Geometria e Algebra Lineare - Matrici

Matrici e prodotto tra matrici

BCV A.BEAt MirAct km1 MirECEB c n htiA Babtac VAEMirlk.inBtc C Mir n2 EdB tiAIABda AB IREMRIK.in VBEMirln.tntra3 EhhVAA ticB AEMirlk.nl KBEMIRBc4 Miren pAbi B leiVAlbe MaletraeAB AB5 BEMirln.tn te jenEe inEnntrail matriciOsservazione commutativa inè anzitutto seNonprodotto generaleABfare il fareche BAè siprodotto dettoè possibile non possafare ABsia BA BA ABchedettoanche èpossibilequando e non diAB valeB laA Non leggeEsempio f delannullamentoteorico prodottoidentitaMATRICEmatrice matriceidentità In vettoriila lela colonneè cui sonoquadrata nncanonica ordinatamenteRndidella base presi InteietatiteneIII nInA A VInA AEMRln.tn2 TRAMATRICIPRODOTTO QUADRATE fare ilA matriciosserviamo Bche allora si prodottoun puòsono quadratese eil ilA InAB matricerisultatotra èB parolealtre prodottoe ancora minunaetra Abbiamointerna dimatrici osservatoè chegià questaMarinun'operazione distributiva allaè mentre

èassociativa rispetto all'operazione somma e non è identità l'elemento neutro della matrice. Inoltre, osserviamo che la commutatività non vale nell'insieme delle matrici di ordine reale con l'operazione di addizione. Un anello è un insieme ordinato di matrici con l'operazione di moltiplicazione e con un elemento neutro. Poiché il prodotto interno in matrici è non commutativo, il carattere non associativo è evidente. Inoltre, una matrice A è quadrata se il suo prodotto con se stessa è ancora una matrice quadrata, mentre una matrice A è nilpotente se con una sua potenza diventa la matrice nulla. Le matrici idempotenti sono quelle che coincidono con le loro potenze. L'invertibilità delle matrici quadrate è caratterizzata dall'esistenza dell'inversa. Se una matrice A è invertibile, allora esiste una matrice B tale che il prodotto AB è l'elemento neutro indicato con 1. Inoltre, non tutte le matrici sono invertibili, come vedremo, alcune non verificano questa proprietà.

lemmile matrici proprietàche soddisfano Allora AX Bsia matrice invertibile vettorialea ammetteMirini una l'equazionec B l'unicain soluzione èA BX ensoluzione particolare seunicacomeen i X laSe alloraAXè soluzione ansia AEMIR dell'equazionen combinazioneA lelineare delle dicolonne coefficienti componenticonArtil anAnha Aita Viceversatrisultato vettoreX ennullodi xcome ilAncombinazione Anlinearedata vettoreche nullodiuna producedaart combinazionethand A deiilan taleallora vettore dicoefficientit AXsoluzione Onè dell'equazioneSia le A baseformanomatriceA diMir invertibile allora colonnec unan unacondizioneIR necessariadi Ba AA base ancoralesia diseEmirIn Rndi formanoA ècolonne unainvertibile A basedi coordinate deglicolonne lele elementi dellasonoe canonicabase Ba anchealla condizionerispetto sufficientelinearmenteleOsservazione matrice indipendentidicolonne sono eseuna Abbiamol'unica soluzione AX èsolo X ense

dell'equazione dilistevisto lecaratterizzala che vettoriche proprietàindipendenti illinearel'unica combinazione vettorechee che producedefinitiva AnInbanalecombinazionenullo Ailaè chedire ladirelinearmente indipendenti che matriceequivale èsono abasefai IRinvertibile An diche sonoe unaPROPRIETA un'inversaammette è unicaA inversaquestasen il invertibileinvertibiliBA loro AB èanchese2 sono prodottoe invertibile A invertibile A Aè èA ancora3 se Ai invertibile datA allora dainvertibile 10 èè4 ese È AX lnA A An soluzioneinvertibile HAindipLin ss unicafact farlaA AAn Rndi s aBASE n0D itaiaYBesercizio a lIeda.IeblaIftp I IEfamai tarare a fantaae ff aa ar IIIanatra tale Èa Xverifica e1 Abell'insieme matrici1M invertibile realièn.IR Mirim dellecol ME quadrateinvertibili commutativaèordinedi un rispettoall'operazioneun nongruppo fra ilinterna matricicolonnedata dal vieneprodotto

righe per gruppo ORDINE denominato matrici

LINEARE

GRUPPO di

delle n

di una

TRASPOSTA MATRICE indicheremo

A

matrice At

sia la

definiamo che

Mir kmc TRASPOSTA con

At il A

a colonna è vettore

vettore è

riga semplicemente

se per

un il A

At è

a è riga

vettore

colonna

vettore

se messo per

un matrice

At A

le in dila

le cui

matrice è

colonne sono righe trasposte

generale

tl Artt Kant

At a

PROPRIETA Atkin matrice

A è matrice Nk

allora è

seti una

una A

ifat Atle i

le colonne

colonne i

di A

di messe ovvero

2 sono per

righe per

Atf A t Btd

at HAI

at atttoto BB TE

ai BÉ

At71 ABIT aemirlk.nl

Vl BEMRCn.tn

SIMMETRICHE

MATRICI

se la

atmatrice è

ordine

di anche è

quadrata

quadrata trasposta

una sua

di ordine un

Ae

Una dettamatrice è

MirenAt a

sesimmetrica simmetrica At A

ANTI Eni se

SIMMETRICA osia in

EmirIna la

che la

Adi è dall'angolo

DIAGONALE

PRINCIPALE va

diagonale

destra

in basso

sinistra

alto

all'angolo aOsservazioni entratein Amatrice sullaordine lein di minunagenerale diagonale entrate ii lecioèi posti iprincipale 1 naioccupanomatricel'unico simmetricaèen di ecaso contemporaneamenteantisimmetricasottoinsiemi diI matrici antisimmetrichesimmetrichedelleMiren e sonoI falafa at1 dimostrasiAt aa Emirsottospazi chedi Marin Mir n nc sela chiusi allaamatrice nulla alla esommasonoappartiene rispettoa sn stafanaInoltre chescalare datomoltiplicazione MirenunoperDETERMINANTE AAd matrice reale dettoèreale possibile associarequadrata numerounogniil che talindichiamomatricedeterminante ontadella concon oaAse matrice dita1è 1una aa nelcalcolatoilaa matrice determinanteè vienese 2 2una siA illa di moltiplicaconsidera colonnaSi primamodo primoseguente tale ildi colonna ottenuto cancellando laovvero numerocoefficiente a per ilsicolonnala che moltiplicariga dovveroe Analogamentecontengono laottenutoil cancellando riga esecondonumeroovverocoefficiente c per ll lala determinante Ab dicolonna è differenzache ovveroccontengonodei trovati bcditanumeri Ovverocosì adaa inmatrice consideriamoa anche questo3se 3 è casouna afai amaaa aasaInla delcolonna annotiamoelementoAprima aprimodi corrispondenzaottenutala lamatrice lacancellando colonna1 1Ae riga e2con 2 applicando ontahastesso silo ditalicheeper a a taprocedimentoditadetaez.pta as i outditain matrice Aeuna min taigenerale per alternanzaoutAgea at dei segnioutfaI È frittafrying data Agout Da 12 213onta 3 11 3 4t 11 1Esempio 10,0LaplacediTEOREMA teoremall che colonnaalterna qualsiasi rigalungo ounasviluppandoseguente lo aa ottiene determinantedi disi stessosia matricea ordinedi minquadratauna tfnft2az tlla It ditnanjlaen.nlfafissata si hala ditacolonna j lag.isa ifili tfditnainlafili aizlalala DI i.nli.nlhai ontasifissata airiga tIn il simbolo di sommatoriaforma usandocompatta n a talicNitidi LiIdita latitaci aisdelcalcoloche

nelOsserviamo determinante sviluppato qualsiasilungo unailstabilire aiilaei.nlcolonna dell addendoèo riga importante segno taci èil di