Geometria - Elementi di teoria dei vettori

Elementi di teoria dei vettori

Lineare dipendenza in V = V_k

Definizione

Sia V = V uno spazio vettoriale sul campo K. km vettori v₁, v₂, …, v_m si dicono linearmente dipendenti se esiste una loro combinazione lineare nulla a coefficienti non tutti nulli.

Esempio 2R

Lavoriamo in R e verifichiamo se i due vettori (1 2) e (2 4) sono linearmente dipendenti.

0 (1 2) + 0 (2 4) = (0 0)

Ma si ottiene il vettore nullo anche se 2 (1 2) - 1 (2 4) = (0 0). Quindi i due vettori considerati sono linearmente dipendenti.

Definizione

v₁, v₂, …, v_m ∈ V si dicono linearmente indipendenti se una loro combinazione lineare nulla è necessariamente a coefficienti tutti nulli.

Esempio

Considerata la coppia di vettori (1 0) e (1 1), verifichiamo se sono linearmente indipendenti, cioè ci chiediamo se esistono λ₁ e λ₂ ∈ R, non entrambi nulli, tali che λ₁ (1 0) + λ₂ (1 1) = (0 0).

Otteniamo (λ₁ + λ₂, λ₂) = (0 0), cioè λ₁ + λ₂ = 0, λ₂ = 0.  λ₁ = 0, quindi (1 0) e (1 1) sono linearmente indipendenti.

Proprietà della lineare dipendenza

Sia V = V spazio vettoriale su K_k

• v ∈ V è linearmente dipendente se e solo se (∃) v = 0_v.
• v₁, v₂, …, v_m ∈ V non tutti distinti sono linearmente dipendenti.
• Se tra v₁, v₂, …, v_m ∈ V c’è il vettore nullo allora v₁, v₂, …, v_m sono linearmente dipendenti.
• v₁, v₂, …, v_m ∈ V sono linearmente dipendenti se uno di essi si esprime come combinazione lineare degli altri.
• Siano v₁, v₂, …, v_m ∈ V linearmente dipendenti, allora v₁, v₂, …, v_m, v_m+1, ..., v_n sono linearmente dipendenti.

Dimostrazione

1. (→) Per ipotesi v ∈ V è linearmente dipendente, quindi esiste λ ∈ K – {0} tale che λv = 0_v. Ma se λ ≠ 0 allora v = 0_v. (←) Sia v = 0_v, si ha che λ 0_v = 0_v per ogni λ ∈ K e quindi 0_v è linearmente dipendente.
2. Si ha v₁, v₂, ..., vi, vi, ..., v_m, cioè almeno due vettori sono uguali. Se si moltiplica tutti i vettori tranne quelli uguali per lo scalare nullo e i vettori uguali per due scalari opposti si ottiene il vettore nullo. Quindi i vettori considerati sono linearmente dipendenti.
3. Siccome tra i vettori considerati è presente 0_v, si ha che tali vettori sono linearmente dipendenti poiché λ 0_v = 0_v per ogni λ ∈ K.
4. (→) Per ipotesi v₁, v₂, ..., v_m linearmente dipendenti. Esiste sicuramente uno scalare per ogni singolo vettore che diviso per lo scalare di uno qualsiasi dei vettori considerati μ permette di esprimere tale vettore come combinazione lineare degli altri. (←) Se un vettore può essere espresso come combinazione lineare degli altri, è sufficiente moltiplicare tutti i restanti vettori per gli scalari opposti e si ottiene così il vettore nullo.

Sottospazi vettoriali

Definizione

Sia V = V uno spazio vettoriale su un campo K, W ⊆ V è sottospazio vettoriale di V = V se per ogni λ₁, λ₂ ∈ K e per ogni w₁, w₂ ∈ W si ha che: λ₁ w₁ + λ₂ w₂ ∈ W.

Osservazioni

• 0_v è sottospazio vettoriale di V.
• V è sottospazio vettoriale di se stesso.

Definizione

Un sottospazio W ⊆ V di V = V si dice proprio se W ≠ 0_v e W ≠ V.

Sia W ⊆ V sottospazio vettoriale di V allora:

• Per ogni w₁, w₂ ∈ W, w₁ + w₂ ∈ W.
• Per ogni w ∈ W, -w ∈ W.
• 0_v ∈ W.
• λ ∈ K, w ∈ W, λ w ∈ W.

Quindi W è spazio vettoriale rispetto alle operazioni di V = V_k.

Sia V = V e siano v₁, v₂, …, v_m ∈ V allora l’insieme

W = L(v₁, v₂, …, v_m) = {w = λ₁ v₁ + λ₂ v₂ + … + λ_m v_m t.c. λ ∈ K} è l’insieme di tutte le combinazioni lineari in K di v₁, v₂, …, v_m ed è un sottospazio vettoriale di V.

Dimostrazione

Per ogni λ₁, λ₂ ∈ K poiché w₁, w₂ ∈ W si ha che:

w₁ = α₁ v₁ + α₂ v₂ + … + α_m v_m con α ∈ K

w₂ = β₁ v₁ + β₂ v₂ + … + β_m v_m con β ∈ K

e λ₁ w₁ + λ₂ w₂ = (λ₁ α₁ + λ₂ β₁) v₁ + (λ₁ α₂ + λ₂ β₂) v₂ + … + (λ₁ α_m + λ₂ β_m) v_m ∈ W

quindi W è spazio vettoriale. Chiameremo W = L(v₁, v₂, …, v_m) sottospazio vettoriale di V generato dai vettori v₁, v₂, …, v_m ∈ V e diremo che S = {v₁, v₂, …, v_m} è un sistema di generatori di W.

Spazio vettoriale finitamente generato

Sia V = V spazio vettoriale su K. V si dice finitamente generato...