GEOMETRIA
SPAZI VETTORIALI
Q, IR, O sono insiemi di numeri su cui fare operazioni con certe proprietà
Def: Un insieme K su cui sono date due operazioni:
+: K x K -> K
·: K x K -> K
Ha certe proprietà algebriche
- Commutative
- Associative
- Esistenza di elementi neutri (0, 1)
- Esistenza dell’opposto e dell’inverso (per numeri razionali)
- Distribuzione
Si dice CAMPO.
Esempi:
- K = Q, R, C
- Q = mo notazione binaria e prego di essere precisi. (nessun uso finito di norme finite sono rappresentabili)
- R = I numeri nel calcolo. (I numeri nel nostro infografico NON sono rappresentabili)
- C = Nel calcolo complesso, posso trovare radici di espressioni per numeri complesse. (Possono perdendo elaborati)
Modello: Forze applicate su un punto
Def: Un insieme V con
+: V x V -> V
·: R x V -> V
Proprietà per scalare numero fissato Caus.
- Associativa
- Commutativa
- Elemento neutro
- Opposto
- (Vuna + Vdue) l = Vluna + Vlune
- Elemento neutro
- λ(Vluna + V) = λVluna + λV
- (λ · λ) · V = λ(λV)
- 0 · V = 0 (Un vettore O annulla il vettore)
Si dice SPAZIO VETTORIALE
(Con elementi che possono avere equazioni sono chiamati vettori)
GEOMETRIA
SPAZI VETTORIALI
ℚ, ℝ, ℂ sono insiemi di numeri su cui fare operazioni con certe proprietà.
Def. Un insieme K su cui sono date due operazioni:
1 + : K x K → K 2 : : K x K → K
tale che:
- COMMUTATIVE
- ASSOCIATIVE
- ESISTENZA DI ELEMENTI NEUTRI (0, 1)
- ESISTENZA DELL'OPPOSTO e DELL'INVERSO (per numeri reali inverso)
- DISTRIBUZIONE
Si dice CAMPO.
Esempi: K = ℚ, ℝ, ℂℚ = Può indicare anche il prezzo di certe parti (numeri con fatt. di un 10^n, sono rappresentabili)ℝ = I numeri reali a parte il finito (i numeri interi sono, loro sono rappresentabili)ℂ = Nei numeri complessi, posso trovare radici di coefficiente di polinomi, altri numeri complessi; perciò posseggo
Modello: Forze applicate in un puntoDef. Un insieme V con:
+ : V x V → V
: : ℝ x V → V tale che:
- ASSOCIATIVA(V1 + V2) + V3 = V1 + (V1 + V3)
- COMMUTATIVA V1 + V2 = V2 + V1
- ELEMENTO NEUTRO V + 0V = V = 0V + V OPPOSTO
- λ(V1 + V2) = λV1 + λV2 Interpretazio della somma di vettori e prodotto per scalare 1(Associazione tra somma del vettore e prodotto per scalare)
- (λ + μ)v = λv + λv
- (λμ)v = λ(λv)
- 1V = V e 0V = 0 (un vettore 0 usando passato al neutro innocuo)
Si dice SPAZIO VETTORIALE (con elementi che possono esserci:
Conseguenza delle proprietà degli spazi vettoriali
Osservazione:
(-1) * V = -V per ogni V ∈ V
Moltiplicando il vettore V per (-1) ottengo il suo opposto (-V) e muovendolo ritorna attraverso il suo percorso opposto.
Dimostrazione:
Lega le uguaglianze da sx a dx
(-1) * V + V = 0 = (1+ (-1)) * V = 0V = 0V
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