Geometria e Algebra Lineare - Sistemi Lineari

Sistemi lineari reali

Un sistema lineare è un insieme di equazioni con incognite e coefficienti reali. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite può essere rappresentato con la seguente notazione:

Dato il sistema lineare:

\[ \begin{align*} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2 \\ &\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{align*} \]

Introduciamo le seguenti notazioni:

• Il vettore colonna delle incognite: \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n\)
• Il vettore colonna dei termini noti: \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m\)
• La matrice dei coefficienti: \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)

Forma vettoriale e matriciale

Usando le notazioni introdotte, il sistema può essere scritto in forma vettoriale e più compatta in forma matriciale come:

\(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)

Un sistema è detto omogeneo se il vettore dei termini noti \(\mathbf{b}\) è il vettore nullo, cioè \(\mathbf{b}=\mathbf{0}\). In caso contrario, è non omogeneo.

Soluzione di un sistema lineare

Dato un sistema lineare \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), una soluzione è un vettore \(\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n\) che soddisfa l'uguaglianza \(A\mathbf{x}_0=\mathbf{b}\). Un sistema è detto compatibile se ammette almeno una soluzione. Un sistema omogeneo ammette sempre la soluzione banale, cioè la soluzione \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\).

Teorema di Rouché-Capelli

Introduciamo il teorema di Rouché-Capelli che determina la risolubilità di un sistema lineare. Data la matrice completa \( \tilde{A} \) ottenuta aggiungendo al vettore colonna dei termini noti \(\mathbf{b}\) accanto alle colonne di \(A\), il sistema lineare \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) è risolubile se e solo se il rango di \(A\) è uguale al rango di \( \tilde{A} \).

Corollario

Un sistema lineare ammette un'unica soluzione se il numero delle incognite è uguale al rango della matrice dei coefficienti \(A\).

Osservazione

Se il numero delle incognite è maggiore del rango della matrice, il sistema ammette infiniti vettori soluzione linearmente indipendenti.