Geometria IV - Curve

Def

I intervallo chiuso in R (m≥2)

• f: I→R^m si dice C⁰ (continua su I)
• f(I) = sostegno della curva

Def

• f: I→R^m si dice differenziabile (a tratti) se I è un numero finito di punti non differenziabile ed è di classe C^k (con k∈{1, ..., ∞})
• f: I→R^m si dice curva liscia o liscia f∈C^∞(I)

Osservazioni

• La curva è l’applicazione, non l’insieme di punti di R^m (sostegno curvo)
• Dato che la differenziabilità si definisce nell’arco [a,b]

Esempi

1. f: R→R² t→f(t)=(t, t²) è un parabola, è una curva liscia
2. f: R→R² t→f(t)=(t, t³+6) è una curva differenziabile con lo stesso sostegno della parabola ma è diversa
3. f: R→R^" t→f(t)=P+t N
4. P∈R^m L=direzione è la retta affine passante per P e parallela a V, è una curva liscia
5. f(I) è una varietà affine lineare
6. f: R→R² t→f(t)=r (cos(t, sin(t)) è una curva liscia

[0,2π] → ℝ² = ASTROIDE

t → β(t)=(cos³t, sin³t)

Disegnato la curva avendo studiato la funzione

-1 ≤ cos t ≤ 1

-1 ≤ sin³ t ≤ 1 senza tracciare

1. β(0) = β(2π) = (1,0)
2. β(π/2) = (0,1)
3. β(π) = (-1,0)
4. β(3/2 π) = (0,-1)

Eliminare |auso|

∀t,t ∈ [0,2π] β(t)+β(t')

β(t) = β(t), β(t) = (cos³t, sin³t) = (cos t, sin t)

cos²t - cos²t = 0 ↔ (cos t - cos t)(cos t + cos t) = 0

Δ = cos²t - cos²t = -3cos²t ≤ 0 → (cos²t + cos t + cos t)

⇒ cos t = cos t ↔ t = 2π - t

sin³t = am³t = 0 ↔ (am t - am t)(sin²t + am t, am t)

Δ = am²t - am²t = 3am² < 0 → (am²t + am t (am t)

⇒ am t = am t ↔ t = π - t

sgn (cos²t) = sgn (cos t), sgn (am²t) = sgn (am t)

β'(t) = (-3cos²t am t, 3B² cos t) = 3 cos t am t - (cos t, am t)

β'(t) = (0,0) ↔ cos t = 0, am t = 0

In questo caso non abbiamo indicazioni sul valore della tangente

β_x ha l'unico π passato ha un massimo, w = t = 0, β(0) = (1,0)

β(t') = (1,0)

β_x ha l'unico w = t = π

β(π) = (-1,0)

β_y avece 1 altro w = t = π/2, β(π/2) = (0,1)

β_y è sempre 1 altro w, t = 3π/2, β(3π/2) = (0,-1)

C(t) = (am t, cos t)

β'(t) = (-cos t, am t), il sist ruhon si canda tralinn tuo ecoode

È dunque necessario introdurre una nozione di equivalenza

sulla classe delle curve parametrizate in modo che

le curve affini siano equivalenti descrivano lo stesso

oggetto geometrico

(scelgo nocciuto il punto di partenza √

tornare valendo il cambiamento angle √)

_AB = {x ∈ ℝ | x ≤ B x ≥ A}

non vuoti _∃^-1

bijettivia e differenziabile

solo equivalenti se riesiste:

• f⁻¹ è differenziabile
• f'(x) ≠ 0 ∀x ∈ I

Punto dis scrittura ⁻¹ = g_o

(g_of)(x) = x ∀x ∈ I

{g_of}(x) = I ∀x ∈ I

⇒ f'(x) ≠ 0 ∀x ∈ I

2) ⇒ 1)

f: [α, β] → ℝ

η* ε _w ℝ

t.c. ẟ = f₀ η

sa = I

I = [a, b] ⊆ I

abb η f'(x) ≠ 0 ∀x ∈ I

resortim suppone F(x) > 0

∀x ∈ I | estensione aperta

⇒ F = F mathemag ℐ

F = f^(Τ) o cf(Τ)

(bilento)

⇒ f' invariabile e sia F = f^(Τ) ≤ 〰 | penase di f

di supppettiva

def.:

g: І₁ → J

g⁻¹ è differenziabile o

F'(x) ≠ 0 ∀x ∈ I

def.:

γ₁: I → ℝ^m

γ₂: I → ℝ^m

curve open parametrizzate

dicono f

⇔(copertificcio cooperativo

equivalenti)

OSS: γ: I → ℝ^m parametrizzata ad arco ⇒ ||δ'(t)|| = 1 ∀t ∈ I

fisso t_o ∈ I

L_{[to, t]}(δ) = ∫_to^t ||δ'(u)||du

è una funzione integrale

L_{[to, t]}(δ) = ∫_to^t 1 ds = t - t_o ⇒ t = t_o + L_{[to, t]}(δ) = t_o + ℓ(t)

allora γ: I → ℝ^m parametrizzata ad arco

EQUIVALENTE L_[•••](δ) coincide con parametro t

a meno di una traslazione

esempio

γ: I → ℝ^m

t → δ(t) = (x₁, ..., x_m) = P+ o t s

Punto fisso P

• x₁ = x_o + t c₁ s
• ...
• x_m = x_o^m + t c_m s

||δ'(t)|| = ||•••||

r = grade geometrico

γ la parametrizzata ad arco ⇔ non è un valore ad arco

teorema

γ: I-o ℝ^m curva C⁴

geometrica

γ è trasversale ad γ₁ → I Xt. in ℝ^m

i passagna e xzero

⇔ γ il requiera

un

⌐⊏ ␣ non rete curve ⇒ ∃t_o ∈ I, γ'(t_o) ≠ 0

γ la α, γ₁ ⇒ ∃α, γ, J → I t.c. γ₁ = δ o and differenziabrio

⇒ γ = δ₁ o α,

= δ₁(g o α¹ t_o))

= δ₁ (g^u (t_o)(•••)(•••))

||δ₂ ⨯ (g²(t_o))|| = 0 == ⇒ δ⍱ reggume

γ requere

fisso t_o ∈ I

pongo ℓ(t) = ∫₀^t ||δ'(t)|| ≠0 bετ

∀t ∈ I ⇒ δ è recorrespo

pongo γ₁ = δ_o e^-1 ⇒ γ = δ₂

OSS: Dato che g'₁, g'₂ (l.n.p.) ⇒ tg(s) ⟂ m_g(s)

DEF: Span{tg(s), m_g(s)} = ⟨ m_g(s), tg(s)⟩ ⇒ si dice piano osculatore

L'insieme di tutte le loro combinazioni è un sottospazio di R³ di dim 2

g₍₅₎ + m_g(s), tg(s) ⇒ si dice piano osculatore alla curva in s

Il piano tangente al piano normale passante per g(s)

DEF: g₀₁ I → R^m qui c'è relazione fra vari d'arco

K_g I → R₊ si dice curvatura o g w 5

s ↦ kg(s) = ||g^''(s)|| osservare che K_g è continua

OSS:

• Di conseguenza g effettore in s ⇔ K_g(s) ≠ 0
• La formula di Taylor dice

g_s(s+Δs) = g_s(s) + g'_s(s)·Δs + ¹⁄₂ g''₍₅₎Δs² + o(Δs³)

g_s(s+Δs) - g_s(s) - g'_s(s)Δs + ¹⁄₂ g''_s(s)Δs² + o(Δs³)

Potenze unitario e potenza cancello involvente (qualche unità e potenze troncamento)

g₅(s+Δs) - g₅(s) = m_g(s)

ESEMPI

‣ g_s(s) = g_s + g'_ss

g_.1 I → R^m l_g, 1 = 1 (3 esempio di arco)

g₅(s) = g_.1 g'₅(s) = 0 ⇒ k_g(5) = 0 ∀ s ∈ I

La retta ha curvatura 0 ovunque nulla

→ g₅ I: [0, 2π] → R²

g_s (s) = g_s + R (cos 5_R, ms_R) panno 0 arco

g_s (s): = (− m_g R¹ cos ⁵⁄_R)

g''_s(s) = (−¹⁄_R cos w⁵⁄_R + ¹⁄_R sin w⁵⁄_R)

l_g^'(s)I = k_gs = ¹⁄_R

La curvatura della preferenza è l'inverso del suo raggio