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RANGO MASSIMO DI UNA MATRICE
Org ( kxnrgA = rg TArg A= numero massimo di colonne o righe indipendenti il rango di una matrice non cambia se effettuo operazioni di riga (sommare a una riga il multiplo di un’altra riga) o operazioni dicolonna (sommare a una colonna il multiplo di un’altra colonna)RANGO MASSIMO DI UNA MATRICEData una matrice A kxn rgA<=min(k,n)rmax (A)= min (k,n) rg(A)<= min(k,n)La matrice A ha rango massimo se rgA=rmaxAPer esempio:1 1 3A= 6 0 1Il rango massimo della matrice è 2 perché il numero di colonne è 3 ma lamatrice ha soltanto 2 righe e quindi le colonne non potranno mai essereindipendenti. In questo caso il rg=2 e quindi la matrice ha rango massimoperché rgA=rmaxASe A è quadrata nxn allora rmax(A)=n.rgA= rmax A=n le colonne sono indipendenti le colonne di A sono una↔ ↔base di A è invertibile detA0n ↔ ↔RUna sottomatrice di A, è un’altra matrice A’ ottenuta cancellando righe
Una minore di una matrice è una sottomatrice quadrata di A:
| A1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
| 7 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 10 |
| 1 | 2 | 3 |
| 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 |
rgA=r un minore invertibile di ordine r e tutti i minori di ordine >r sono non invertibili.
STRATEGIE PER IL CALCOLO DEL RANGO
- Fisso un minore di A di ordine rmax (A), se questo minore è invertibile, concludo che rg(A)=rmax
- Se non è invertibile cerco un altro minore di ordine rmax e vado avanti finché non trovo un minore invertibile
- Se tutti i minori sono non invertibili allora inizio a considerare i minori di rmax-1
- Se ancora non trovo un valore invertibile considero i minori di ordine rmax-2 e così via
RANGO DI UNA MATRICE DIPENDENTE DA UN PARAMETRO
Le matrici dipendenti da un parametro k ∈ R è una matrice i cui coefficienti sono funzione del parametro k. Ogni volta che fisso un valore k, ottengo una classica matrice a coefficienti
reali.Calcolo il determinante della matrice, trovo quei valori che annullano il risultatodel determinante e studio separatamente i valori del rango nei casi cheannullano il valore del determinante.Se i valori di k che annullano ildeterminante sono 0,2,-1/2, devocalcolare il valore del rango sostituendoalla matrice questi 3 valori di k
SISTEMI LINEARI
a +…+a =b
a x x x
a a x … x
…
b incognite
R1 1 2 2 n n 1 n 1 n
Questa è un’equazione lineare.
Un sistema di k equazioni lineari in n incognite è equivalente a un’equazione vettoriale della forma: AX=B
Dove A è una matrice nxn detta matrice dei coefficienti
Su ciascuna riga di A si trovano i coefficienti della corrispondente equazione
Su ciascuna colonna di A si trovano i coefficienti che moltiplicano la corrispondente incognita
La matrice completa del sistema è la matrice k(n1) che si ottiene aggiungendo ad A un vettore dei termini noti.
A = (A|B)
SISTEMI LINEARI
- OMOGENEIOAX= kQuesti sistemi ammettono sempre almeno una soluzione
- Se X1 e X2 sono soluzioni di AX= allora anche X1+X2 è soluzione
- Se X1 è soluzione di AX= allora è soluzione. AX(λx1) = λX1
- λ*A*X1=λ kIL NUCLEO DI UNA MATRICE (KER)OKerA ={X AX= }∈ ℝ kKer A è sottospazio di nR O Ci sono due possibilità: Ker A= nKer A contiene infiniti elementi Dim (Ker A)= h > 0
- Risolvere un sistema lineare omogeneo significa trovare una base del Ker A e quindi una rappresentazione parametrica delle soluzioni.
- TEOREMA Data una matrice A kxn, dim Ker A =n-rgAn.ro colonne La dimensione dello spazio delle soluzioni è data da: n.ro incognite – n.ro di equazioni indipendenti
- SISTEMI LINEARI NON OMOGENEIA Volte questi sistemi non hanno soluzioni. Quando hanno soluzioni? 1 nAX= +X A …+ X A1 nA~ = (A|B) Allora: rgA~ = rgA se B∈ Span ( )1 nA … ArgA+1 se B∉ Span ( )1 nA … A
- TEOREMA DI ROUCHET-CAPELLI
parametri liberi = n-n.ro pivot= n-rgAN = n.ro incognite=n.ro di colonne di A
METODO DI RIDUZIONE DI GAUSS
Due sistemi AX=B e A^X=B^ sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.
Il metodo di Gauss è un algoritmo che, come input, ha un qualunque sistema lineare e come output un sistema equivalente a quello di partenza ma non in scala. Quindi si possono eseguire delle operazioni su matrici per facilitare i calcoli di rango e determinante.
Queste operazioni sono:
- Scambio di righe
- Sommo ad una riga di A~ un multiplo dell'altra riga
Non posso scambiare o fare operazioni sulle colonne
Quindi: dimS=h =dim KerA = n-rg
Insieme soluzioni n.ro di parametri della n.ro incognite
SISTEMI PARAMETRICI
parametrizzazione
x + hy + 2z =1
hx + y + 2hz =1
Per quali valori del parametro h il sistema ha soluzione?
Come varia la dimensione delle soluzioni al variare di h?
1 h 2 1 h 2 1
A= A~ = -1h 1 2 h h 1 2 h
2x3 quindi rgmax=2
|A'| = 1- |A'|= 0 se h =+1,-1
hh 1
| h | rgA | rgA~ | Soluzione |
|---|---|---|---|
| 1,-1 | ? | ? | ? |
APPLICAZIONI LINEARI
Le funzioni sono dette applicazioni lineari e A è detta matrice associata all'applicazione.
| L | R | RA |
|---|---|---|
| x + y | xL = NON È LINEARE | xy |
| y + 1 + x | xL = È LINEARE | x - y |
| y | y | 1 + x |
| x - y | y | y |
PER CAPIRE MEGLIO
Come risolvo un sistema AX=B?
- Applico il teorema di Rouchet-Capelli, mi chiedo se rgA=rgA~
- No
- È risolubile
- Non è risolubile
- Metodo di risoluzione di Gauss
- Scambio le righe di A~
- Sommo una riga con un'altra o con un multiplo di un'altra riga
- Fino ad ottenere una matrice a scala
- Individuo i pivot e assegno alle colonne senza pivot dei parametri (t, s, α, β, λ, μ) e alle colonne con i pivot delle incognite (x, y, z). Al vettore B non assegno parametri/incognite
Metto a sistema le equazioni portando a sinistra le incognite e a destra i parametri e i valori di B5. Risolvo il sistema e determino VAL=+X t+ s
ORI PER CAPIRE MEGLIO
Come risolvo un sistema parametrico?
- Prendo in considerazione la matrice A1. Creo un minore (se ho una matrice 2x3, cercherò un minore 2x2, se ho una matrice 3x5 cercherò un minore 3x3) e ne calcolo il determinante
- Il determinante sarà =0 se h=valore delle radici del determinante, se h≠valore delle radici del determinante ≠0
- Calcolo il rango della matrice sostituendo ad h i valori delle radici del determinante.
Prendo in considerazione la matrice completa Ã1. Cerco un minore (anche lo stesso di prima va bene) e calcolo il determinante
- Sostituisco ad à i valori delle radici del determinante
- Stabilisco il rango, ma so che: rgÃ=rgA→B∈Span(1, n)A ... ArgÃ=rgA+1→B∉Span(1, n)A ... A
Ovviamente si fa riferimento al valore del rango di A creata sostituendo ad h il valore delle radici del determinante
| h | rgA | rgA~ | Soluzioni dim S |
|---|---|---|---|
| 4 | h | rgA~ | Soluzioni dim S |
| 5 | Sostituisco ad A~ h=0 | e, come nei sistemi lineari non omogenei (del tipo AX=B) calcolo | AUTOVETTORE E AUTOVALORE |
| Se A è una matrice nxn, allora un vettore X ∈ è detto AUTOVETTORE di AnRse: | 1. OX ∉ n | 2. AX Span (x), ovvero esiste t.c AX=λX (λ è un AUTOVALORE) ∈ λ | Esempi In |
| nR2 1 1 4-4 0 sicuramente non | A*X= = =-2 | 1 2 2-2 0 posso trovare più di n autovettori | X è autovettore e 0 è l'autovalore Se trovo n autovettori indipendenti, questi sono una base di RON. |
| B: o può essere autovalore, mentre non è mai autovettore. | n I'è autovalore se e soltanto se det (A-λ * ) =0 λ n | Data una matrice A nxn, questa può ammettere: | Nessun autovettore |
| Infiniti autovettori | POLINOMIO |
CARATTERISTICOI PDet(A-λ* )= (λ)n A P
Gli autovalori sono le radici o gli zeri di (λ)AP
(λ) si trova sottraendo alla matrice A, la matrice identità e calcolarne il determinante.
MATRICI DIAGONALIZZABILI è diagonalizzabile se esistono n autovettori indipendenti di A, ovvero se esiste una base di R^n, essa è formata da autovettori.
In una matrice diagonale, i vettori della base canonica sono autovettori.
Le matrici diagonali sono sempre diagonalizzabili.
M=(X1|X2|…|Xn) nM è invertibile perché le sue colonne sono una base di R^n
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
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