Geometria e algebra lineare - Appunti riassuntivi

OSS:

Teorema:

Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la medesima cardinalità.

dim (tramite il Teorema del rimpiazzamento):

● Consideriamo due basi distinte B e B di uno stesso spazio vettoriale

1 2

V.

● Poiché B è una base, essa è, in particolare, un insieme generatore di

1

V.

● Poiché B è una base, essa è, in particolare, un insieme indipendente

2

di V.

● Di conseguenza | | ≤ | |

2 1

● Ma è anche possibile considerare B indipendente e B generatore, da

1 2

cui risulta | | ≤ | |

1 2

● Perciò | | = | |

2 1

Se V è uno spazio vettoriale e B una sua base, con |B| = n, si dice che la

def: dimensione di V è n, e si scrive dim V = n.

La dimensione di uno spazio vettoriale V, rappresenta il grado di

indipendenza, ovvero il numero massimo di vettori indipendenti estraibili da

V.

Consideriamo:

def: ● uno spazio vettoriale V di dimensione n sul campo K;

● una base qualsiasi di V: ;

= { , ..., }

1

● il generico vettore .

∈

Esiste allora la n-pla , tc ,

, , ..., ∈ = + + ... +

1 2 1 1 2 2

gli elementi di tale ennupla sono definiti coordinate del vettore.

Teorema:

Ogni vettore v di uno spazio vettoriale V è univocamente determinato da una

base B fissata (ovvero la n-pla è univocamente

, , ..., ∈

1 2

determinata).

dim per assurdo:

Consideriamo:

○ uno spazio vettoriale V di dimensione n sul campo K;

○ una base qualsiasi di V: ;

= { , ..., }

1

○ il generico vettore ∈

○ la n-pla , , ..., ∈

1 2

Supponiamo per assurdo che esista la n-pla diversa

, , ..., ∈

1 2

da quella data tc = + + ... +

1 1 2 2

Ma il vettore v è anche dato da ,

= + + ... +

1 1 2 2

quindi:

+ + ... + = + + ... +

1 1 2 2 1 1 2 2

+ + ... + − ( + + ... + ) = 0

1 1 2 2 1 1 2 2

il che è

( − ) + ( − ) + ... + ( − ) = 0

1 1 1 2 2 2

assurdo.

Sia V uno spazio vettoriale e W un suo sottoinsieme non vuoto.

def: L’insieme W è un sottospazio vettoriale di V, rispetto alle stesse operazioni

di somma di vettori e prodotto per scalari ristrette a W, se sono valide le

proprietà di compatibilità precedentemente descritte.

Si ha quindi uno spazio vettoriale in corrispondenza di ogni sottoinsieme di V

in cui si realizzano tutti gli assiomi precedentemente descritti.

Teorema:

Un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V è un sottospazio se e solo se

e si ha .

∀, ∈ ∀, ∈ + ∈

Prescindendo dalla definizione formale rigorosa, chiamiamo spazio affine

OSS:

reale , l’insieme dei traslati di ordine . Possiamo estendere la nozione di

ℜ

ℜ

sottospazio a quella di spazio affine.

Teorema:

L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo , di m equazioni

= 0

in n incognite è un sottospazio di avente dimensione , con

ℜ = −

caratteristica di A.

dim:

1° modo: verifica degli assiomi:

Sia W il sottospazio vettoriale e un sistema omogeneo.

= 0

Sappiamo che tra n-ple è possibile introdurre l’operazione , quindi

⊕

prendiamo in considerazione .

(, ⊕)

L’operazione è:

⊕

● interna: , infatti:

∀ , ∈ , ⊕ ∈

1 2 1 2

( ⊕ ) = ⊕ = 0 + 0 = 0

1 2 1 2

● associativa

● ammette l’elemento neutro x : ∃ ⊕ = ⊕ = ∀ ∈

0 0 0 0

, x è la n-pla fatta solo da zeri (soluzione banale di tutti i sistemi

0

omogenei).

● ammette l’elemento inverso: = 0, (− ) = − = 0

● commutativa

Da ciò ricaviamo che è un gruppo abeliano, è un campo, :

(, ⊕) ℜ α ∈ ℜ

W è uno spazio vettoriale

⇒

(α) = α = α0 = 0

2° modo: applichiamo il criterio

Poiché W è un sottoinsieme di e è spazio vettoriale, posso

ℜ ℜ

controllare la chiusura rispetto alla combinazione lineare.

e :

∀ , ∈ ∀, ∈ ℜ

1 2

( ⊕ ) = ( ) ⊕ ( ) = ( ) ⊕ ( ) = · 0 + · 0 = 0

1 2 1 2 1 2

W è spazio vettoriale.

⇒

Questo teorema può invertire:

Teorema di caratterizzazione:

Ogni sottospazio W di , di dimensione k ( ), può essere

ℜ 1 ≤ ≤ − 1

rappresentato come l’insieme delle soluzioni di un opportuno sistema lineare

omogeneo di n-k equazioni indipendenti in n incognite.

dim:

● Sia una base di W.

= { , , ..., }

1 2

● Sia un generatore di .

= [ , , .. , ] ℜ

1 2

● Consideriamo la matrice A di tipo (n, k+1) avente come vettori

.

, , ..., ,

1 2

● Allora (se u è combinazione lineare di B) se e solo se .

∈ () =

● Possiamo sempre supporre che il minore M formato dalle prime k righe

abbia determinante non nullo.

● Ogni orlato del minore M in A si ottiene utilizzando una delle n-k

restanti righe.

● In A ci sono quindi n-k possibili orlati di M, ed ognuno di essi deve

avere determinante nullo, altrimenti la caratteristica di A

aumenterebbe.

● Si ottiene pertanto un sistema omogeneo di n-k equazioni nelle n

incognite .

, , .. ,

1 2

● La condizione equivale pertanto a dire che le coordinate

∈

di u devono risolvere questo sistema omogeneo, cioè

, , .. ,

1 2

l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo ottenuto.

Formula di Grassmann: + = ( + ) + ( ∩ )

APPLICAZIONI LINEARI

Si definisce applicazione lineare una funzione tale che l’immagine di una

def: combinazione lineare è una combinazione lineare delle immagini con gli

stessi coefficienti. Quindi un’applicazione lineare tra due generici spazi

vettoriali V e W definiti sullo stesso campo K, è una funzione tc

: →

( + ) = () + ()

∀, ∈ , ∀, ∈

Proprietà delle applicazioni lineari:

● iniettività: ∀, ∈ , ≠ : () ≠ ()

● suriettività: ∀ ∈ ∃ ∈ () =

● isomorfismo: applicazione lineare iniettiva e suriettiva.

● La composizione di applicazioni lineari è ancora un’applicazione lineare.

Costruzione della matrice rappresentativa di un’applicazione

lineare

Le matrici rappresentative di una data applicazione lineare hanno come

: →

colonne i coefficienti che consentono di esprimere le immagini dei vettori di una base

di V come combinazioni dei vettori di una base di W.

Tali matrici si associano in modo univoco (teorema delle coordinate) all’applicazione

lineare f. Ciò significa che per un qualsiasi vettore le coordinate di f(v) rispetto

∈ '

alla base di W, vengono determinate moltiplicando per le

' = { ,..., } ()

1

'

coordinate di v rispetto alla base di V, cioè:

' = { ,..., } () = ()

1 '

dim: Se , allora , per cui, per la linearità, si ha:

∈ = Σα

() = (Σα ) = Σα ( )

Quindi:

Teorema fondamentale delle applicazioni lineari:

Se V e W sono spazi vettoriali sullo stesso campo K e è una

= { , .., }

1

base di V, fissati n vettori di W, ad esempio , esiste un’unica

, ...,

1

applicazione lineare tc , i=1,...,n.

: → ( ) =

dim:

● Consideriamo la funzione così definita:

: →

() = + +... + ∈

1 1 2 2

verifica la condizione richiesta, ovvero .

( ) =

Pertanto, fissata una base in V, è possibile costruire un’applicazione

lineare .

: →

● Dimostriamo ora che tale applicazione è unica:

Supponiamo che esista una seconda applicazione lineare del

: →

tipo considerato, cioè tc ( ) =

Allora preso un generico vettore , per linearità di g,

= +... +

1 1

si ha

() = ( +... + ) = ( ) +... + ( ) = +... + = ()

1 1 1 1 1 1

La matrice associata all’applicazione lineare è perciò univocamente

OSS:

determinata.

Sia un’applicazione lineare.

def: : →

Si definisce nucleo l’insieme: .

= { ∈ | () = 0}

Si definisce immagine l’insieme: = { ∈ | ∃ ∈ : () = }

Teorema:

Il nucleo è un sottospazio di U, l’immagine è un sottospazio di V.

dim tramite il criterio:

● Se , allora , quindi:

, ∈ () = () = 0 il nucleo

⇒

( + ) = () + () = 0 + 0 = 0 ∀, ∈

è sottospazio

● Se , quindi:

, ∈ , ∃, ' ∈ () = (') =