Appunti riassuntivi Geometria e algebra lineare

Dalla geometria all'algebra dei vettori

Vettore: Corrispondenza tra numeri retti e parti di una retta

Vettore applicato: Segmento AB insieme al verso della retta, che passa per A e B

I vettori hanno 4 caratteristiche: modulo, direzione, verso, punto di applicazione.

AB//CD stesso modulo e verso equivalenti

Vettore nullo 0, modulo 0, 0//v qualsiasi

Vettore libero = Vettore applicato = nome di equivalenza e senza punto di applicazione

Operazioni tra vettori: somma, sottrazione, prodotto per scalari

Proprietà

• V1 Commutativa v+u=w=w+v
• V2 Associativa (u+v)+w=u+(v+w)
• V3 Elemento neutro v+0=v
• V4 Elemento opposto ∃ -v: v+(-v)=0

V5 Distribuzione rispetto somma dei vettori t(u+v)=tu+tv

V6 Distribuzione rispetto somma tra scalari (s+t)v=sv+tv

V7 Compatibilità tra prodotto s(tv)=(st)v

V8 Monotonia rispetto a prodotto t≥s ⇒ f(m)≥f(n)

Leggi

Legge 1: cancellazione v+u=w+u ⇒ v=w

Legge 2: annullamento tv=0 ⇒ t=0 o v=0

Sistemi di riferimento e coordinate

v ≠ 0 e w//v ⇒ ∃ t∈R t.w=v

t = w∥w∥ / v∥v∥

Sistema di riferimento in r

Ogni vettore appartenente, il suo verso è w=t.x

Sistema di riferimento in un piano H (o,u,v)

O => origine

u∧v.u/∥H∥/v

Le componenti sono lineari: u.(w1+w2)=u.w1+u.w2

Un punto P può essere definito con OP̅

w=OP e w=xu+yv

Componenti di un vettore

w∈H, w//H (⇔) non coliniari di u e v

w=xu+yv

x,y sono componenti o coordinate di un vettore

Sistema di riferimento nello spazio S (o,u,v,w)

u,v,w sono linearmente dipendenti se

au+bv+cw=0

a,b,c non tutti nulli

u,v,w sono linearmente indipendenti se

v≠0, w≠0 e w ≠ xu+yv

u = ∇OA, v = ∇OB, w = ∇OC A,B,C non si trovano sullo stesso piano

Dalla geometria all’algebra dei vettori

Vettore: Corrispondenza tra numeri retti e parti di una retta

Vettore applicato: segmento AB insieme al verso della retta, che passa per A e B

I vettori hanno 4 caratteristiche: modulo, direzione, verso, punto di applicazione

AB//CD stessi modulo e verso ⇒ equivalenti

Vettore nullo = 0, modulo 0, 0//v qualsiasi.

Vettore libero ⇒ Vettore applicato a meno di equivalenti e senza punto di applicazione

Operazioni tra vettori = somma, sottrazione, prodotto per scalare

Proprietà

• V1 Commutativa v+u = u+v
• V2 Associativa (u+v)+z = u+(v+z)
• V3 Elemento neutro v+0 = v
• V4 Elemento opposto ∃ -v: v+(-v) = 0
• V5 Distributiva rispetto somma dei vettori t(u+v) = tu + tv
• V6 Distributiva rispetto somma tra scalari (s+t)z = sz + tz
• V7 Compatibili tra prodotto s(tz) = (st)z
• V8 Monotonia rispetto a prodotto t > 0 ⇒ f(t) = tv

Legge 1: _{cancellazione} v+u = v+w ⇒ u = w

Legge 2: _{sviluppamento} tv = 0 ⇒ t = 0 o v = 0

Sistemi di riferimento e coordinate

v ≠ 0 e w//v ⇒ ∃ t ∈ R t c. v = t.v

t = ±‖w‖/‖v‖

Sistema di rif. con v =

Ogni vettore appartiene al singolo :

w = t x

Sistema di rifer. in un piano H (o,u,v)

O = origine

u, v//v, u∥H//v

Le componenti hanno linearità: v(u₁ +v₂) = tv₁ + tv₂

Un punto P può essere definito con P:

w = OP e w = xu + yv

Component. di un vettore

w ∈ H, w//H ⇔ w contin in div: u e v

x, y sono componenti o coordinate di un vettore

Sistema di rif nello spazio S (O,i,j,k)

u, v, w sono linearmente dipendenti se

∂u + b y + cw = 0

a, b, c non tutti nulli

u, v, w sono linearmente indipendenti:

∀ v ≠ 0, u ≠ 0, e w ≠ {a}u + bv

u∥v ⇒ OP_a = VO_b = wO_z A, B, C non si

trovano sullo stesso piano

Sistemi di riferimento nello spazio S

• O è detto origine.
• i,j,k i versori mutuamente perpendicolari, sono la base del sistema di rif.

Le rette per O dirette i,j,k sono gli assi.

OP è definito: \( \overline{OP} = \overrightarrow{u} = t_{1} \overrightarrow{i} + t_{2} \overrightarrow{j} + t_{3} \overrightarrow{k} \)

Versori: \(\overrightarrow{v}\) vettori con modulo 1\u00C8 versore \(\Longleftrightarrow | \overrightarrow{t} | = 1\)

Due vettori \(\overrightarrow{v}\) e \(\overrightarrow{w}\) formano due angoli: \(\alpha\) convesso \(\beta\) concavo

\( \overrightarrow{v} || \overrightarrow{w} \Longleftrightarrow \alpha = 0 \ o \ \alpha = \pi \Longleftrightarrow \Rightarrow \cos (\alpha ) = \pm 1\)

Se \(\overrightarrow{v}\) e \(\overrightarrow{w}\) sono ortogonali vale il Teorema di Pitagora

Per due vettori ortogonali: \(