Geometria - Elementi di teoria dei vettori

B = { v , v , …, v } V è base di V v , v , …, v sono linearmente indipendenti.



1 2 m 1 2 m

Teorema

Sia V = V finitamente generato e siano B e B’ basi di V allora B e B’ hanno lo stesso numero di

k

elementi.

Definizione

Il numero degli elementi di una qualsiasi base di V si dice dimensione di V e si indica: dim V.

nK

In generale la dimensione di K = n.

Algoritmo degli scarti successivi

Proposizione

Sia V = V spazio vettoriale finitamente generato allora V contiene una base.

k

Lemma

Siano v , v , …, v € V t.c. almeno uno di essi, supponiamo il primo, sia combinazione lineare

1 2 m

degli altri, cioè Esiste λ , …, λ € K t.c.

2 m

v = λ v + λ v +…+ λ v

1 2 2 3 3 m m

Allora L(v , v , …, v ) = L(v , …, v )

1 2 m 2 m

Dimostrazione del lemma

Sia v € L(v , v , …, v ) esiste α , α , …, α € K t.c.



1 2 m 1 2 m

v = α v + α v +…+ α v

1 1 2 2 m m

per ipotesi si ha che v = λ v + λ v +…+ λ v

1 2 2 3 3 m m

v = (α λ α ) v + (α λ α ) v +…+ (α λ α ) v v € L (v , …, v )



1 2 + 2 2 1 3 + 3 3 1 m + m m 2 m

Sia v € L(v , …, v ) esiste α , …, α € K t.c.



2 m 2 m

v = α v +…+ α v 

2 2 m m

v = 0 v + α v +…+ α v v € L (v , …, v )



v 1 2 2 m m 2 m

Dimostrazione della proposizione

Per ipotesi lo spazio vettoriale V è finitamente generato, quindi esiste

v , v , …, v € V t.c. V = L (v , v , …, v )

1 2 m 1 2 m

Cioè S = {v , v , …, v } è un sistema di generatori finito di V.

1 2 m

1° passo: scartiamo gli elementi 0 contenuti in S. Sia w il primo vettore (da sinistra a destra) fra i

v 1

v rimasti diverso dal vettore nullo (0 ).

i v

2° passo: scartiamo tutti i vettori proporzionali a w cioè del tipo λ w con λ € K.

1 1

Sia w il primo fra i v vettori non proporzionale a w .

2 i 1

3° passo: cancelliamo tutti i vettori del tipo

λ w + λ w … con λ € K ecc.

1 1 2 2 i

Alla fine del procedimento si trovano un numero finito di vettori

w , w , …, w con h ≤ m

1 2 m

t.c. il sottospazio generato da essi è uguale al sottospazio generato dai vettori precedentemente

considerati: L (w , w , …, w ) = L (v , v , …, v ) = V

1 2 m 1 2 m

Quindi siccome sono linearmente indipendenti, si ha che:

B = {w , w , …, w }

1 2 m

è una base di V.

Osservazioni

Sia V = V spazio vettoriale su K di dimensione n ( dim V = n)

k ⊂

1. ogni sottoinsieme {v , v , …, v } V costituito da vettori linearmente indipendenti si può

1 2 n

completare ad una base di V.

2. n è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti di V.

3. n vettori di V linearmente indipendenti sono una base di V.

4. sia B = { v , v , …, v } una base di V (quindi ϵ n vettori linearmente indipendenti) allora

1 2 n

ogni v € V si esprime come combinazione lineare dei vettori di B e i coefficienti della

combinazione lineare si dicono coordinate di v rispetto a B.

Dimostrazione

1. per ipotesi dim V = n.

Sia B = {e , e , …, e } una base di V. L (v , v , …, v , e , e , …, e ) = L (e , e , …, e ) = V.

1 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n

Applico l’algoritmo degli scarti successivi.

Non è certamente presente tra v , v , …, v né il vettore nullo né un vettore che sia

1 2 n

combinazione lineare degli altri poiché sono linearmente indipendenti.

Quindi: B = { v , v , …, v }

1 2 n

È base di V contenente v , v , …, v .

1 2 n

2. Per ipotesi dim V = n.

Siano v , v , …, v linearmente indipendenti.

1 2 n

Procediamo dimostrando per assurdo e quindi supponiamo che esiste v t.c.

n+1

v , v , …, v , v siano linearmente indipendenti.

1 2 n n+1

L (v , v , …, v , v , e , e , …, e ) = L (e , e , …, e ) = V

1 2 n n+1 1 2 n 1 2 n

Applico l’algoritmo degli scarti successivi.

Non posso scartare alcuno fra i primi n+1 poiché linearmente indipendenti e quindi

dim V ≥ n+1 il che è assurdo.

3. siano v , v , …, v € V linearmente indipendenti.

1 2 n

L (v , v , …, v , e , e , …, e ) = L (e , e , …, e ) = V

1 2 n 1 2 n 1 2 n

Applico l’algoritmo degli scarti successivi e noto che non posso scartare nessun vettore tra i

primi n poiché sono linearmente indipendenti.

Se per assurdo anche uno solo fra gli e fosse linearmente indipendente con v , v , …, v si

i 1 2 n

avrebbe dim V = n+1 ma il che è assurdo.

4. sia B = {v , v , …, v } base di V.

1 2 n

Poiché B in particolare è un sistema di generatori di V ogni vettore v di V si esprime come

combinazione lineare dei v , v , …, v .

1 2 n

In simboli: V = L (v , v , …, v )

1 2 n

Supponiamo che esistano α , β € K per i = 1,2, …, n t.c.

i i

v = α v + α v + … + α v =

1 1 2 2 n n

β v + β v + … + β v

1 1 2 2 n n

Consideriamo l’ultima eguaglianza.

(α - β )v + (α - β )v + … + (α - β )v = 0

 1 1 1 2 2 2 n n n v

Poiché v , v , …, v sono linearmente indipendenti si ha che

1 2 n α – β = 0 e quindi α = β

i i i i

Quindi la combinazione lineare è unica.

Vettori geometrici

Sia AA’ un segmento orientato.

Definizione

Due segmenti orientati AA’, BB’ aventi la stessa direzione, lo stesso verso, la stessa lunghezza si

dicono equipollenti e scriveremo: AA’ BB’

Nota Bene

Due segmenti hanno la stessa direzione se giacciono su due rette parallele.

Due rette si dicono parallele se non si incontrano mai e c’è un piano che le contiene.

Sia AA’ un segmento orientato (nello spazio), l’insieme di tutti i segmenti orientati equipollenti

ad AA’ si dice vettore geometrico. = A’ – A

O anche = B’ – B

Dove BB’ è un qualsiasi segmento orientato equipollente ad AA’.

Sia un vettore geometrico, ogni elemento di si dice rappresentante di

Definizione

Chiameremo direzione, verso, modulo (| |) di la direzione, il verso e la lunghezza di uno

qualsiasi dei suoi rappresentanti.

Se A≡A’ si ha il vettore nullo di modulo 0 e privo di direzione e verso.

Indicheremo con V l’insieme di tutti i vettori geometrici dello spazio.

3

Definizione

v € V t.c. | | = 1 si dice unitario.

3

Definizione

Sia € V , un vettore unitario avente la stessa direzione e lo stesso verso di si dice versore di

3

, in simboli: vers

Sistemi e spazi vettoriali

Sia Ax = 0 un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite.

Allora l’insieme W = { x € Kn / Ax = 0}

Delle soluzioni del sistema è uno spazio vettoriale di Kn di dimensione:

dim W = n - ρ(A)

per ogni x,y € W si ha che: Ax = 0 e Ay = 0

Per ogni λ e λ € K si ha che:

1 2 A (λ x+ λ y) = 0

1 2

Aλ x + Aλ y = λ Ax + λ Ay

1 2 1 2

Ma siccome x e y sono soluzioni si ha che:

λ Ax + λ Ay = 0

1 2 c.v.d.

operazione di somma tra due vettori geometrici e di prodotto tra un vettore e un

numero reale

Siano = P - P

1 1

= P - P

2 2 1

appartenenti a V .

3

Definiamo + = P - P € V .

1 2 2 3

Osservazione

La somma è sia commutativa sia associativa.

Per ogni λ € R e per ogni € .

Definiamo λ come il vettore che ha direzione uguale a quella di , lo stesso verso di se λ > 0,

verso opposto se λ < 0 e modulo |λ | = |λ| | |.

Se λ = 0 si genera un vettore nullo.

N.B. è l’insieme di tutti i segmenti equipollenti a lui.

1

Proposizione

V spazio vettoriale su R.

3 è

Per ogni = P – P € V ,

1 3 Lo 0 della somma è il vettore nullo.

Per ogni € V ,

3 l’opposto di in V è - .

3

Inoltre per ogni λ, μ € R, per ogni , € V si ha che:

3

(λ + μ) = λ + μ

(λ μ) = λ ( μ)

λ ( + ) = λ + λ .

Sottospazi di V 3

1. 0 che ha dimensione 0

2. sia € V -{0}. L( ) ={λ / λ € R} è il sottospazio di tutti i vettori paralleli a .

3 // esiste λ € R t.c. = λ



1 2 1 2

Se due vettori sono paralleli allora sono linearmente dipendenti e viceversa.

dim L( ) = 1 con ≠ 0

3. siano e € V linearmente indipendenti.

1 2 3

= P – P

1 1

= P – P

2 2

Poiché non è parallelo a , P, P , P individuano un piano.

1 2 1 2

Se Q ≠ P

= P – Q

1 1

e

= P – Q,

2 2

Q, P , P individuano un piano parallelo al precedente.

1 2

Chiameremo {P, , } piano individuato da e .

1 2 1 2

Dimensione di V 3

Siano , , € V linearmente indipendenti e quindi non complanari.

1 2 3 3

Sia P un punto dello spazio.

= P – P

1 1

= P – P

2 2

= P – P

3 3

Tutti e tre i vettori non sono parallelo tra loro perché se fossero paralleli sarebbero proporzionali

l’uno all’altro e quindi linearmente dipendenti.

Considero € L( , , ) cioè combinazione lineare dei tre vettori considerati, di conseguenza

1 2 3

€ V .

3

Viceversa sia € V allora esistono λ λ λ € R t.c. = λ + λ + λ .

3 1, 2, 3 1 1 2 2 3 3

Sia quindi = P – P.

4 = P – P = (P’ – P) + (P’ – P’ ) + (P – P’ )

4 1 2 1 4 2

(P’ – P) // esiste λ € R t.c. P’ – P = λ



1 1 1 1 1 1

(P’ – P’ ) // esiste λ € R t.c. P’ – P’ = λ



2 1 2 2 2 1 2 2

(P – P’ ) // esiste λ € R t.c. P – P’ = λ .



4 2 3 3 4 2 3 3

Sostituiamo nella equazione precedente: = λ + λ + λ .

1 1 2 2 3 3

Pertanto dim V = 3 e una qualsiasi sua base è costituita da 3 vettori non complanari.

3

Angolo compreso tra due vettori

Siano = P – P, = P – P € V -{0}.

1 2 3 ^

Chiamo ang