Geometria e algebra lineare - calcorale la controimmagine di una matrice

Note Fondamentali di Geometria

a) Calcolare la controimmagine di una matrice

Per calcolare la controimmagine di una matrice, basta sviluppare un sistema con la matrice associata, per inserire le coordinate di un vettore dato nelle incognite x', y', z'. Esempio:

A = ^{1 0 2}        _{0 5 0}        ^{2 -2 4}        &sub>

V = _{1 2 4}

^{x' = x + 2 z}     ₁

x - 2 z + 1 = 0

2 y = 5

y = 2,5

2 z + 4 z = 6

z = 1

x + y - z = 0

La controimmagine sarà quindi:

_{5 -3 10 -6}

b) Come stabilire se una conica è degenere (det | I₃ |= 0)

Una conica si dice degenere se si spezza nel prodotto di due rette.

Esempio 1: la conica x² + y² - x - y + x y = 0 è degenere, in quanto si può porre nella forma (x + y + 1)(x - y) = 0

Pertando, la conica di partenza risulta essere formata dalle rette x + y -1 = 0 e x - y = 0

Esempio 2: x² - 4 = 0. Essa è degenere in quanto si può comporre nella forma (x+1)(x-1)(x-z)=0.

Tuttavia, per RICONOSCERE se una conica è degenere o no, si usano il seguente:

Teorema: Presie in considerazione queste matrici:

I₂ = A + C

(dove a e c coeff della x² e c il coeff della y²) e dove D : = coeff x      E := coeff y, F := termio nd.

     |A B/2|        |B/2 C/E|          |D/2 E/2 F|

Se det |I₂| = 0 → (ellisse degenere) si spezza in due rette immaginarie coniugate non //.

Se det |I₁| = 0 → (parabola degenere) si spezza in 2 rette L coincidenti.

Se det |I₀| = 0 → (iperbole degenere) si spezza in due rette reali e distinte e incidenti.