Algebra e geometria

Definizioni

Gruppo

È una struttura algebrica formata dall’abbinamento di un insieme non vuoto con un’operazione binaria interna, che ha le seguenti proprietà:

• Associatività
• Elemento neutro
• Inverso di ogni elemento

Campo

Un insieme non vuoto K con due operazioni (+, ∙) è un campo se (K; +) e (K*; ∙) sono gruppi commutativi e vale la proprietà distributiva. R, Q e C sono campi ma Z no.

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale V su K è un gruppo commutativo (V; +) rispetto alla somma con un’applicazione (V; K) → V, (v; α) → αv rispetto al prodotto tale che:

• (α₁ + α₂)v = α₁v + α₂v
• α(v₁ + v₂) = αv₁ + αv₂
• 1v = v
• (αβ)v = α(βv)

Sottospazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale su K, un sottoinsieme U non vuoto di V è sottospazio vettoriale se è chiuso rispetto alle operazioni di V:

• v₁ + v₂ ∈ U ⇒ v₁, v₂ ∈ U
• αv₁ ∈ U ⇒ v₁ ∈ U, α ∈ K

Span

Si indica con <v₁, v₂, ..., v_n> lo span di v₁, v₂, ..., v_n, ovvero l’insieme di tutte le loro combinazioni lineari:

<v₁, v₂, ..., v_n> = {α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_nv_n}

Sistema di generatori

Un insieme G ⊆ V si dice un sistema di generatori per V se ogni v ∈ V si può scrivere come combinazione lineare di elementi di G, ossia:

∀ v ∈ V, ∃ v₁, v₂, ..., v_n ∈ G, α₁, α₂, ..., α_n ∈ R tali che:

v = α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_nv_n

Sistema linearmente indipendente

Sia V uno spazio vettoriale su K. Si dice che v₁, v₂, ..., v_n sono linearmente indipendenti se nessuno è combinazione di altri, in particolare:

α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_nv_n = 0 → α₁ = 0, α₂ = 0, ..., α_n = 0

Base

Sia V uno spazio vettoriale su K e siano v₁, v₂, ..., v_n ∈ V. L’insieme B = {v₁, v₂, ..., v_n} è una base di V se è un insieme di generatori di V e contemporaneamente è linearmente indipendente.

Sia V = Rⁿ, l’insieme di vettori {e₁ (1; ...)}, e_n (0; 0; ...; 1)} si dice base canonica di Rⁿ. Infatti dim Rⁿ = n

Teorema

Un insieme {v₁, v₂, ..., v_n} è una base ↔ ogni v ∈ V si scrive in modo unico come combinazione lineare di {v₁, v₂, ..., v_n}, cioè esistono e sono unici α₁, α₂, ..., α_n ∈ R tali che:

v = α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_nv_n

α₁, α₂, ..., α_n sono dette coordinate di V nella base {v₁, v₂, ..., v_n}

Teorema

Sia V uno spazio vettoriale, tutte le basi di V hanno lo stesso numero di elementi (stessa cardinalità): tale numero è detto dimensione di V.

Osservazioni

• Sia n = dimV, ogni insieme linearmente indipendente ha un numero di elementi ≤ n
• Ogni insieme linearmente dipendente ha numero di elementi ≥ n

Somma di sottospazi

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K e U, W due sottospazi vettoriali. La somma dei sottospazi U e W è ancora sottospazio.

Formula di Grassman

Dim(U + W) = dim U + dim W – dim U∩W

Somma diretta

Sia V spazio vettoriale e U, W sottospazi di V. Si dice che U e W formano somma diretta se U∩W = {0}. Quindi ogni elemento di U+W si scrive in modo unico come somma di un elemento di U e un elemento di W.

Applicazioni lineari

Siano V, U due spazi vettoriali su un campo K. Un’applicazione f: V→U è lineare se:

• ∀ v₁, v₂ ∈ V, f(v₁ + v₂) = f(v₁) + f(v₂)
• ∀ v ∈ V, α ∈ K, f(αv) = αf(v)

Equivalentemente, f è lineare se:

∀ v₁, v₂ ∈ V, ∀ α₁, α₂ ∈ K, f(α₁v₁ + α₂v₂) = α₁f(v₁) + α₂f(v₂)

Osservazioni

• La somma di applicazioni lineari è lineare
• Il prodotto per uno scalare di un’applicazione lineare è lineare
• La composizione di applicazioni lineari è lineare

Per definizione Hom(V;U) = {f: V→U lineari}

Nucleo

Sia f: V→U applicazione lineare tra due spazi vettoriali V, U. Si dice nucleo di f l’insieme di tutti i vettori in V che vengono mandati in 0 e si scrive Ker(f) = {v ∈ V / f(v) = 0}

Immagine

Sia f: V→U applicazione lineare tra due spazi vettoriali V, U. Si dice immagine di f l’insieme di tutti i vettori di U che vengono da qualche vettore in V e si scrive Im(f) = {u ∈ U / f(v) = u}

Osservazioni

• f è iniettiva ↔ ker(f) = {0}
• f è suriettiva ↔ Im(f) = U, ossia ∀ u ∈ U, ∃ v ∈ V / f(v) = u

Isomorfismo

f: V→U è un isomorfismo se è un’applicazione lineare ed è biunivoca, ossia f isomorfismo ↔ ker(f) = {0} e Im(f) = U

Teorema

Data una base {v₁, v₂, ..., v_n} di V e dati vettori u₁, ..., u_n ∈ U, f: V→U è un isomorfismo ↔ {u₁, ..., u_n} è base di U

Corollario

Tutti gli spazi vettoriali su K della stessa dimensione sono tra loro isomorfi

Teorema del rango

Sia f: V→U un’applicazione lineare

Dim(ker f) + dim (Im f) = dim V

Teorema

Siano V, U spazi vettoriali. Sia {v₁, v₂, ..., v_n} una base di V e siano u₁, ..., u_n ∈ U. Allora esiste una e una sola applicazione lineare f: V→U tale che f(v₁) = u₁ ... f(v_n) = u_n

Matrici

Matrice

Sia K un campo, siano m, n ≥ 1

M_m,n = {matrici m x n a coefficienti in K} è uno spazio vettoriale rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare

Elemento per elemento

11 ... 1
... ... ...
1 ... Dim M_m,n = m x n
Una sua base è data da un insieme di matrici elementari

Matrice elementare

Si dice matrice elementare la matrice E una matrice del tipo

0 ... 0
... 1 ...
0 ... 0

Osservazione

• Se A è matrice di f e B è matrice di g, allora
• A + B = matrice di f + g
• αA = matrice di αA

In altre parole, fissata una base B di V e una base C di U l’applicazione Hom(V;U) → M_m,n è lineare, e in particolare è un isomorfismo

Osservazione

Ogni spazio vettoriale V di dimensione n si identifica con Kⁿ e n = dimV. Tale identificazione dipende dalla base scelta. Se fisso una base B = {v₁, v₂, ..., v_n} di V e una base C = {u₁, ..., u_n} di U, un’applicazione lineare f: V→U può essere rappresentata da

11 ... 1
... ... ...
1 ...

con m righe e n colonne. In questa matrice f(v_j) = a_1ju₁ + ... + a_mju_m. Questo definisce un’applicazione Ψ : Hom(V→U) → M_B,Cm,n che è lineare, infatti:

• Ψ (f + g) = Ψ (f) + Ψ (g)_B,C
• Ψ (αf) = αΨ (f)_B,C

Matrice di una composizione

Siano A, B ∈ M_m,n rispettivamente le matrici delle applicazioni lineari f e g. Allora matrice di f ◦ g = AB

Matrice identità

Ogni spazio vettoriale ha l’applicazione id: V→V tale che id(v) = v ∀ v ∈ V Fissata una qualunque base {v₁, v₂, ..., v_n} di V, la matrice dell’applicazione identità è del tipo

1 ... 0
0 ... 0
1 ... 1

Rango

Data una matrice A, si dice rango di A rk(A):

• Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti
• Il massimo numero di righe linearmente indipendenti
• La dimensione del sottospazio generato dalle colonne di A
• La dimensione del sottospazio generato dalle righe di A
• Il massimo ordine di un minore (matrice quadrata) invertibile (detA ≠ 0)

Il rango inoltre è uguale al numero di pivot (a, b, c) di una matrice a scala, del tipo

0 0 0

Osservazione

Rk(A) = Im(f) dunque il teorema del rango può essere riscritto come Dim(kerA) = n – dim rkA dove n = dimV

Cambiamenti di base

Sia V spazio vettoriale su K e siano {v₁, v₂, ..., v_n} e {u₁, ..., u_n} due basi di V. Poiché {v₁, v₂, ..., v_n} è base di V, ogni u_j ∈ {u₁, ..., u_n} può essere scritto come:

u_j = β_1jv₁ + ... + β_njv_n

e si ottiene una matrice B = {β_kj} con k = 1 ... n e j fisso.

D’altra parte, poiché {u₁, ..., u_n} è base, ogni v_i ∈ {v₁, v₂, ..., v_n} può essere espresso come:

v_i = γ_1iu₁ + ... + γ_niu_n

e si ottiene una matrice G = {γ_hi} con h = 1 ... n e i fisso.

Moltiplicando B e G ottengo la matrice identità → B^-1 = G

Ora, sia f: V→ V lineare, sia A la sua matrice ...