Geometria analitica

C C

+ + + + =

2 2

3

) x y ax by c 0

a

= − ⇒ = −

a 2 x x

C C

Centro C(x ;y ) e raggio r 2

C C b

= − ⇒ = −

b 2 y y

C C 2

2 2 2 2

= + − ⇒ = + −

2

c x y r r x y c

C C C C

2 2

+ − ≥

C .

E . : x y c 0

C C

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FORMULARIO DI MATEMATICA

6. ELLISSE

2 2

x y

+ =

Equazione con centro nell'origine 1

2 2

a b

k = PF + PF = 2a

se a > b i fuochi F e F sono sull’asse x 1 2

1 2

OA: semiasse maggiore = a c

OB: semiasse minore = b < 1

2 2 2

a =b +c eccentricità:

OF : semidistanza focale = c a

1 k = PF + PF = 2b

se a < b i fuochi sono sull’asse y 1 2 c

OB: semiasse maggiore = b 2 2 2

b =a +c eccentricità: <1

OA: semiasse minore = a b

( ) ( )

2 2

− −

x x y y

+ =

Ellisse traslata di centro C(x ;y ) C C 1

C C 2 2

a b

7. IPERBOLE

2 2

x y

− = 2 2 2

c =a +b

1

Equazione con centro nell'origine e fuochi 2 2

a b

F e F sull'asse delle x c b

1 2 > = ±

1 y x

eccentricità: asintoti:

a a

( ) ( )

2 2

− −

x x y y

Iperbole traslata di centro C(x ;y ) − =

C C 1

C C 2 2

a b

2 2 b

x y

Equazione con centro nell'origine e fuochi = ±

y x

asintoti:

− =−1

F e F sull'asse delle y 2 2 a

a b

1 2 = ±

y x

− =

2 2 2

x y a asintoti:

Iperbole equilatera ( ) ( )

Iperbole equilatera traslata 2 2

− − − = 2

x x y y a

c c

di centro C (x ;y )

C C h

= =

xy h oppure y x

( )

Iperbole equilatera riferita agli asintoti = ± ±

vertici h ; h

( )

=

F 2 h ; 2 h

2 +

h ax b

FUNZIONE OMOGRAFICA: − = =

y y oppure y

c − +

x x cx d

c

Iperbole equilatera riferita agli asintoti d a

= − =

con gli assi : x y

traslata di centro C (x ;y )

C C c c

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FORMULARIO DI MATEMATICA

8. PROGRESSIONI

a n−1 q

=a  n-esimo termine di una progressione aritmetica

n 1

a a

1 n somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

S =n

n 2

n −1  n-esimo termine di una progressione geometrica

a q

=a

n 1 n

q −1 somma dei primi n termini di una progressione geometrica

S =a

n 1 q−1

1

S q

=a somma degli infiniti termini di una progressione geometrica con ∣ ∣1

n 1 1−q 9. LOGARITMI

y log x

definizione y=log x b x b

 =  =x

b

b

=

log a 1

a =

log 1 0

Casi particolari a

= = n

n n log a log a

a a

( ) = +

log ab log a log b 1

( ) = ⇒ = = −

- 1

log a : b log a - log b l og log b log b

b

Proprietà dei logaritmi: =

n

log a n log a

1 1

= =

log a log a loga

2 2

log a

x

log a=

Cambiamento di base b log b

x Pagina 6 di 11

FORMULARIO DI MATEMATICA

10. CALCOLO COMBINATORIO

n!=nn−1n−2....2⋅1

n fattoriale

Permutazioni semplici P =n!

n

di n oggetti

Permutazioni di n n!

P=

oggetti con ripetizioni q !q !...

1 2

q , q ,...

1 2

Disposizioni semplici D n−2....n−k

=n n−1 1

di n oggetti in k posti n ;k

Disposizioni con k

ripetizione di n oggetti D =n

n ;k

in k posti

Combinazioni semplici   n n−1n−2 ....n−k n!

1

n

C = = =

di n oggetti in k posti n ; k k k k n−k

! ! !

Potenza di un binomio          

n n n n n

n n n−1 n−2 2 n−1 n

a a b a b ab b

ab =  ....... 

n n−1 n−2 1 0

11. I LIMITI NOTEVOLI

( ( ) )

sen f x

senx ( )

= =

= lim 1 con lim f x 0

lim 1 ( )

f x

x → →

→ x x x x

x 0 0 0

−

1 cos x 1

=

lim 2 2

→ x

x 0 x

 

1

+ =

 

lim 1 e

 

x

→ ∞

x 1

1 ( ( ) ) ( )

( ) ( )

+ = =

+ = lim 1 f x e con lim f x 0

lim 1 x e f x

x → →

→ x x x x

x 0 0 0

( )

+

log 1 x

a =

lim log e

a

x

→

x 0 ( ( ) )

( ) +

+ ln 1 f x

ln 1 x ( )

= =

= lim 1 con lim f x 0

lim 1 ( )

f x

x → →

→ x x x x

x 0 0 0

x −

a 1 =

lim ln a

x

→

x 0 ( )

f x

x −

− e 1

e 1 ( )

= =

= lim 1 con lim f x 0

lim 1 ( )

f x

x → →

→ x x x x

x 0 0 0

( ) α

+ −

1 x 1 α

=

lim x

→

x 0 Pagina 7 di 11

FORMULARIO DI MATEMATICA

12. TRIGONOMETRIA

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

α + β = α β + β α α + β = α β − α β

sen( ) sen cos sen cos cos( ) cos cos sen sen

α − β = α β − β α α − β = α β + α β

sen( ) sen cos sen cos cos( ) cos cos sen sen

α + β α β −

tg tg cot g cot g 1

α + β = α + β =

tg ( ) cot g ( )

− α β α + β

1 tg tg cot g co

tg

α − β α β +

tg tg cot g cot g 1

α − β = α − β =

tg ( ) cot g ( )

+ α β β − α

1 tg tg cot g co

tg

DUPLICAZIONE α α

2 2 2 2

α α α α

= − = −

cos 2 cos sen cos cos sen

2 2

α α α

=

sen 2 2 sen cos α

2 2

α α α

= − = −

α α cos 2 1 2 sen cos 1 2 sen

α =

sen 2 sen cos 2

2 2 α

2 2

α α α

= − = −

cos 2 2 cos 1 cos 2 cos 1

2

α

2

tg α −

2

cot g 1

α =

tg 2 α =

cot g 2

α

− 2

1 tg α

2 cot g

BISEZIONE

α α

− +

α α α α

− +

1 cos 2 1 cos 2

1 cos 1 cos

α α

= =

2 2

= ± = ±

sen cos

sen cos

2 2

2 2 2 2

α α α α α α α α

− − + +

1 cos sen 1 cos 1 cos sen 1 cos

= ± = ± = ± = ± = ± = ±

tg cot g

α α α α α α

+ + − −

2 1 cos 1 cos sen 2 1 cos 1 cos sen

PARAMETRICHE

α α

2

t − 2

1 t

α = = =

sen t tg α = t tg

cos

+ 2

1 t 2 + 2

2

1 t

α π π

≠ + 2 k

con α π π

≠ + 2 k

con

α α

2

t − 2

1 t

α = = =

tg t tg α = t tg

cot g

− 2

1 t 2 2

2t

π α π π

≠ + k

con

α π π α π

≠ + ≠ +

2 k e k

con 2 PROSTAFERESI

α β α β α β α β

+ − + −

α β α β

+ = + =

sen sen 2 sen cos cos cos 2 cos cos

2 2 2 2

α β α β α β α β

+ − + −

α β α β

− = − = −

sen sen 2 cos sen cos cos 2 sen sen

2 2 2 2

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FORMULARIO DI MATEMATICA

13. DERIVATE

FUNZIONE: y=f(x) FUNZIONE DERIVATA: y' = f(x)

y '

y=k =0

y=x y ' =1

x

∣ ∣

y=∣

x y'

∣ = x

 −1

y=x y ' x

= 1

y' =



y= x 

2 x

x x

y=a y ' ln a

=a

x x

y=e y ' =e

1

y=lg x y ' lg e

=

a a

x

1

y'

y=lnx = x

y=sen x y ' x

=cos

y=cos x y ' x

=−sen 1

y' =

2

y=tg x oppure

y ' x

=1tg 2

cos x −1

y' =

2

y=cotg x oppure

y ' x

=−1−cotg 2

sen x

1

y' =

y=arc sen x  2

1−x

−1

y' =

y=ar cos x  2

1−x

1

y' =

y=arctg x 2

1x

REGOLE DI DERIVAZIONE

y= f xg x y ' f ' xg ' x

   =  

y=k⋅ f x y ' f ' x

  =k⋅  

y= f x⋅g x y ' f ' x⋅g x f x ' x

  =     ⋅g 

f ' x

1 −  

y'

y= = 2

f x

  f x

 

f ' x g x f x g ' x

f x    −    

  y'

y= = 2

g x g x

   

y= f g x y ' f ' g x ' x

   =   ⋅g  

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FORMULARIO DI MATEMATICA

14. INTEGRALI INDEFINITI

INTEGRALI INDEFINITI INTEGRALI INDEFINITI

FONDAMENTALI GENERALIZZATI

∫ a dx=axk 1

1 f x

x 

∫

∫ 

 f x f ' x dx= con

x dx= con     k ≠−1

k ≠−1 1

1 f ' x

1 

∫

∫ ∫



se=−1 x dx= dx=ln∣x∣k dx=ln∣ f x∣k

 

x f x

 

∫ ∫

sen x dx xk sen f x f ' x dx=−cos f xk

=−cos       

∫ ∫

cos x dx=sen xk cos f x f ' x dx=sen f x

     k

1

2

∫ ∫ 2

1tg x dx= xk ∫

=tg f x f ' x f xk

1tg     dx =tg  

2

cos x

1

2

∫ ∫ 2

1cotg x dx xk ∫

= =−cotg f x f ' x dx=−cotg f x

1cotg       k

2

sen x

x x f x f x

∫ ∫  

e dx=e e f ' x dx=e

k  k

x f x



a a

∫ ∫

x f x