Geometria ed algebra lineare

GEOMETRIA

SPAZI VETTORIALI

_{Q, R, C} sono insiemi di numeri sui cui fare operazioni con certe proprietà:

Def Un insieme K su cui sono date due operazioni:

₊: K x K ⟶ K

_∙: K x K ⟶ K

tali che:

1. Commutative
2. Associative
3. Esistenza di elemento neutro [0, 1]
4. Esistenza dell'opposto e dell'inverso (per numeri reali tutti)
5. Distribuzione

(si dice CAMPO)

Esempi: K = Q, R, C

• Q = n° naturalmente basato e preso dal concetto fornito (infiniti eco fini, in cui molte unità sono rappresentabili)
• R = i numeri nel sotto "limbico" del nostro ragionare (non sono rappresentabili)
• C = nel numero complesso, posso fornire noti ai gestori di potenza (due numeri complessi fanno paradisi di coordinamento)

Modello: forze applicate in un piano

Def Un insieme V con:

₊: V x V ⟶ V

_∙: R x V ⟶ V

tali che:

1. Associativa (V₁+V₂)+V₃ = V₁+(V₂+V₃)
2. Commutative V₁+V₂ = V₂+V₁
3. Elemento neutro ∃0_V : 0_V+V = V
4. Opposto ∀V∃-V : V+(-V) = 0_V

∀λ ∈ R :

1. λ(V₁+V₂) = λV₁ + λV₂ interazione tra somma di vettori e prodotto per scalare
2. (λ+μ)V = λV + μV
3. λ(μV) = (λμ)V
4. 1∙V = V (un vettore o unità, è vettore)
5. 0∙V = 0_V (un vettore o nullo, è unità per tutti gli elementi)

Si dice SPAZIO VETTORIALE (cui elementi possono essere qualunque cosa e chiamato vettore)

Conseguenze delle proprietà degli spazi vettoriali

Osservazione:

Moltiplicando il vettore V per (-1) ottengo il suo opposto.

Dimostrazione:

(-1) * V = V + V + (V) = 0 * V = 0V = 0

Specificare che (-V) giace da opposto a V.

Trovare uno spazio vettoriale = fornire una misura (dunque chi è V).

Esempi:

R² = { [ _x1^y1 ] | _x1^x2 ∈ R }

Prenoto coppie di numeri reali in colonna.

∀_{x1, x2, y1, y2 ∈ R}

Prodotto per scalare

λ [ _x1^y1 ] = [ _λx1^λx2 ]

1. Associativa

   [ _{x1 + y1} ^{x₂ + _y2} ]

2. Neutro

   [ ₀ ⁰ ] ORZ

Commutativa

[ _{x1 + y1} ^{x₂ + _y2} ]

dei in Rd[T]

Σ{pi(t)eiR(T)}, deg(pi(t)) ≤ di, F: conjunto polinom cas. grado dep.sin.el.cas det rx.

d=1 --> Rd[T] = act di ao...ao. ao R(T)

d=0 --> R(T). {c = R(T) | c R(T) |= R di[T].

Somma:

deg(pi(t)+φi(t)) ≤ max.{deg(pi(t)), deg(φi(t))}.

Rd[T] x Rd[T] --> Rd[T]. Il prod. Tra pol., el risom, su mendo di.

prodotto per scalare

se λ. = R polerloun max. cotrollo grado.

= chiuso per il prodotto per scalare.

Rd[T] e un somorspazio esterale.

V = {F:R --> R funzioni}

C(R, R). {f c V: construire } ≠ Ø, insieme delle f, costruireda R → R

Somma:

la somma di due

funzion costurikre ⋀ --> chiuso per la somma

una funzione quello.

prodotto per scalare

moltep. siferbe lafunson consinure. pde cosion.

= chiuso pel il prodott per scalare

C(R, R): e un somorspazio vestorale.

V = {F:R e R funsione}

D(R);\

{fcV: e dervilovre} ≠ Ø, insieme delle v dorbivil.

Somma:

la somma di due funrioni denvisio e devibule e o deravet eres donnuil e → chiuso per la sommase sommia sebre dorise

prodotto per scalare

i moltep. mizveren di uio.

funzione dervinitre so w dorivale = chiuso per vi molopotra scalque

D(R) e un stornspazio venerolale.

Esempi:

v ∈ R³; v ≠ 0

Span{v₁} = {λv₁, λ ∈ R} = Rv₁

R_v₁

Span{v₁,v₂} = {λ₁v₁ + λ₂v₂, λ₁,λ₂ ∈ R}

v₁ ≠ 0, v₂ ≠ 0, R_v₁ + {ogni base uno multiplo diverso eres}

Base canonica di Rⁿ

e₁ = | 1 | | 0 | | 0 |

e_n = | 0 | | 0 | | 1 |

d₁e₁ + d₂e₂ + ... + d_ne_n = 0

d₁ | 1 | | 0 | | 0 |

d_n | 0 | | 0 | | 1 |

= | 0 | | 0 | | 0 |

vetori linearmente indipendenti

Vettori generici di R^m

m ∈ N(I R)

pol _i,j (R) = v_ij = 1 se i = j 0 i ≠ j : i, j = 1, ..., n

Rel{t} = [−a₀(t) + a₁(t) + ... + aₙ(t) a_n] ⋅ a_k(R)

a ∈ N

• e' una combinazione lineare
• Span{(t, a₁...tᵏⁿ) } che per definizione (wrip che è un mon pol i, t∈R)

Calcolale che sono linearmente indipendenti

d_aⁿ + d_aⁿ⁻¹t + ... + d_₁ + da = 0 | t cui coeff pol e_i = o

d_ₙ = xd + λ = 0 -> di= da = 0

=> SONO UNA BASE

Teorema del completamento

V spazio vettoriale. W₁,..., W_p ⊆ V (p ≤ n) lin. ind.

Allora esiste una n-p base B di V che aggiunta a W₁,..., W_p è

Completo od una base di V.

Quando n=p allora lo spazio che io ho è lo spazio vettoriale V;

do per esempio precedente Spazio (V₁, V₂, V₃) in ℝ³ perché devo aggiungere 3-3=0 vettori

Dimostrazione per induzione su p:

- p=1 (passo iniziale)

- p=p vero ⟶ p vero (passo induttivo)

p=1

Questi vettori possono generare e aggiuntivi con W₁ numereando una base?

W₁ ≠ 0 C₁,..., C_n ∈ ℝ NON tutti nulli t.c. W₁ = C₁V₁ + ... + C_nV_n

A livello di induzione B posso supporre C₁ ≠ 0

☞ Affermo che W₁, V₂, V_n È UNA BASE di V.

d (W₁, V₁) + aV₂ + ... + αV_n = 0

dV (C₁V₁ + C_nV_n) + aV₂ + ... = 0

d C₁ = 0 ⟺ a C₁ ≠ 0 quindi a=0 ⟺ d=0 ... ⟹ così: d=a=0 ⟹ ...»

W₁, V₂, V_n sono linearmente indipendenti.

Davo supponiamo che posso generarecioè affermo che lo spazio contiene e

W₁, V_n∈ Spazio (W₁, V₁)

Al i posso come scrivere ridurre di V[₁,..., W_n

So che C₁fi = V₄ 1/4W₁ + C₂ V₁ + ... + C_n V_n ⟹ ...

base consisting of → generation...:… ⟹ Spazio Y_n,..., V_n sono generazionale di V

un l vengono un lini ...woo

p-1 vero

A numero di noncetture B posso supponere W₁,..., W_p-1 V_n a. i.

Il salto aggregando W₁ per quanto si rileva un aggruppo VIA Spazio come sorgenti di U

Se C_p≠ quindi C₁W₁ = C_p V₁ + C_n V_n ⟹ V_d. not replacing touch of elements changes basis so not actually a linear comb ination, obtained linear.

Inavan con necessitare che fa) a qui accresciuto (...)

ehem ge UR base final era termina cosa adss...,.. Si (Il costru detto colliapti assurring ordno wit

Tiroi vettori che posso accostare ce mi accresciuto dopo base variabile

perché ha coefficiente ≠0