Geometria ed algebra lineare

Riassunto per l'esame di Geometria ed algebra lineare, basato sulla rielaborazione degli appunti, dispense universitarie e studio del libro consigliato "Lezioni di algebra lineare con applicazioni alla geometria analitica" di F.Bisi, F.Bonsante, S.Brivio Ed.La Dotta. Riassunto basato su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof.

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Slavich Leone

Università Università degli Studi di Pavia

Publisher Benedetta__2002

A.A. 2021-2022

28 pagine

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RANGO MASSIMO DI UNA MATRICE

Org ( kxnrgA = rg TArg A= numero massimo di colonne o righe indipendenti il rango di una matrice non cambia se effettuo operazioni di riga (sommare a una riga il multiplo di un’altra riga) o operazioni dicolonna (sommare a una colonna il multiplo di un’altra colonna)RANGO MASSIMO DI UNA MATRICEData una matrice A kxn rgA<=min(k,n)rmax (A)= min (k,n) rg(A)<= min(k,n)La matrice A ha rango massimo se rgA=rmaxAPer esempio:1 1 3A= 6 0 1Il rango massimo della matrice è 2 perché il numero di colonne è 3 ma lamatrice ha soltanto 2 righe e quindi le colonne non potranno mai essereindipendenti. In questo caso il rg=2 e quindi la matrice ha rango massimoperché rgA=rmaxASe A è quadrata nxn allora rmax(A)=n.rgA= rmax A=n le colonne sono indipendenti le colonne di A sono una↔ ↔base di A è invertibile detA0n ↔ ↔RUna sottomatrice di A, è un’altra matrice A’ ottenuta cancellando righe

Una minore di una matrice è una sottomatrice quadrata di A:

A1	2	3
4	5	6
7	8	9
7	9	10
11	12	10
1	2	3
7	8	9
10	11	12

rgA=r un minore invertibile di ordine r e tutti i minori di ordine >r sono non invertibili.

STRATEGIE PER IL CALCOLO DEL RANGO

Fisso un minore di A di ordine rmax (A), se questo minore è invertibile, concludo che rg(A)=rmax
Se non è invertibile cerco un altro minore di ordine rmax e vado avanti finché non trovo un minore invertibile
Se tutti i minori sono non invertibili allora inizio a considerare i minori di rmax-1
Se ancora non trovo un valore invertibile considero i minori di ordine rmax-2 e così via

RANGO DI UNA MATRICE DIPENDENTE DA UN PARAMETRO

Le matrici dipendenti da un parametro k ∈ R è una matrice i cui coefficienti sono funzione del parametro k. Ogni volta che fisso un valore k, ottengo una classica matrice a coefficienti

reali.Calcolo il determinante della matrice, trovo quei valori che annullano il risultatodel determinante e studio separatamente i valori del rango nei casi cheannullano il valore del determinante.Se i valori di k che annullano ildeterminante sono 0,2,-1/2, devocalcolare il valore del rango sostituendoalla matrice questi 3 valori di k

SISTEMI LINEARI

a +…+a =b

a x x x

a a x … x

…

b incognite

R1 1 2 2 n n 1 n 1 n

Questa è un’equazione lineare.

Un sistema di k equazioni lineari in n incognite è equivalente a un’equazione vettoriale della forma: AX=B

Dove A è una matrice nxn detta matrice dei coefficienti

Su ciascuna riga di A si trovano i coefficienti della corrispondente equazione

Su ciascuna colonna di A si trovano i coefficienti che moltiplicano la corrispondente incognita

La matrice completa del sistema è la matrice k(n1) che si ottiene aggiungendo ad A un vettore dei termini noti.

A = (A|B)

SISTEMI LINEARI

OMOGENEIOAX= kQuesti sistemi ammettono sempre almeno una soluzione
Se X1 e X2 sono soluzioni di AX= allora anche X1+X2 è soluzione
Se X1 è soluzione di AX= allora è soluzione. AX(λx1) = λX1
λ*A*X1=λ kIL NUCLEO DI UNA MATRICE (KER)OKerA ={X AX= }∈ ℝ kKer A è sottospazio di nR O Ci sono due possibilità: Ker A= nKer A contiene infiniti elementi Dim (Ker A)= h > 0
Risolvere un sistema lineare omogeneo significa trovare una base del Ker A e quindi una rappresentazione parametrica delle soluzioni.
TEOREMA Data una matrice A kxn, dim Ker A =n-rgAn.ro colonne La dimensione dello spazio delle soluzioni è data da: n.ro incognite – n.ro di equazioni indipendenti
SISTEMI LINEARI NON OMOGENEIA Volte questi sistemi non hanno soluzioni. Quando hanno soluzioni? 1 nAX= +X A …+ X A1 nA~ = (A|B) Allora: rgA~ = rgA se B∈ Span ( )1 nA … ArgA+1 se B∉ Span ( )1 nA … A
TEOREMA DI ROUCHET-CAPELLI

lineare AX=B ammette soluzioni se e solo se TEOREMA DI STRUTTURA DELLO SPAZIO DELLE SOLUZIONI DI UN SISTEMA LINEARESe è una soluzione particolare di , le altre soluzioni si ottengono sommando a elementi del 1. Una soluzione particolare di 2. Una base …… di + +<λ>y <λ>y…+ <λ>yCon questi dati posso concludere che Soluzione A particolareMATRICE A SCALAUna matrice <è>a scala seUna riga di è nulla allora tutte le righe successive sono nulleIl PIVOT sulla riga i <è>più a destra del pivot sulla riga i-11 2 3 0 0 NON SONO MATRICI A SCALA0 0 2 0 10 0 30 0 0 1 2 3 SONO MATRICI A SCALA0 0 0 0 1 20 0 0 0 0 3Se è una matrice a scala, allora èn.ro righe non nulle= n.ro di pivotDato un sistema tale che è a scala, se il sistema <è>risolubile possoscegliere come parametri liberi le incognite non corrispondenti ai pivot.Il n.ro di

parametri liberi = n-n.ro pivot= n-rgAN = n.ro incognite=n.ro di colonne di A

METODO DI RIDUZIONE DI GAUSS

Due sistemi AX=B e A^X=B^ sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Il metodo di Gauss è un algoritmo che, come input, ha un qualunque sistema lineare e come output un sistema equivalente a quello di partenza ma non in scala. Quindi si possono eseguire delle operazioni su matrici per facilitare i calcoli di rango e determinante.

Queste operazioni sono:

Scambio di righe
Sommo ad una riga di A~ un multiplo dell'altra riga

Non posso scambiare o fare operazioni sulle colonne

Quindi: dimS=h =dim KerA = n-rg

Insieme soluzioni n.ro di parametri della n.ro incognite

SISTEMI PARAMETRICI

parametrizzazione

x + hy + 2z =1

hx + y + 2hz =1

Per quali valori del parametro h il sistema ha soluzione?

Come varia la dimensione delle soluzioni al variare di h?

1 h 2 1 h 2 1

A= A~ = -1h 1 2 h h 1 2 h

2x3 quindi rgmax=2

|A'| = 1- |A'|= 0 se h =+1,-1

hh 1

h	rgA	rgA~	Soluzione
1,-1	?	?	?

APPLICAZIONI LINEARI

Le funzioni sono dette applicazioni lineari e A è detta matrice associata all'applicazione.

L	R	RA
x + y	xL = NON È LINEARE	xy
y + 1 + x	xL = È LINEARE	x - y
y	y	1 + x
x - y	y	y

PER CAPIRE MEGLIO

Come risolvo un sistema AX=B?

Applico il teorema di Rouchet-Capelli, mi chiedo se rgA=rgA~

È risolubile

Non è risolubile

Metodo di risoluzione di Gauss

Scambio le righe di A~
Sommo una riga con un'altra o con un multiplo di un'altra riga
Fino ad ottenere una matrice a scala

Individuo i pivot e assegno alle colonne senza pivot dei parametri (t, s, α, β, λ, μ) e alle colonne con i pivot delle incognite (x, y, z). Al vettore B non assegno parametri/incognite

Metto a sistema le equazioni portando a sinistra le incognite e a destra i parametri e i valori di B5. Risolvo il sistema e determino VAL=+X t+ s

ORI PER CAPIRE MEGLIO

Come risolvo un sistema parametrico?

Prendo in considerazione la matrice A1. Creo un minore (se ho una matrice 2x3, cercherò un minore 2x2, se ho una matrice 3x5 cercherò un minore 3x3) e ne calcolo il determinante
Il determinante sarà =0 se h=valore delle radici del determinante, se h≠valore delle radici del determinante ≠0
Calcolo il rango della matrice sostituendo ad h i valori delle radici del determinante.

Prendo in considerazione la matrice completa Ã1. Cerco un minore (anche lo stesso di prima va bene) e calcolo il determinante

Sostituisco ad Ã i valori delle radici del determinante
Stabilisco il rango, ma so che: rgÃ=rgA→B∈Span(1, n)A ... ArgÃ=rgA+1→B∉Span(1, n)A ... A

Ovviamente si fa riferimento al valore del rango di A creata sostituendo ad h il valore delle radici del determinante

h	rgA	rgA~	Soluzioni dim S
4	h	rgA~	Soluzioni dim S
5	Sostituisco ad A~ h=0	e, come nei sistemi lineari non omogenei (del tipo AX=B) calcolo	AUTOVETTORE E AUTOVALORE
Se A è una matrice nxn, allora un vettore X ∈ è detto AUTOVETTORE di AnRse:	1. OX ∉ n	2. AX Span (x), ovvero esiste t.c AX=λX (λ è un AUTOVALORE) ∈ λ	Esempi In
nR2 1 1 4-4 0 sicuramente non	A*X= = =-2	1 2 2-2 0 posso trovare più di n autovettori	X è autovettore e 0 è l'autovalore Se trovo n autovettori indipendenti, questi sono una base di RON.
B: o può essere autovalore, mentre non è mai autovettore.	n I'è autovalore se e soltanto se det (A-λ * ) =0 λ n	Data una matrice A nxn, questa può ammettere:	Nessun autovettore
Infiniti autovettori	POLINOMIO

CARATTERISTICOI PDet(A-λ* )= (λ)n A P

Gli autovalori sono le radici o gli zeri di (λ)AP

(λ) si trova sottraendo alla matrice A, la matrice identità e calcolarne il determinante.

MATRICI DIAGONALIZZABILI è diagonalizzabile se esistono n autovettori indipendenti di A, ovvero se esiste una base di R^n, essa è formata da autovettori.

In una matrice diagonale, i vettori della base canonica sono autovettori.

Le matrici diagonali sono sempre diagonalizzabili.

M=(X1|X2|…|Xn) nM è invertibile perché le sue colonne sono una base di R^n

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

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