Geometria 2

Vettori Geometrici in R², R³

Definizione: un vettore geometrico è una classe di equivalenza di segmenti orientati aventi stessa direzione, lunghezza, verso.

Posso sommare due vettori (regola del parallelogramma).

Posso moltiplicare un vettore per λ ∈ ℝ i vettori formano uno spazio vettoriale reale di _{dim 2} oppure ₃ in R³. Se fissiamo un sistema di coordinate monometrico con un'origine 0, otteniamo 3 versori ortonormali: i, j, k che formano una base di R³.

Allora ∀ v ∈ R³ ∃ ! a, b, c | v = ai + bj + ck = (OP) dove il punto P = (a, b, c). Però qui spesso indichiamo v^t con (a; b; c).

Operazioni tra Vettori

Prodotto Scalare: |A||B|cosθ θ = il minore degli angoli forma da due vettori. Il prodotto scalare è un numero reale.

Il Prodotto Scalare è bilineare

(A + λN) · M = A · M + λN · M ; λ ∈ R ; A, N, M ϵ (R², R^3)

Se N = (a; b; c) e M = (a'; b'; c') allora N · M = a a' + b b' + c c'

Prodotto Vettoriale: λ * N e un vettore t; nullo se θ = 0 (|| || e || || sono direzioni ortogonali alle due, verso tale che t, e forme una terna destrorsa)

Spazio Euclideo

Uno spazio vettoriale reale V si dice spazio euclideo se in V è definito un prodotto scalare ovvero un'operazione ∀ X, Y ∈ V → ℝ tale che valgono le proprieta:

• (1) v * N e N * v ∀ v ∈ V
• (2) N * 0 = 0 ∀ N ∈ V
• (3) (λ N) * U = λ (N * U); λ ∈ ℝ ∀ V, N, U ∈ V
• (4) N * M = - M * N ∀ V, N, U ∈ V ; ∀ λ; μ ∈ ℝ

In tal caso diciamo che (V, * ) e uno spazio euclideo

Esercizi: verificare che il prodotto scalare richiamato poco fa rende R³ uno spazio euclideo.

Definizione: un uno spazio Euclideo (V, ·) possiamo definire la norma || m || = √ (N · M).

Disqualugianze di Cauchy-Schwarz: se (V, ·) e uno spazio euclideo, allora || N || * || M || ≥ N · M ∈ V.

Dimostrazione:

Componendo h ∈ ℝ e 0 ≤ |u₁ + h v|² ≤ ( |u₁|² + h⟨rv⟩ + h²|v|² =

|u₁|² + 2h⟨u₁,v⟩ + h²|v|² ) ⇒ ( h⟨u₁,v⟩ ≤ ⟨u₁,u₁⟩ + h⟨rv⟩ + ⟨rv⟩

- ||u₁||² - 2h⟨u₁,rv ₂ vanishes

Conseguenza: - |v| | (1 - r²)| ≤ ⟨u₁,u_r⟩

γ 2|u| |u| |v| |r| | |y| |x| | | |

Diseguaglianza triangolare: |u| + |r| ≤ |u| + |r| |+|u| + |v|

Definiziono: in u,v , spazio euclideo definisco l'angolo θ tra due vettori u,v

come θ = arccos_r⟨u,v⟩

Diciamo che u,v ∈ in uno spazio euclideo (V) , sono ortogonali se u⟨v⟩=0

ORTOGONALITÀ

Definizione: Sia W un sottospazio di uno spazio euclideo V , dico che v∈W

è ortogonale a W , se r=0 , per r ∈ ℝ. L'insieme

{v ∈ v: r | W| }

è chiamato ortogonale di W

Esempio: • i,j,k rotelle su R^3 , allora non

w = ⟨ i + j + K⟩

(w)( 3

1⟩

trivialità . Se(a) detto { V , k | ;; ;i+ j e k | r = 1 ; i= jater

Teorema: Sia W sottospazio di uno spazio euclideo (V) , Se n = dimv , p = dimw,

W = k ; A , o

k o k,...,p é una base di di w , allora:

1) dim W = k ∈ ℝ, V = W ↔ w ∈ v , Altuovo ;:

se W , Al;

k ; A ∈ { dimV, W}{V

(V - | dimW

k < | per k = ⟨ i , r , j, r ,:

3) V = W +( altrieo, base W u base W = base V )

4) ogni vettore ∈ v si decompone univocamente come ...

te w.

Dimostrazione:

(1) r | V

w | per definizione {* i} w | r V per V per ε < translations A appee

Togge che 2 = k, e al A n₀ k , A ... A_p ^w

= A⟨ a^k=A^p⟩=0

w | 1=2

(2) grazie alla (N) k che r ∈ W ⟹ r dicuero :

( κ⟨N_u0

A_Λr0 (, detto systema lineare omogene medie

cordinate di di toagno p

⟨Nvr=0

con m inconnate

⟨N00⟩=0

= le i soluno di questo sistema se sol' < m puiⁿ° formano un sottospazio

' a dimensione mkp = dimV - dimW

(3)troviamo che u,v | n= 1qq i

A; k t =+t=

0

Supponento ∞-{-|=N, λN_{0^{' Alsub>p λNo> | µNj} base di ⟨ugu⟩ v B(2) b' , un Blockchain di}

base di B' (B'), , un sistema di

Note 2,1 vettori, vace | volutn, ma in dimV, per cui i surplus( norme dimunzione

sotto λ_v| ; {N

,

'sup = sistema linearemente unicolante

0

Posu Ossicru soprargo che siano linearmente dipendenti, Alenara_{n, A...p}

Qᕝ ; λ_A,p, A⟨r , , , λ + p ℝ, tale che A_λ µ= µ_{u⟩= µ+j u-sub}

Aun_ per

=* t

→t= 0

Rotazioni, Traslazioni, Rototraslazioni in IR³

8 marzo 2021

Rotazione: un cambiamento del sistema di riferimento che lascia invariate l'origine del sistema e l'orientamento degli assi (le distanze), ma non necessariamente la direzione degli assi.

Traslazione: un cambiamento del sistema di riferimento che lascia invariate direzione e verso degli assi, ma non l'origine.

Rototraslazione: composizione di questi due cambiamenti.

Rotazioni: Fissa l'origine, per cui è determinato dai versori generatrice i, j, k (poi designato da i, j, k) che formano un nuovo sistema di coordinate cartesiano.

Una rotazione manda un sistema ortonormale destro (ove i ∧ j = k) in un altro sistema ortonormale (I ∧ J = R) ortonormale.

Consideriamo la matrice di trasformazione di passaggio da un sistema rettangolare Oijk a un sistema OIJK e viceversa.

Abbiamo I = (a₁, a₂, a₃); J = (b₁, b₂, b₃); K = (c₁, c₂, c₃), allora considera le matrici R_ijk→Oijk = a_i,j (a₁, b₃, c₃; b₁, b₂, b₃, c₃).

(i, j, k) rispetto a (I, J, K) e la matrice di passaggio ed è ortogonale (perchè P x P^T = I).

Dimostrata: det(P) = 4 o |RI| e tale che det(P) = 4:Nun: suppongo che i ∧ j = k e I ∧ J = K. Allora

K = 1/c₂ (a₂, b₃ - a₃, b₂); I( = i) = a₁ (b₂, a₃, b₂); k(a₂, b₃).

Esercizio 4: consideriamo le rette in IR²: y≠0, λ=±∅; t=y=zEsprimere queste rette nel nuovo sistema di riferimento cartesiano dato dai versori I = 5/3; J = 4/5; e λ = 3

Soluzione: posso controllare che III=4, III=1, I J = 0

||I|| = √9/25 25 = 4 ||I||₁ = 4/5

Dim: per il teorema spettrale, M è simile e congruente ad una matrice diagonale

Δ, e P t M P è i matrice ortogonale con Δ = diag (λ₁, ..., λ_n) autovalori di M.

Considero la base B data dalle colonne di P, (v₁, ..., v_n), se E la base orto-normale … che poiché (P_i)

Allora V ∈ R (n (n+1))/2 tale che (p_ij = ∑_k µ_k e_ij_k; con µ_i ∈ R

⋀ (T M) = (∑_µ P_e, I)⋀ (Π (∑_µ P_e, I))⋀ (Π (Σ, µ, e, I))⋀ (T M (∑_µ e, I)) ⋀ (T (∑_{j^{i 0 V (a: G)N (0 a a meno che 0, coe λ definita posi.Se λ1 ≥ nn; nt, n0 -> λ ≥ 0, max. ∃j: λj 0. ∑anda G (r0) maxn0 ∑. a0 = >λ = 0. Cioè E semidefinita positivaλi = 0. Per cui se M è semidefinita posimata}}

Proposizione: ogni matrice simmetrica E congruente ad una matrice della forma:(

1. ⋀ ⋀ ⋀
2. ⋀ ⋀
3. ⋀ ⋀ ⋀
4. ⋀> ⋀

22 marzo 2021Dim.: sia M matrice simmetrica e siao (n₁ , n_t, n₀) la sua segnatura. M Econgruente Vale che M congruente con una matrice diagonale con sui autovalori sulla diagonale M ⋀ M^-1 con

1. λ_λ autovalori positivi
2. λ, autovalori nulli
3. λ autovalori negativi.

Considero P = (P_ij) = (

1. / ρ, _{≥ nα}
2. / ρ, _{≥ i = 1, t ÷ nt}
3. / ρ, _{1 ›••÷ i = 1 ÷ i = n0}

è facile vedere che si fa la forma che volevamo

Abbiamo visto che due matrici simmetriche simili hanno la stessa segnatura,… ma necessariamente viceversa. Per matrici congruenti invece vale:

Teorema di invaria di Sylvester: due matrici simmetriche hanno la stessasegnatura se e solo se sono congruentiCorollario: Due matrici simmetriche congruenti hanno lo stesso carattere di definitore (per l'utente degli autovalori)

Dim.: … per poters N, N sono matrici simmetriche con la stessa segnatura. AlloraM ⋀_{λ, λ} e N⋽λ Σ_{µn I} autovalori di M

⋭/ λ ⋭, φ(/ arei di N

voglio annone (matrice invertibile tale che P T TP = Δ, poichéin, questo ça╔╗⋀

1. / ρ,
2. / ρ

M ⋀??? ≈