Geometria euclidea,prodotto scalare

Geometria euclidea

Prodotto scalare

• Il prod. scalare è un'applicazione _ℝⁿ x _ℝⁿ -> ℝ che mangia 2 vettori e sputa un numero.

_{<u, v>} → ^{εᵒ(u, v)}

• dati ^{u = ∀} e ^{w = ∀} il prod. scalare di u e w è: _{<u, w> = x1y1 + ... + xnym}||u||||w||cosθ = u^tw

• se _{<u, v>} = 0 allora i vettori u e v si dicono ortogonali

⊥ u ⊥ v

• il vettore nullo è ortogonale a tutti i vettori.
• u e v sono simmetrici per definizione
• se _{<u, u>} allora il prod. scalare è quadratico

1 ex

u = ^{(1 2 3)}

w = ^{(2 -1 1)}

<u, w> = 3 = (1 2 3)

(2 -1 1)

Proprietà

• Bilinearità:
  • <u + v, w> = <u, w> + <v, w>
  • <ku, v> = k <u, v>
  Se ∃ un'applicazione b: ∀X V ↦ R (v, w) ↦ b(v, w) t.c. ∀v₁, v₂, w ∈ V e tα, β ∈ R
0 ⟹ NON DEGENERE

Esempio:

(1 0)(0 -3)NON DEGENERE

(0 0)(0 1)DEGENERE

(5 0)(0 1)POSITIVA E NON DEGENERE

b(v₃, v₃) = v₃ · (A) · v₃ = 2

b(v₃, v₂) = v₃ · (A) · v₂ = 3

b(v₃, v₃) = v₃ · (A) · v₃ = (1 1 1) · (A) (1 1 1)^t = 2

quindi:

M_B(b_A) = 

    ^{1     2     0_{(     v1)}}

    ^{2     2     3_{(     v2)}}

    ^{2     2     2_{(     v3)}}

Dato il campo K scrivere la matrice associata nella base canonica della forma bilineare

b: K³ x K³ → K

( (x₁, x₂, x₃)^t, (y₁, y₂, y₃)^t ) → x₁y₂ + x₂y₁ + x₃y₂ - x₃y₃

SCOPO - TROVA M_E(b)

punto E = { (e₁, e₂, e₃) } = { (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) }

allora: b(e₁, e₁) = b((1,0,0), (1,0,0)) = 1·0 + 0·1 + 0·0 - 0·0 = 0

b(e₂, e₂) = b((0,1,0), (0,1,0)) = 0

b(e₃, e₃) = b((0,0,1), (0,0,1)) = -1

b(e₁, e₂) = b((1,0,0), (0,1,0)) = 1

b(e₂, e₃) = b((0,1,0), (0,0,1)) = 0

Forme Quadratiche

q: ℝ^m → ℝ

• Una forma quadratica in m variabili è una somma di termini di 2^o grado nelle m variabili. → È un polinomio omogeneo di 2^o grado.
• Una forma quadratica in m variabili si può sempre rappresentare con una matrice simmetrica.

m = 2

una forma quadratica generica è: q(x, y) = ax² + by² + cxy

m = 3 → q(x, y, z) = ax² + by² + cz² + dxy + exz + fyz

m = 2 con q(x, y) = 5x² + axy - 3y²

(x, y) = ^{(5   2)}_{(2   -3)} (x, y)

(x, y) = ^{5x + 2y}_{2x - 3y} = 5x² + 2xy + 2xy - 3y²

= 5x² + axy - 3y²

= q(x, y)

Se: (m₊, m_-, m₀) = (m, 0, 0) = matrice diagonale

(m, 0, 0) = definita positiva

(0, m, 0) = definita negativa

(a, 0, b) = semi-pos. con a ≥ 0 e b > 0

(0, a, b) = semi-neg. con a ≥ 0 e b > 0

(0, a, 0) = indefinita

METODI di CALCOLO :

1. AUTOVALORI : calcolo gli autovalori , m₊ = autoval. positivi m_- = autoval. negativi m₀ = autoval. nulli
2. SYL VESTER (minori scelti) : considero tutte le sottomatrici (minori) ottenute partendo da sx, ne calcolo il det (spesso sia ≠ 0 ), aggiungo + a sx, allora

m₊ = n permanenze segno

m_- = n variazioni

m₀ = 0

ex:

| 2 1 |

| 1 3 |

det_1x1 = 2

det_2x2 = 4 - 1 = 3

det_3x3 = 8

m₊ = 1

m_- = 2

m₀ = 0