Geometria euclidea,prodotto scalare

Geometria euclidea

Prodotto scalare

- Il prod. scalare è un'applicazione che mangia 2 vettori e sputa un numero.

- Dati u e v il prod. scalare di u e v è:

- Se <u, v> allora i vettori u e v si dicono ORTOGONALI.

- Se <u, u> allora il prod. scalare è QUADRATICO.

Geometria euclidea

Prodotto scalare

Il prod. scalare è un'applicazione:

dati u = ¹₂₃ e w = ²_-11 il prod. scalare di u e w è:

<u, w> = x₁y₁ + ... + x_ny_n = ||u|| ||w|| cosθ = u^t w

Se <u, v> = 0 allora i vettori u e v si dicono ortogonali

Se <u, u> allora il prod. scalare è quadratico

• Il vettore nullo è ortogonale a tutti i vettori
• u e v sono simmetrici per definizione

<u, w> = 3 = ^{1 2 3}_{2 -1 1}

Proprietà

• Bilinearità: <u+v, ω> = <u, ω> + <v, ω> <kμ, ν> = k <μ, ν>

  Se ∃ un'applicazione b : V x V → R (ν, ω) → b (ν, ω)

  t.c. ∀ ω₁, ω₂, ν ∈ V e ∀ α, β ∈ R b (αν₁ + βν₂, ω) = α b (ν₁, ω) + β b (ν₂, ω)

• Simmetria: <ν, ω> = <ω, ν> ⇒ Se S^τ = S

  b si dia simmetrica se ∀ ν, ω ∈ V b (ν, ω) = b (ω, ν)

• Non degenere: Se <ν, ω> = 0 con ∀ ω = 0 ⇒ Se V = {0}

  • Se ogni el. della matrice diagonale ≠ 0
  • Se rlk = max ⇒ se det ≠ 0

  ∃ ν ≠ 0 t.c. <ν, ω> = 0 allora è degenere

• Positivo: Se gli el. sulla diag. princ. della matrice diagonale sono > 0 ⇒ non degenere

  Ex

  • Non degenere:
    • ⎛ 1 0 ⎞
    • ⎜ ⎟
    • ⎝ 0 -3 ⎠
  • Degenere:
    • ⎛ 0 0 ⎞
    • ⎜ ⎟
    • ⎝ 0 1 ⎠
  • Positiva e non degenere:
    • ⎛ 5 0 ⎞
    • ⎜ ⎟
    • ⎝ 0 1 ⎠

Additivita'

∀ ω₁, ω₂ ∈ ℝⁿ = +

= +

Omogeneita'

∀ λ, ω ∈ ℝᵐ e λ si ha: = λ

Nota:

b_A = (x₁, ..., x_m)

= ∑_{1 ≤ i,j ≤ h} a_i,j x_i x_j

a_i,j = b_A (e_i, e_j)

In generale data una forma bilineare b su uno spazio V

b: V × V → ℝ

preso una base B di V posso definire la

Matrice Associata

a b rispetto alla base B:

M_B (b) = (m_i,j)

con B = (v₁, ..., v_m)

m_i,j = b (v_i, v_j) =

La matrice associata è una matrice simmetrica

• sulla diag. ci sono i prod. scolez degli el. della base con sé stessi

Tramite la matrice la posso usare per calcolare il prodotto tra coppie di vettori. Dato v in V e w in W, scrivo le compone. risp. alle base ottenendo i vett. v_B e w_B che penso come colonne

v vertice x delle sere componentiw vettore y della , ,

quindi:

b(v,w) = v_B^t M_Θ(b) w_B = F_B(v)^t M_B(b) F_B(w)

Se ho b: V x V → R su V e B e C come basi di V allora

M_C(b) M_Θ,C (id_V)^t ⋅ M_Θ(b) ⋅ M_Θ,C(id_V)

(M_C→Θ)^t (M_C→Θ)

Prendo

• A = (1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0)

considero b