Geometria e algebra lineare - Appunti riassuntivi

RELAZIONI E VETTORI GEOMETRICI

Si dice che una relazione R è presente tra due insiemi A e B se è definita una

def: proprietà oggettiva R che permette di associare elementi di A a elementi di B.

⇒ ∀ ∈ , ∈

Una relazione si definisce relazione di equivalenza se è

def: contemporaneamente riflessiva, simmetrica e transitiva:

1) Riflessiva: , ∀ ∈

2) Simmetrica: se allora ,

∀, ∈

3) Transitiva: se e allora ,

∀, , ∈

L’insieme in cui è definita la relazione di equivalenza si può considerare

def: ripartito in classi di equivalenza, ognuna formata da elementi tutti equivalenti

tra loro. Ogni elemento della classe di equivalenza può essere utilizzato per

individuare la classe stessa, ed in tale caso viene chiamato rappresentante

della classe.

L’insieme dei rappresentanti delle classi di equivalenza prende il nome di

insieme quoziente.

Vettori geometrici

Sia F l’insieme delle frecce in un piano, cioè F è l’insieme di tutti i possibili segmenti

orientati.

Sia R la relazione in F tc se e solo se

● x ha la stessa direzione di y

● x ha lo stesso verso di y

● x ha la stessa lunghezza di y

∀, ∈

R è una relazione di equivalenza, infatti:

1) Riflessività: , ∀ ∈

2) Simmetria: se allora ,

∀, ∈

3) Transitività: se e allora ,

∀, , ∈

Di conseguenza è possibile costruire l’insieme quoziente, possiamo scegliere tutti i

rappresentanti che hanno l’origine in comune. Perciò l’insieme delle frecce uscenti

da un punto o fissato si definisce insieme dei vettori geometrici del piano o dello

spazio. Da ciò si ricava che un vettore geometrico è un rappresentante uscente da

un punto fissato di una classe di equivalenza di segmenti orientati.

Legame tra rette e vettori geometrici

Una retta r è individuata assegnando, per esempio, un vettore v ed un punto A.

Descrizione geometrica di r tramite i vettori:

= + λ

= { | = + λ, λ ∈ ℜ}

dove è la diagonale del parallelogramma formato da e (multiplo opportuno

λ

di )

→ traduzione analitica:

→ raffinamento:

queste sono le equazioni parametriche della retta r.

Rette e piani nello spazio

Le equazioni parametriche delle rette nello spazio sono le seguenti:

da queste è possibile ricavare le equazioni cartesiane esplicitando il parametro , le

λ

equazioni cartesiane della retta nello spazio sono:

Di fatto, ognuna di queste equazioni descrive un piano, è possibile perciò indicare le

equazioni parametriche anche nel seguente modo:

Un piano si può individuare in due modi:

1) tramite tre punti non allineati;

2) tramite due vettori geometrici.

Il punto P appartiene al piano :

Π

il volume del parallelepipedo obliquo descritto dai tre vettori geometrici

∈ Π ⇔ è nullo.

, ,

Cioè se e solo se la matrice che ha come colonne i tre vettori è nulla.

ALGEBRA DELLE MATRICI

I teorema di Laplace:

Se con , la somma dei prodotti degli elementi di una sua

∈ (ℜ) = [ ]

qualsiasi linea per i rispettivi complementi algebrici non dipende dalla linea

considerata. Perciò il valore del determinante non dipende dalla scelta della

linea.

Proprietà del determinante:

● Scambiando due colonne (o due righe) di una matrice, il determinante cambia

solo di segno, il valore assoluto rimane costante.

dim per induzione, lavoriamo con le colonne:

○ Iniziamo con una matrice di ordine n = 2.

Invertiamo le colonne:

○ Ora prendiamo una matrice generica di ordine m righe ed n colonne:

Invertiamo C con C :

1 2

si può dedurre che il valore assoluto non cambi dal significato

OSS 1:

geometrico del determinante.

si può inoltre dedurre che se la matrice ha due linee uguali il

OSS 2:

determinante sarà pari a zero, perché scambiando le linee dovrebbe

cambiare il segno ma la matrice rimarrebbe comunque la stessa, l’unico

valore a non avere segno è lo zero.

II teorema di Laplace

● :

La somma dei prodotti degli elementi di una linea L per i complementi

i

algebrici di una diversa linea L ( ) è nulla.

≠

j

se L è una riga, L deve essere a sua volta una riga, idem se si tratta

OSS 1: i j

di una colonna.

I risultati sono indipendenti dai valori della linea L .

OSS 2: j

dim:

○ I valori dei complementi algebrici degli elementi della linea L sono

j

indipendenti dai valori degli elementi stessi della linea.

○ Quindi i complementi algebrici restano uguali anche se rimpiazziamo

gli elementi della linea L con altri elementi.

j

○ In particolare, il risultato non cambia se rimpiazziamo gli elementi di L j

con gli elementi di L (oppure con un vettore di zeri).

i

○ Ma nella matrice così ottenuta abbiamo due linee uguali.

○ Quindi, proseguendo come descritto dall’enunciato, si ottiene lo stesso

risultato che si otterrebbe sviluppando il determinante di una matrice

avente due linee uguali, cioè zero.

● Sommando o sottraendo ad una linea un’altra linea, il determinante non

cambia.

Teorema di Binet

● :

Il determinante del prodotto di matrici quadrate è il prodotto dei determinanti

dei singoli fattori.

● Regola di Sarrus.

Una sottomatrice H di una matrice A è una matrice costruita con elementi

def: appartenenti ad A rispettando il precedente ordinamento in righe e colonne.

Il minore di ordine j di una matrice A è il determinante di una sottomatrice

def: quadrata di ordine j di A.

L’orlato di un minore di ordine j è un minore di ordine j+1 la cui matrice

def: contiene quella precedente.

Il rango di A è il massimo ordine di un minore non nullo di A.

def:

Teorema di Kronecker:

Sia e un suo minore non nullo di ordine h. Se ogni minore di

∈ (ℜ)

, ℎ

ordine h+1 ottenuto orlando è nullo, allora h è il massimo ordine di un

ℎ

minore non nullo ricavabile dalla matrice A, ed è quindi il suo rango.

SISTEMI LINEARI

Sia A una matrice tc , sia R l’insieme delle righe di A e C

def: ∈ (ℜ)

,

l’insieme delle colonne di A.

Il massimo numero di righe indipendenti di R è uguale al massimo numero di

colonne indipendenti di C. Questo numero è la caratteristica (o rango) della

matrice.

Un sistema di m equazioni lineari in n incognite è un sistema in cui tutte le

def: equazioni sono descritte da polinomi di primo grado:

Il sistema si può riscrivere sinteticamente nella forma , dove:

=

si dice che due sistemi lineari sono equivalenti se ammettono le stesse

NB:

soluzioni.

Proprietà dei sistemi lineari:

Un sistema lineare può avere:

● 0 soluzioni → il sistema è impossibile

● 1 soluzione → il sistema è determinato

● soluzioni → il sistema è indeterminato

∞

Da ciò è possibile ricavare le posizioni reciproche delle rette nel piano:

● Rette incidenti → sistema determinato (soluzione: punto di intersezione)

● Rette parallele → sistema impossibile (nessun punto in comune)

● Rette coincidenti → sistema indeterminato (infiniti punti in comune)

Teorema di Rouché-Capelli:

Un sistema lineare ammette soluzioni se e solo se la caratteristica di

=

A è uguale alla caratteristica della matrice (matrice aumentata).

' = [ | ]

dim:

1) Supponiamo che il sistema sia risolubile.

● Pensiamo la matrice dei coefficienti A come l’accostamento di n

colonne, cioè:

= [ | | | ... | ]

1 2 3

● Possiamo, perciò, scrivere il sistema così:

+ + + ... + =

1 2 3

1 2 3

Di conseguenza B è combinazione lineare delle colonne di A.

● Possiamo dire che se il sistema lineare ammette soluzioni,

=

allora B è linearmente dipendente dalle colonne di A:

+ + + ... + − = 0

1 2 3

1 2 3

● Indichiamo con A’ la matrice ottenuta accostando alla matrice A la

colonna B dei termini noti, abbiamo:

● Affermare che B è combinazione lineare delle colonne di A, è

equivalente a dire che la caratteristica di A’ è uguale a quella di A’.

Deduciamo, pertanto, che se il sistema ammette soluzioni, allora le

caratteristiche di A e A’ risultano essere uguali.

2) Supponiamo che la caratteristica di A sia uguale a quella di A’.

● Se r(A) = r(A|B), allora B è linearmente dipendente dalle colonne di A

● Quindi esistono tc

, , , ..., ∈ ℜ

1 2 3

+ + + ... + =

1 2 3

1 2 3

per cui il sistema è risolubile.

Riduzione di un sistema tramite il teorema:

● Nell’ipotesi che A e A’ abbiano la stessa caratteristica, trasformiamo il

sistema in un sistema quadrato ad esso equivalente.

● Sia M la sottomatrice di A e A’ usata per determinare il valore r della

loro caratteristica comune.

● Cambiamo l’ordine di scrittura delle equazioni e dei loro singoli

addendi, in maniera che le righe e le colonne di M siano le prime r

righe e le prime r colonne del sistema.

● Eliminiamo dal sistema le m-r equazioni, i cui coefficienti non

appartengono a M.

● Trasportiamo al secondo membro le n-r incognite i cui coefficienti non

appartengono a M.

● A questo punto abbiamo: , cioè un sistema di r equazioni

' = '

nelle r incognite essenziali . Le altre n-r incognite

, , ...,

1 2

vengono trattate come parametri. −

∞

● Riassumiamo dicendo che il sistema ammette soluzioni:

○ se r=m: la soluzione è unica sistema determinato

⇒

○ se r<m: infinite soluzioni sistema indeterminato

⇒

→ n-r è il grado di indeterminazione

Regola di Cramer:

Sia il sistema lineare quadrato di r equazioni nelle r incognite

' = '

essenziali associato ad un sistema risolubile. Allora la

, , ..., =

1 2

generica soluzione risulta:

= , = 1, ...,

dim:

● = [ ] = [ | | .. . | ]

(, ) 1 2

● complemento algebrico

*

● = [ ]

*

● matrice aggiunta di M

( )

Sappiamo che valgono le seguenti uguaglianze:

* *

< (), [( ) ] > = < (), ( ) > = Σ =

ℎ ℎ

● , se

= ℎ

● 0, se ≠ ℎ

Di conseguenza abbiamo:

Se , abbiamo:

≠ 0

Il sistema diventa:

' = ' -1

cioè l’incognita x si ottiene moltiplicando la riga i di M per il vettore colonna

i

B’.

Osserviamo che

* *

< [( ) ], ' > = < [( ) ], ' > = ' + ' + ... + '

1 1 2 2

Ciò corrisponde al determinante della matrice , ottenuta

= [ | | .. . | ]

1 2

rimpiazzando C con B’.

i

Si ottiene così:

= , = 1, ...,

Sia un sistema lineare, si chiama sistema lineare omogeneo il

def: =

sistema .

= 0

un sistema omogeneo è sempre risolubile, perché A e A’ hanno sempre lo

NB:

stesso rango. Ammette sempre la soluzione banale

Teorema:

Le soluzioni di un sistema non omogeneo sono le traslate del sistema

omogeneo, quindi sommando una soluzione particolare del sistema iniziale a

una soluzione del sistema omogeneo, si trova sempre una soluzione del

sistema iniziale.

dim:

● Sia il sistema omogeneo associato ad un sistema lineare

= 0

.

= *

● Supponiamo che x sia una soluzione del sistema omogeneo mentre x

0

una soluzione di (soluzione particolare).

=

*

● Sia y = x + x .

0 * *

● Consideriamo: .

= ( + ) = + = 0 + =

0 0

Interpretazione geometrica della soluzioni di un sistema lineare

= 2

r(A|B) = 1 soluzioni piani coincidenti

⇒

⇒ ∞

r(A) = 1 r(A|B) = 2 non esistono soluzioni piani paralleli

⇒

⇒ 1

r(A|B) = 2 soluzioni rette coincidenti

⇒

⇒ ∞

r(A) = 2 r(A|B) = 3 non esistono soluzioni rette parallele

⇒

⇒ 0

r(A|B) = 3 soluzioni rette secanti

⇒

⇒ ∞

r(A) = 3 r(A|B) = 4 non esistono soluzioni rette sghembe

⇒

⇒

SPAZI VETTORIALI

Sia A un insieme, e sia * un’operazione binaria interna tc

def: *: × →

si definisce struttura algebrica.

(, *)

Possiamo dotare A di diverse operazioni interne.

si definisce gruppo se presenta le seguenti caratteristiche:

(, *)

● è associativa:

* ∀, , ∈ : * ( * ) = ( * ) *

● presenta l’elemento neutro (u):

*

∃ ∈ * = * = , ∀ ∈

● presenta l’elemento inverso ( ):

* '

∃' ∈ * ' = ' * = ∀ ∈

Semigruppo = con associativa.

def: