Appunti riassuntivi Geometria e algebra lineare

Dalla geometria all'algebra dei vettori

Vettore: Corrispondenza tra numeri retti e V: è un rett.

Vettore applicato: segmento AB insieme al verso della retta, che passa per A e B

I vettori hanno 4 caratteristiche:modulo, direzione, verso, punto di applicazione

AB∥CD ⇒ stessi: modulo e verso ⇒ equivalenti

Vettore nullo ⇒ O, modulo O, O∥V qualsiasi.

Vettore libero ⇒ Vettore applicato a meno di:equivalenti e senza punto di applicazione

Operazioni tra vettori => somma, sottrazione, prodotto per scalare

Proprietà

• V1 Commutativa v+u=u+v
• V2 Associativa (u+v)+w=u+(v+w)
• V3 Elemento neutro v+O=V
• V4 Elemento opposto ∃ -v: v+(-v)=O
• V5 Distributiva rispetto alla somma tra vettori
• t(u+w)=tu+tw
• V6 Distributiva rispetto alla somma tra scalari
• (s+t)v=sv+tv
• V7 Compatibilità tra prodotti
• (ts)v=t(sv)
• V8 Moltiplicazione per il modulo
• t=v = (ltf)v=tv

Legge di cancellazione

v+u=w+u => v=w

Legge di annullamento

tv=O => t=O o v=O

Sistemi di riferimento e coordinate

v≠O e w//v => ∃t∈R t.c w=tv

v ± u || || v

Sistema di rif. in v (O,v)

Ogni vettore appartenente a u uguale av. = tv

Sistema di rif. in un piano H(O, u, v)

O => origine

u ∪ v, u // H, u || H, v

Le componenti sono lineari

v (v, v + ty) = t1 v1 + t2v2

U punto P può essere definito con OPv=OP e v=∑uvy

Componenti di un vettore

w∈H, w||H (⇔) w componi lin di u e vw = xyu+yv

xy sono componenti, o coordinate, di un vettore

Sistema di rif nello spazio S(O, r , p, z)

U.v.w sono linearmente dipendenti se

∂u + b v + cw = θ

∂/e nor. cut_: null:

u, v, w sono linearmente indipendenti

u, v, w, se v=θ ∪ ∂u ∪ w e w=pu+0v

v = σ∂z ∪ v = σχ∂2 ∪ w = στz

A, B, C non si trovano sullo stesso piano

Sist. rif. nello spazio S

- O é l'altro origine

- i, j, k vettoreline indipendenti, sono la base del sist. rif.

Le rette per o dirette t1 i, t2 j, t3 sono l' assi:

OP é arbitrio. OP = t1 i + t2 j + t3 k

Versori

vettori con modulo 1 e versore =

Due vettori v e w formano due angoli di convesso α concavo

v | w ⇒ cos(α) = 0 o α π ⇒ cos(α) = ±1

se sono orto coni cos(α) = 0; cos(αt) = 0

Due vettori ortogonali vale il Teorema di Pitagora:

Teorema di Pitagora

||v + w||² = ||v||² + ||w||²

Sistema di rif. ortosìrono

Un sist. rif. (o; i, j, k) e auto orthonormale;

- i . j = 0 ortogonale;

- i . j かしら, j^, k^ = 1くけ

formano uno turno destroso

x,y,z sono ascissa, ordinata è quota sono cordinate cartesiane

Modulo in coordinta cartesiane

||v|| = √(x^2 + y^2 + z^2) ⇐− teorema di Pitagora

Prozione ortog e prodotto scalare

V_w é la proizione orthogale di V in direzione w

V − V_w

S_w = <v,x> = v.α

V_w = cos(α)||v||||w||

V_w = V - V_w

V_w = (v・w/||w||) w/||w||²

Cos(α) = (v・w)/||v||||w||

Pronto escalar

v・w=|v||w|cos α

S_c a=α・π+KT

cos(α) ≠ 0 v・w ≠ 0

ι・j・j・j・j・j k・k・j = 1

ι・j・k・j・k・k・i・k = 0

V_c = V・w/||w||

Esempio

• V_c=(v・e)e

V_c = V_c

V_w = (2/3 3/3) [=] (3/2 -3)

V_w = V・w/||w||²

v- V_w

2+2

2-<(3/3

− (3/2)

V_r (v - v_c)- = 0

Equazione cartesiana del piano per A

Con _u=^(a,b,c)_T non nullo,H: ax+by+cz=d

Equazione del piano per tre punti non allineati

Con H che passa per A,B,C_n=^v×w dove v= ^AB_→ e w=^AC_→

E l’equazione cartesiana è _a +_b + _c

v·n=0 => v·^(v×w)=0, dove v= ^OA_→

Esempio

A(1,0,-1) B(2,1,2) C(-1,2,4)

Si: riscrivo x

x=-y+²/₃z=5/3

H passa per A(5h,0,0) ed penso a _d

v=^1,1,0_T e w= ^2,3,0_T

Equazione cartesiana di una retta in spazio S(3D)

Con H₁ e H₂ incidentali e formati con la con equazione cartesiana)

r: { H₁: a₁x+b₁y+c₁z=d₁H₂: a₂x+b₂y+c₂z=d₂

H₁: _n1=^{(a₁,b₁,c₁)}_TH₂: _n2=^{(a₂,b₂,c₂)}_T

H₁ e H₂ sono incidenti: <=> n₁ x n₂ ≠ 0n₁ x n₂ è il vettore diretrion di r

Proposizione da cartesiana a parametrito bisognorisolventa il system delle due equazioni

Esempio

r: { x+2y+3z=1 x-5y+z= 2}

Posizione tra un piano ed una retta in S

Con piano H con vettore normale v ed r convettore direttore v_r ed H sono:

• Incidenti: Se intersecano in un punto
• Paralleli: Se v || H

v || H <=> v∉H <=> v·n=0

Esempio

H: 3x+3y-2z=5 r: { x=1+1 A(1,2,3) v=^(1,4,0)_T

n=^(3,2)_T

n·v=⁰ <=> H‖H <=> n.v = 0v: | 2x -2 +3y | z-3 | 1x-2+z- | | t | 2t

Definizione:

Il sistema lineare Ax=b (r=n(A), e r=n(A|b))

• Determinato => unica soluzione => x=y=1
• Sottodeterminato => infinite soluzioni => x>1, y<n
• Sovradeterminato => incompatibile => x+y>(n+1)

Esempi

In (R²) le eq. cartesiane di due rette formano un sistema:

Determinato, => coincidenti pas diversi

Rette, => paral late dist, sotto determinato => coincidenti

Sovradeterminato =>

In (R²) le eq cartesiane di due piani:

1. sotto determinato, => piani coincidenti coincidenti
2. sovradeterminato => piani sovrapposti
3. paralleli dist

1. (x₁+x₂+x₃)(x₁+x₂+x₃=0)
2. (x₁+x₂-x₅)(x₂+x₂+x₃=10)
3. ((x+tx)=3)r+b)

Note:

• Se A è una matrice quadrata, se e solo se essa è anche triangolare alta.

Esempio:

U=[* * * ***** 0 0]s

Teorema di Cramer

Se A è quadrato di ordine n, u sia K;Se r(A)=n=>∀b∈K, Ax=b ammette un'unica soluzione.

U=sost ott,ut,di A, x=*n*n; con n pivott

Peso amm;ue b∈Kⁿ; b riduzione a sost (b;|A|b)

Note:

• Rango: r NFG h_j forma U
• N=r(A|b)r(A)

Per il teorema di Rouch-Cap e il sistem è compatibile cfg un'unica soluzione

Esempio

{2x+x=b4x+2x=bb} [01|1] r=2, unica soluzione

Note:

[0 2 3][0 4 8]

Note:

• α=0 =>
• r=1
• α≠0 => [2 3]r=2