Appunti Geometria

Geometria e combinatoria delle matrici

Definizione di matrice

Una matrice di numeri reali A con m righe ed n colonne è una tabella (m,n)=(a)_ij, dove a_ij è il termine generico dell'i-esima riga e dell'j-esima colonna. Sia M = M(R) l'insieme di tutte le matrici del tipo mxn(m,n).

Proprietà fondamentali per l'addizione fra matrici

• Associativa: (A+B)+C = A+(B+C)
• Esistenza dell'elemento neutro: O+A = A+O = A
• Esistenza dell'elemento opposto: (-A)+A = O
• Commutativa: A+B = B+A

L'insieme M assieme all'operazione di addizione fra matrici (M,+), che verifica le 4 proprietà fondamentali, si chiama gruppo additivo commutativo.

Proprietà fondamentali per la moltiplicazione per uno scalare

• Associativa: (b x c) x A = b x (c x A)
• Distributiva rispetto l'addizione fra matrici: c x (A+B) = (c x A) + (c x B)
• Distributiva rispetto l'addizione di scalari: (b+c) x A = (b x A) + (c x A)
• Esistenza dello scalare neutro: 1 x A = A

Altre proprietà:

• (-1) x A = -A
• 0 x A = O

L'insieme delle M assieme alle due operazioni precedenti (M, +, x) verifica le 8 proprietà fondamentali, si chiama spazio vettoriale delle matrici reali di tipo mxn.

Trasposta di una matrice

Sia A = (a)_ij(m,n) si definisce la sua matrice trasposta: A^t = (a)_ji(n,m).

Proprietà:

• (A+B)^t = A^t + B^t
• (c x A)^t = c x (A^t)
• (A^t)^t = A

Matrici quadrate

Quando m = n, si ha una matrice quadrata A = A(n)(m,n). Sia M = M(R) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine n.

Oss: Se A è una matrice quadrata, allora (A)^t, ovvero l'operazione di trasposta, lascia invariata M(n).

Alcuni tipi notevoli di matrici quadrate

1. Matrici simmetriche

Una matrice simmetrica è una matrice A = (a)_ij(n) tale che A^t = A, ovvero a_ij = a_ji.

Proprietà: Se S è l'insieme di tutte le matrici simmetriche di ordine n, S è un sottoinsieme proprio e un sottospazio vettoriale di M(n).

2. Matrici antisimmetriche

La matrice antisimmetrica è una matrice A = (a)_ij(n) tale che A^t = -A, ovvero a_ij = -a_ji.

Sia A l'insieme di tutte le matrici antisimmetriche di ordine n, A è un sottoinsieme proprio e un sottospazio vettoriale di M(n).

Teorema: Ogni matrice quadrata A si può scrivere in modo unico come la somma di una matrice simmetrica e una antisimmetrica.

Per ogni A_(n): esiste un solo B appartenente a S e un solo C appartenente a A⁽ⁿ⁾ tale che A = B + C.

Oss: Nella decomposizione di A risulta:

• B = ½(A + A^t) (parte simmetrica di A)
• C = ½(A - A^t) (parte antisimmetrica di A)

3. Matrici triangolari

• Una matrice A = (a)_ij(n) si dice triangolare superiore se a_ij = 0 per i > j. Strettamente triangolare superiore se a_ij = 0 per i ≥ j.
• Una matrice A = (a)_ij(n) si dice triangolare inferiore se a_ij = 0 per i < j. Strettamente triangolare inferiore se a_ij = 0 per i ≤ j.

4. Matrici diagonali

Una matrice A = (a)_ij(n) si dice diagonale se a_ij = 0 per ogni elemento al di fuori della diagonale principale.

Matrici moltiplicabili

Siano A = (a)_ij(m,n) e B = (b)_jk(n,p) con n colonne di A uguali a n righe di B, allora si definisce il loro prodotto righe per colonne, la matrice A x B = C = (c)_ik(m,p).

Oss: In generale, non vale la proprietà commutativa per la moltiplicazione fra matrici e non vale la proprietà di annullamento del prodotto. A(m,n) x O(n,p) = O(m,p).

Proprietà fondamentali della moltiplicazione fra matrici

• Associativa: (A x B) x C = A x (B x C)
• Distributiva a destra: A x (B + C) = A x B + A x C
• Distributiva a sinistra: (A + B) x C = A x C + B x C
• Omogeneità: c x (A x B) = (c x A) x B = A x (c x B)
• Trasposta del prodotto: (A x B)^t = B^t x A^t

Matrice unità

Si definisce la matrice unità I(n), dove δ_ij è uguale a 1 se i = j o uguale a 0 se i ≠ j (delta di Kronecker).

La matrice unità è tale che per ogni A(m,n), A x I(n) = A e I(n) x A = A.

Matrici invertibili

Una matrice A si dice invertibile se esiste una matrice B tale che A x B = I(n) e B x A = I(n).

Se A è invertibile, la sua matrice inversa A^-1 è unica. Inoltre, A^-1 x A = I. Oss: Non tutte le matrici quadrate sono invertibili.

Teorema: Se A e B sono invertibili, allora A x B è invertibile ed (A x B)^-1 = B^-1 x A^-1.

Sia GL(n, R) l'insieme delle matrici invertibili di ordine n. Si può notare che GL(n) è chiuso rispetto alla moltiplicazione fra matrici invertibili.

Proprietà per GL dotato dall'operazione di moltiplicazione

• Associativa
• Esistenza dell'elemento neutro
• Esistenza dell'elemento opposto rispetto alla moltiplicazione: A x A^-1 = A^-1 x A = I

Pertanto (GL(n), x) è un gruppo moltiplicativo non commutativo o gruppo lineare di ordine n.

Primo teorema di Laplace

Il determinante di una matrice quadrata A(n) si ottiene sommando i prodotti degli elementi di una qualsiasi linea (riga o colonna) per i corrispondenti cofattori.

Proprietà del determinante

• det(A^t) = det(A)
• Se A è triangolare o diagonale, allora det(A) = a₁₁ x a₂₂ x ... x a_nn
• Se A ha una linea nulla, allora det(A) = 0
• Scambiando in A due linee simili si ottiene una nuova matrice B tale che det(B) = -det(A)
• Se A ha due linee simili, uguali o proporzionali, allora det(A) = 0
• Se si moltiplicano tutti gli elementi di una linea di A per uno scalare c si ottiene una matrice D tale che det(D) = c x det(A)
• det(c x A) = det(A) x cⁿ
• Se ad una linea di A si aggiunge una combinazione lineare di altre linee simili si ottiene una matrice D tale che det(D) = det(A)
• Teorema di Binet: det(A x B) = det(A) x det(B)

Oss: In generale det(A + B) ≠ det(A) + det(B).

Matrice singolare

A si dice singolare se det(A) = 0, altrimenti, se det(A) ≠ 0, allora A si dice non singolare.

Teorema di Cramer

Il sistema

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂
• ...
• a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = b_n

ammette una ed una sola soluzione se e solo se det(A) ≠ 0. La soluzione è data da X = A^-1 x B.

Sviluppando A^-1 x B si ottiene il valore dell'incognita.

Caso particolare: consideriamo un sistema quadrato omogeneo

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n = 0
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n = 0
• ...
• a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... + a_nnx_n = 0

ovvero A x X = O. Tale sistema ammette almeno la soluzione nulla.

Corollario: il sistema omogeneo ammette solo la soluzione nulla se e solo se det(A) ≠ 0, altrimenti, se det(A) = 0, esistono altre soluzioni diverse da quella nulla (autosoluzioni).

Rango di una matrice

Data una matrice A, si dice minore di ordine k di A un qualsiasi determinante di ordine k che si possa ottenere considerando k righe e k colonne di A.