Appunti Geometria

SPAZI VETTORIALI

• n

Gli spazi R

Siano A e B due insiemi non vuoti si definisce il loro prodotto cartesiano

l'insieme a

A x B = b

in particolare se A = B = R

x

2

R = R x R = 1

x 2

in generale x

n n

R = R x R x … x R = M (R , + , x)

1 (n,1)

x 2

:

:

x n n

Le operazioni che verificano le 8 proprietà analoghe per M : (R , + , x) è uno

(n,1)

spazio vettoriale reale, lo spazio vettoriale delle n-uple.

Sia V un insieme non vuoto, si dice che è uno spazio vettoriale reale (sul campo R),

dove i suoi elementi sono chiamati vettori, se definite due operazioni

addizione fra vettori

– moltiplicazione di un vettore per uno scalare

–

soddisfano le 8 proprietà fondamentali:

1. associativa

(v + v ) + v = v + (v + v )

1 2 3 1 2 3

2. esistenza dell'elemento neutro

v + O = O + v = v

v v

3. esistenza dell'elemento opposto

v + (-v) = (-v) + v =O v

4. commutativa

v + v = v + v

1 2 2 1

5. associativa rispetto la moltiplicazione di scalari

( b x c ) x v = b x (c x v)

6. distributiva a destra rispetto all'addizione di scalari

(b + c) x v = (b x v) + (c x v)

7. distributiva a sinistra rispetto all'addizione fra vettori

c x (v + v ) = (c x v ) + (c x v )

1 2 1 2

8. esistenza dello scalare 1

1 x v = v

Altre proprietà:

1. o x v = O v

2. (-1) x v = -v

SPAZIO DEI VETTORI GEOMETRICI

Nel piano applicati in un punto

P OP = segmento orientato uscente da O e che finisce in P

ovvero un vettore geometrico

O

02

V = OP | al variare di P nel piano

L'insieme dei vettori geometrici applicati in O

L' Addizione fra vettori geometrici applicati e la moltiplicazione di un vettore

geometrico per uno scalare verificano le 8 proprietà fondamentali ovvero

02

( V , + , x) è uno spazio vettoriale: lo spazio dei vettori geometrici del piano applicati

in O 02 2

LEGAME FRA V ED R

02 2

V R

02 2

F: V R corrispondenza biunivoca 02 2

[…] ovvero F è un'applicazione lineare fra V ed R , ed essendo biunivoca allora F è

un isomorfismo lineare

02 2

V R

≅

SEGMENTI EQUIPOLLENTI

Due segmenti orientati AB e CD sono equipollenti se (~)

1. hanno la stessa lunghezza

2. hanno la stessa direzione (si trovano su rette parallele)

3. hanno lo stesso verso di percorrenza

La relazione di equipollenza fra segmenti orientati è una relazione di equivalenza

ovvero verifica le proprietà:

1. riflessiva: AB ~ AB

2. simmetrica: se AB ~ CD allora CD ~ AB

3. transitiva: se AB ~ CD e CD ~ EF allora AB ~ EF

2

V = l'insieme di vettori geometrici liberi nel piano

MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE GEOMETRICO LIBERO PER UNO

SCALARE 2

Le due operazioni verificano le 8 proprietà fondamentali, pertanto ( V , + , x) è uno

spazio vettoriale dei vettori geometrici liberi nel piano.

Si verifica, fissato un punto:

2 2

V R

≅

Nello spazio tridimensionale si possono definire i seguenti spazi vettoriali

03

V : spazio dei vettori geometrici applicati in O

3

V : spazio dei vettori geometrici liberi

03 3 3 3

si può verificare V R ; V R

≅ ≅

SPAZIO VETTORIALE REALE DEI POLINOMI IN UN'INDETERMINATA

[…] L'Addizione fra polinomi e la moltiplicazione di un polinomio per uno scalare

verificano le 8 proprietà fondamentali pertanto ( R , + , x ) è uno spazio vettoriale,

[x]

lo spazio dei polinomi in x ed di grado qualsiasi

SOTTOSPAZI DI UNO SPAZIO VETTORIALE

Consideriamo uno spazio vettoriale V

Un sottoinsieme W di V è un sottospazio vettoriale di V se a sua volta è uno spazio

vettoriale con le stesse operazioni definite in V

oss: affinchè un sottoinsieme W di V sia un sottospazio vettoriale di V è sufficiente

che W sia chiuso rispetto alle operazioni definite in V ovvero

1. w + w appartiene a W

1 2

2. c x w appartiene a W

In particolare, in (2), se c=0 si ha

0 x w = O appartenete a W

v

che è condizione necessaria ma non è sufficiente per dire che W è un sottospazio

ovvero:

se O non appartiene a W, allora W non è un sottospazio vettoriale di V

v

DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE TRA VETTORI

In uno spazio vettoriale V considero k vettori v ,v ,v , …, v ed impongo

1 2 3 k

l'eguaglianza

c v + c v + c v + … + c v = O (1)

1 1 2 2 3 3 k k v

v ,v ,v , …, v sono l.i. se e solo se (1) si verifica solo per c =0, c =0, c =0 … c =0

1 2 3 k 1 2 3 k i

v ,v ,v , …, v sono l.d. se e solo se (1) si verifica anche per qualche c ≠ 0

1 2 3 k i

INSIEMEME DI GENERATORI

Un insieme, finito o infinito, di vettori v si dice un insieme di generatori di V se ogni

vettore si può scrivere come combinazione lineare di essi

n

oss: in R i vettori v ,v ,v , …, v , k>=n, costituiscono un insieme di generatori se e

1 2 3 k

solo se ne esistono n vettori l.i. tra di loro

Se W ha un insieme di generatori v ,v ,v , …, v , e se w ,w ,w , …,w sono dei

1 2 3 k 1 2 3 n

vettori, la combinazione lineare di v ,v ,v , …, v , allora

1 2 3 k

v1,v2,v3, …, vk , w1,w2,w3, …,wn

è un insieme di generatori di W

BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE

Una base di uno spazio vettoriale V è un insieme (finito e infinito) di vettori che

contemporaneamente

1. siano un insieme di generatori di V

2. comunque se ne prenda un numero finito, essi siano l.i.

Il numero di vettori di una base per uno spazio vettoriale V e un invariante si dice la

dimensione di

V = dim(V)

Teorema: Sia B=( v ,v ,v , …, v ) una base dello spazio vettoriale V, ogni vettore v di

1 2 3 n

V si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori della base:

v = x v + x v + x v + … + x v

1 1 2 2 3 3 n n

I coefficienti v ,v ,v , …, v sono le coordinate di v rispetto alla base di B

1 2 3 n

v = B x X (n,1)

oss: Le coordinate di un vettore dipendono dalla base impegnata

oss: Le coordinate del vettore nullo rispetto ad una qualsiasi base sono tutte nulle sia

B=( v ,v ,v , …, v ) base di V sia O = c v + c v + c v + … + c v perché

1 2 3 n v 1 1 2 2 3 3 n n

v ,v ,v , …, v sono l.i. Allora c =0 , c =0 , c =0 , … , c =0

1 2 3 n 1 2 3 n

Teorema: Sia B=( v ,v ,v , …, v ) una base di V, allora

1 2 3 n

1. comunque si aggiunga un vettore v appartenente a V alla base, i vettori

v ,v ,v , …, v sono l.d.

1 2 3 n

2. ogni insieme di vettori w ,w ,w , …,w , con k>n, è un insieme l.d.

1 2 3 n

Teorema: Sia dim(V) = n, allora n vettori v ,v ,v , …, v costituiscono una base di V

1 2 3 n

se e solo se loro sono l.i.

TEOREMA DI COMPLETAMENTO DELLE BASI

Sia V uno spazio vettoriale reale con dim(V) = n, e siano v ,v ,v , …, v (k<n) vettori

1 2 3 n

l.i. . Esistono n-k vettori w , w , … , w tali che v ,v ,v , …, v , w , w , … , w

k+1 k+2 n 1 2 3 n k+1 k+2 n

costituiscono una base di V

n

SOTTOSPAZI DI R n

Se W è un sottospazio di R , allora

n

dim(W) <= dim(R ) = n. n

In particolare dim(W) = n se e solo se W = R

CODIMENSIONE

Si definisce la codimensione di W:

codim(W) = rg(A)

dove A matrice di coefficienti del sistema di equazioni cartesiane che rappresenta il

sottospazio W dunque per il teorema di R-C:

n

n – codim(W) = dim(W), n = dim(R )

n

dim(W) + codim(W) = n = dim(R )

INTERSEZIONE E SOMMA DI SOTTOSPAZI

n n

Dati due sottospazi U e W di R si definiscono i sottoinsiemi di R

-intersezione: U∩W

-unione: U W

∪

-somma: U+W n

I sottoinsiemi U∩W e U+W sono sottospazi di R . Inoltre si verifica

dim(U+W) + dim(U∩W) = dim(U) + dim(W) Formula di Grassmann

n

U W in generale non è un sottospazio di R

oss: 1. Il sottoinsieme ∪

2. I sottospazi U e W contengono il sottospazio U∩W

3. U e W sono sottospazi di U+W

Rn n

Il sottospazio nullo O è sottospazio di qualsiasi altro sottospazio di R

4. Rn

Se U∩W = O allora la somma U+W si dice somma diretta e si scrive U W

⊕

n

Inoltre se U W = R , allora U e W si dicono sottospazi supplementari

⊕ Rn n

U e W sono supplementari se e solo se U∩W = O e U+W=R se e solo se

dim(U∩W) = 0 e dim(U+W)= dim(U) + dim(W) = n

n n

proposizione: - se U+W=R , allora ogni vettore appartenente a R si può scrivere

come somma

v= u+w (*) n

- se U W = R allora la decomposizione in (*) è unica ovvero esiste

⊕

un unica u e w tale che v= u+w

PRODOTTI SCALARI

• PRODOTTO SCALARE TRA VETTORI

n

Dati due vettori u e v di R , si definisce il loro prodotto scalare standard il numero

t

<u , v> = u x v = X x Y = x x y + x x y + … + x x y

1 1 2 2 n n

PROPRIETA' FONDAMENTALI

1. <v+v' , w> = <v , w> + <v' , w>

2. <v, w+w'> = <v , w> + <v , w'>

3. <c x v , w> = <v , c x w> = c x <v , w>

Queste tre proprietà dicono che il prodotto scalare è bilmeare

n n

< , > : R x R R

( v , w ) < v, w>

4. <v , w> = <w , v>

5. < v , v> ≥ 0 Rn

< v , v> = 0 se e solo se v = O

Rn

< v , v> > 0 se e solo se v ≠ O

NORMA

Dato un vettore v si definisce la sua norma o modulo il numero

2 2 2 2

||v|| = sqrt(< v ,v>) = sqrt( (x ) + (x ) + (x ) + … + (x ) )

1 2 3 n

INTERPETRAZIONE GEOMETRICA DELLA NORMA

n

Due vettori v e v di R si dicono perpendicolari o ortogonali se < v , v > = 0

1 2 1 2

Rn

Proprietà: 6. Non degenerazione: se < v ,w> = 0 allora v = O , ovvero il vettore

nullo è l'unico vettore ortogonale ad qualsiasi altro vettore

DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY – SCHWARTZ

|< v , w>| ≤ ||v|| x ||w||

L'uguaglianza si verifica se e solo se v ed w sono l.d.

Si ha: -||v|| x ||w|| ≤ < u , w> ≤ ||v|| x ||w||

Rn

per w , v ≠ O : -1 ≤ (< u , w>)/(||v|| x ||w||) ≤ 1

Dati due vettori v, w non nulli, il coseno dell'angolo che si osserva tra di loro è

cos( v ,w ) = (< u , w>)/(||v|| x ||w||)

Se uno dei vettori è il vettore nullo allora cos(v,w) = 0 e l'angolo è indefinito.

Dalla definizione si cos( v, w):

< v, w> = ||v|| x ||w|| x cos( v, w)

Proprietà:

1. || c x v || = |c| x ||v||

2. || v + w || ≤ ||v|| + ||w|| (disuguaglianza triangolare)

3. 2 2 2

|| v + w || = ||v|| + ||w|| (teorema di pit