺ f è continua su ^I

f(I) = sostegno della curva t si dice parametro della curva

Def

f: I →ℝ^m si dice curva parametrizzata differenziabile di classe C^k (a tratti) ⟺ f è differenziabile (a tratti) ∃ un numero finito ma non nullo di tratti differenziabili ed è di classe C^k (con k ∈ {1, ..., ∞})
I := I →ℝ^m si dice curva smooth o liscia ⟺ f ∈ C^∞(I)

Oss

La curva è l'applicazione f, non l'insieme dei punti di ℝ^m (sostegno curva ≠ f)
Dato che la differenziabilità si definisce nell'arco (a,b) ⊂ ℝ
- f: [a,b) →ℝ^m si dice differenziabile ^a
- ∃ f [a, b) e ^f(a) non dipende dalla scelta di f

Esempi

f: ℝ →ℝ²
- t ↦ f(t) = (t, t²)
è una parabola è una curva liscia
f: ℝ →ℝ²
- t ↦ f(t) = (t, t³ - t⁶)
è una curva differenziabile con lo stesso sostegno della parabola ma è chiusa
f: ℝ →ℝ^m
- t ↦ f(t) = P + t α
P ∈ℝ^m P è un vettore α punto è la retta affine passante per P e parallela ad α, è una curva liscia

f:(ℝ) è una varietà affine unid.

f: ℝ →ℝ²
- t ↦ f(t) = r (cos t, sin t)
è una curva liscia

Curve

Def: I intervallo chiuso e M≥2

I → Rⁿ, si dice f è continua in I
C⁰ → f è una curva in I

S(I) = sostegno della curva t si dice parametro su curva

Def: I → R^M, si dice f è differenziabile a tratti.

In un numero finito di punti f è non differenziabile
È di classe C^k, con k = 1,...∞

I → R^M, si dice curva sghemba o liscia f ∈ C^∞(I)

Osservazioni:

La curva è l'applicazione f, non l'insieme dei punti ≠ sostegno curva
Dato che la differenziabilità si definisce negli archi (a,b)
[a,b] → Rⁿ f si dice differenziabile

Esempi

R → R² t → φ(t)=(t,t²) è una parabola, è una curva liscia
R → R² t → φ(t)=(t, t³+6)
R → R^M t → φ(t)= P + tΔ
R implica è una varietà affine unario
R → R² t → φ(t)= r(cos t, sin t) è una curva liscia

γ : [0, 2π] → R² ASTROIDE

t ↦ γ(t) = (cos³t, sin³t)

Disegnato la curva avendo studiato la funzione

cos 3t ≤ 1
-1 < sin³t ≤ 1; sin nel quadrato

γ(0) = γ(2π) = (1, 0)

γ(π/2) = (0, 1)

γ(π) = (-1, 0)

γ(3π/2) = (0, -1)

γ elimina ovvio

∀ t ∈ [0, 2π) γ(t) ≠ γ(t')

γ(t') = γ(t)
- (cos³t, sin³t) = (cos³t', sin³t')

-cos t - cos t' = 0

Δ = cos³t - cos³t'

sinh (cos³t) = sinh (cos t)

sinh (sin³t) = sinh (sin t)

γ'(t) = (-3cos²t sin t, 3sin²t cos t) = 3/-cos t

1° interpretazione: tangente alla curva
2° interpretazione: nei nostri casi non abbiamo informazioni sul valore della tangente

γ eliminasi passa ha un massimo w = t = 0; f(0) = (1, 0)

ha un minimo w t = π; f(π) = (-1, 0)

γ elimina descrivendo ha un massimo w t = π/2; f(π/2) = (0, 1)

ha un minimo w t = 3π/2; f(3π/2) = (0, -1)

γ'(t) = (-cos t, -sin t)

Toucher cons: è situato si espone attraverso in volo

f: I⟶R^m

curva differenziabile qualsiasi pef(I)

si dice regolare if Vmp la derivatante 0 f^'(t)

avendo il # 0 si veda il prodotto scal f^'t*D

f: I⟶R^m curva

si dice semplice ⟺ Vpef(t) ha molteplicità 1

(quindi f^'(t) nel vettiva)

def. f: I⟶R^m I=[a,b]

curva

si dice chiusa semplice ⟺ f¹I_a

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