Appunti Geometria 3

GEOMETRIA 3

• Nozioni di base di topologia:
  1. Spazio topologico
  2. Spazio metrico
  3. Spazio euclideo
  4. Spazio connesso e connesso per archi
  5. Spazio compatto
  6. Teorema spazio connesso
  7. Spazio connesso
  8. Spazio stellato/stellare
  9. Funzione continua
  10. Spazi topologici omeomorfi
  11. Omeomorfismo
  12. Omomorfismo
  13. Omomorfismo di gruppi
  14. Omomorfismo di anelli
  15. Diffeomorfismo
• Curve e superfici differenziabili:
  1. Curva parametrizzata
  2. Traccia e supporto
  3. Vettore velocità
  4. Curva regolare
  5. Lunghezza di una curva
  6. Teorema funzione implicita (o teorema di Dini)
  7. Teorema funzione implicita in più dimensioni
• Riferimento di Frenet:
  1. Curvatura
  2. Torsione
  3. Formule di Frenet-Serret

Superfici in R³

• Superficie e carta
• Superficie in R³
• Superficie regolare o liscia
• Teorema della funzione inversa
• Superficie rigata e doppiamente rigata
• Superficie di rotazione o rivoluzione
• Vettore tangente ad una superficie
• Spazio tangente ad una superficie

Applicazioni lisce tra superfici

• Applicazione differenziabile
• Applicazione differenziabile liscia
• Diffeomorfismo applicazioni lisce
• Prima forma fondamentale
• Forme bilineari
• Forme bilineari su Rⁿ
• Forme bilineari simmetriche e antisimmetriche
• Applicazione isometrica
• Lunghezza curva su una superficie
• Superfici localmente isometriche
• Isometria globale e locale
• Orientazione della superficie
• Teorema superficie orientabile
• Seconda forma fondamentale

Teorema Egregium di Gauss

• Curvature principali
• Curvatura gaussiana
• Curvatura media
• Punto ellittico, iperbolico, parabolico, planare, ombelicale

Nozioni di Base di Topologia

Spazio Topologico: Uno spazio topologico è un insieme X di punti, dotato di una struttura che realizzi i concetti di vicinanza e lontananza fra questi. La struttura consiste in una collezione di insiemi di X, detti aperti, che soddisfano delle proprietà simili a quelle degli insiemi aperti della retta reale R. Uno spazio topologico si indica come una coppia (X, T), dove X è un insieme e T è una topologia.

Spazio Metrico: Uno spazio metrico è un particolare spazio topologico, in cui due punti x,y hanno una definita distanza d(x,y), che quantifica concretamente la vicinanza (o lontananza) fra due punti.

Spazio Euclideo: Lo spazio euclideo Rⁿ di dimensione n è uno spazio metrico e quindi topologico. In particolare, il piano cartesiano e lo spazio 3-dimensionale sono spazi topologici.

"Ogni oggetto contenuto nel piano è uno spazio topologico: ad esempio un poligono, una corona circolare o oggetti molto più complessi come i frattali sono spazi topologici contenuti nel piano; una tazza, una ciambella, un nastro di Möbius sono spazi topologici contenuti nello spazio. Molti spazi topologici non sono contenuti né nel piano né nello spazio: un esempio è la bottiglia di Klein che è contenuta nello spazio 4-dimensionale."

Curve e Superficie Differenziabili

Curva Parametrizzata

Una curva parametrizzata è un'applicazione:

α: I → Rⁿ di classe C⁰.

Possiamo anche dire che α: I → Rⁿ è una curva parametrizzata liscia. Se N=2 → curva nel piano. Se N=3 → curva nello spazio.

α ∈ C⁰ ⇔ le componenti (α₁, α₂,....,α_n) ∈ C⁰.

Traccia

La traccia è un'immagine della curva α ,definita come:

Im α= C ⊆ Rⁿ

La traccia viene anche chiamata supporto della curva parametrizzata.

Vettore Velocità

Il vettore velocità della curva α nel punto α(t₀) all'istante t₀ ∈ I, è espresso:

come: α'(t₀)=(α₁'(t₀),..., α_n'(t₀)) Invece la velocità scalare in α(t₀) è data dalla seguente espressione: ||α'(t₀)||= √αα₁'(t₀)²+....+α_n'(t₀)²=√||α'(t₀)||²

Curva Regolare

Una curva α: I → Rⁿ è detta regolare se la sua derivata non è nulla, cioè se α'(t) ≠ 0.

Lunghezza di Una Curva

Se [a,b] ⊆ I, allora la lunghezza di una curva α: I → Rⁿ su [a,b] è definita da L(α):

∫_a^b ||α'(t)|| dt. Siccome ||α'(t)|| è continua, allora L(α) è un numero reale finito.

Teorema Funzione Implicita (o Teorema di Dini)

(a) Sia f(x,y) una funzione liscia (cioè di classe C^∞) in due variabili. Assumiamo C= (x₀,y₀) ∈ R² | f(x₀, y₀)=0:

e che per ogni p ∈ C si abbia P(p)=(∂f/∂x, ∂f/∂y)(P) ≠ (0,0). Allora esiste una curva regolare parametrizzata α(t), definita in un intorno aperto I di 0, tale che α(t) passa per p quando t=0 e α'(t) ⊆ C ∀ t ∈ I.

Applicazioni Lisce tra Superfici

Applicazione Differenziabile

Siano S₁ ed S₂ due superfici lisce, e sia φ : S₁ ➔ S₂ un'applicazione P, detta applicazione differenziabile di classe C¹ se esiste un conto φ : U₁ ➔ S₁ ⊂ ℝ³ intorno a P, esiste un conto φ₂ : U₂ ➔ S₁ ⊂ ℝ³ intorno a q : j(p) ed φ(φ₂(u₁)) : (φ₂(u₂)) per φ₂ : U₄ ➔ U₂ è differenziabile in C^∞.

Applicazione Differenziabile Liscia

φ : S₁ ➔ S₂ è un'applicazione differenziabile liscia se lo è in ogni p ∈ S₁.

La computazione di applicazioni lisce tra superfici è ancora liscia.

Diffeomorfismo

Un'applicazione φ : S ➔ Ŝ tra superfici di ℝ³ è un diffeomorfismo se è biiettiva e liscia con φ^-1 : Ŝ ➔ S anch'essa liscia.

Prima Forma Fondamentale

La prima forma fondamentale permette di misurare le lunghezze di curve su S, l'angolo tra vettori, la superficie (area) di regioni di S.

La prima forma fondamentale la indichiamo con I_p(u) =