Geometria e algebra lineare

Algebra astratta

Insiemi

Un insieme A è una collezione di oggetti distinti a, detti elementi. La cardinalità di A è il numero degli elementi di A, e si indica con │A│. Siano dati A insiemi, contenenti ciascuno m elementi, si dice prodotto cartesiano degli n insiemi, l’insieme di tutte le n-uple (coppie, quadruple, quintuple ecc.) contenenti gli elementi di ciascun insieme. A x A x … x A1 2 n.

Relazioni

Una relazione n-aria è un sottoinsieme del prodotto cartesiano. A x B = {( , ) | ∈ , ∈ }.

Relazione di equivalenza

• Riflessiva: (a,a) R ∈
• Simmetrica: (a,b) R → (b,a) R ∈
• Transitiva: (a,b),(b,c) R → (a,c) R ∈

Classe di equivalenza

Siano A un insieme e R una relazione di equivalenza su A; la classe di equivalenza di a è il sottoinsieme di A definito come: [a] = {b A | b → a}.

Insieme quoziente

Sia A un insieme ed E una relazione di equivalenza su A; l’insieme delle classi di equivalenza rispetto a R contenute in A è detto insieme quoziente A|R.

Funzioni

Le funzioni sono speciali relazioni, che legano ogni elemento di A con un unico elemento di B. A → Dominio B → Codominio. Sia f: A → B una funzione; se a ∈ A, b = f(a) è l’immagine di a. Una funzione si dice suriettiva se l’insieme immagine di f corrisponde al codominio. Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio, hanno immagini distinte.

Polinomi

Un polinomio in una incognita x è una scrittura del tipo P(x) = a₀ + a₁x + … + a_nxⁿ. L’insieme di tutti i polinomi a coefficienti reali nella variabile x si indica con R[x]. Se K è un qualsiasi campo, i polinomi a coefficienti in tale campo appartengono a K[x].

Divisione di polinomi

Sia (A,B) ∈ K[x] x K[x], allora esiste un’unica coppia (Q,R) ∈ K[x] x K[x] tale che A = BQ + R e grado (R) < grado (B). Sia P(x) = (x - r) Q(x) tale che non sia divisibile per (x – r). m si dice molteplicità algebrica di r rispetto a P.

Operazioni

Un’operazione n-aria è una funzione che prende una n-upla e dà come risultato un elemento dell’insieme A_n+1.

Struttura algebrica

Considerate insieme, A insiemi e * operazioni, otteniamo una struttura algebrica. (A …, A* , …, *_n).

Gruppo

Un insieme e una operazione (G, *)

• Esiste l’elemento neutro: e*a = a*e = a
• Esiste l’elemento inverso: a * a^-1 = a^-1 * a = e
• Vale la proprietà associativa: a*(b*c) = (a*b)*c

Se G, vale a*b = b*a, allora (G,*) si dice gruppo commutativo o abeliano.

Campo

Un insieme e due operazioni (K, *, °)

• (K, *) è un gruppo abeliano con elemento neutro e
• (K\{e}, °) è un gruppo abeliano
• Vale la proprietà distributiva: a°(b*c) = (a°b) * (a°c)

Omomorfismo

Omomorfismo quando una funzione f tra due strutture algebriche commuta con le operazioni. Se f è invertibile, con f omomorfismo, allora f si dice isomorfismo.

Omomorfismo di gruppi

Definiti i due gruppi (A, *_a) e (B, *_b) e la funzione f: A → B, si dice omomorfismo di gruppi se all’immagine di a (risultato di a *_a a₂) attraverso f è b (risultato di f(a₁) *_b f(a₂))

f(a₁ *_a a₂) = f(a₁) *_b f(a₂)

Omomorfismo di campi

Definiti due campi (A, *, °_a) e (B, *, °_b) e la funzione f: A → B, si dice omomorfismo di campi se

f(a₁ *_a a₂) = f(a₁) *_b f(a₂) e f(a₁ °_a a₂) = f(a₁) °_b f(a₂)

Matrici

Definizione e operazioni

Dati due insiemi M={1,…,m} e n={1,…,n}, una matrice di ordine (m, n) ad elementi del campo K è una funzione A: M x N → K(i,j) → a_ij. L’insieme delle matrici di tipo (m, n) su campo K viene chiamato Mat(m,n;K).

• Matrice nulla: 0 : M x N → K; (i,j) → 0 (matrice con tutti elementi =0)
• Matrice identità: I : M x N → K; (i,j) → δ_ij dove δ_ij vale 1 se i=j e altrimenti 0.

Operazioni

• Somma (interna): Mat(m,n;K) x Mat(m,n;K) → Mat(m,n;K) ([a_ij], [b_ij]) → [a_ij + b_ij]
• Prodotto per uno scalare (esterna): K x Mat(m,n;K) → Mat(m,n;K) (t,[a_ij]) → [ta_ij]

Proprietà

Siano A e B due matrici Mat(m,n;K) e t₁, t₂ due scalari:

• (Mat(m,n;K), +) è un gruppo abeliano
• Distributiva
  • Somma: t(A + B) = (tA) + (tB)
  • Prodotto: (t₁ + t₂) A = (t₁ A) + (t₂ A)
• Omogeneità: t₁ (t₂ A) = (t₁ t₂) A
• Normalizzazione: 1 A = A

Prodotto riga per colonna

Il prodotto di due matrici A*B è possibile solo se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. *: Mat(m,p;K) x Mat(p,n;K) → Mat(m,n;K) ([a_ij],[b_ij]) → ∑ a_ijb_ij =1

• Associativo: (A*B)*C = A*(B*C)
• Distributiva rispetto alla somma: A*(B+C) = (A*B) + (A*C)
• Omogeneo rispetto al prodotto: t(A*B) = (tA) * B = A* (tB)
• I come elemento neutro. A * I = A

Matrice trasposta

Data una matrice A = [a_ij] ∈ Mat(m,n;K), si definisce la matrice trasposta A^T ∈ Mat(n,m;K). A^T: N x M → Mat(n,m;K) (j,i) → a_ij

• Involuzione: (A^T)^T = A
• Linearità: (t₁A₁ + t₂A₂)^T = t₁A₁^T + t₂A₂^T
• (A*B)^T = B^T * A^T

Metodo di eliminazione di Gauss

Il MEG afferma che è sempre possibile ridurre una matrice A ad una matrice a scala S attraverso una sequenza finita di operazioni elementari.

Pivot e matrice a scala

Data una matrice A ∈ Mat(m,n;K), si definisce pivot p il primo elemento diverso da zero della riga A_i. Il rango di A è il numero di pivot di A. R(i). La matrice A si dice a scala di rango r se:

• Ciascuna delle prime r righe di A contiene un pivot e le successive sono nulle
• La posizione (i,j) del pivot p_i è più a sinistra della posizione (i+1,j) del pivot successivo p_i+1.

Il rango di A è uguale al rango della matrice a scala S: rg(A) = rg(S).

Operazioni elementari sulle righe

• Permutazione: A → A_{R(i) R(j)}
• Moltiplicazione di una riga per uno scalare non nullo: A → t A_{R(i) R(i)}
• Somma di righe: A + t A → A_{R(i) R(j) R(i)}

Nucleo di una matrice

Ker(A) = {x ∈ Mat (n,1;K) | Ax = 0}

Matrice quadrata

Una matrice A ∈ Mat(n,n;K) si dice quadrata di ordine n. Il numero di righe è uguale al numero di colonne. Se a_ij = 0 per:

• i>j: A è triangolare alta. Se i≥j si dice strettamente alta.
• i<j: A è triangolare bassa. Se i≤j si dice strettamente bassa.
• i≠j: A è diagonale.

Infine, se:

• a_ij = a_ji: A è simmetrica.
• a_ij = -a_ji: A è antisimmetrica.

Matrice invertibile

Definite le matrici A, B, C ∈ {n;K} si dice che:

• B è inversa sinistra di A se B*A = I_n
• C è inversa destra di A se A*C = I_n

La matrice A si dice invertibile se esistono un’inversa sinistra B e un’inversa destra C uguali tra loro. In tal caso, B = C = A^-1 si dice inversa di A.

La matrice A ∈ Mat(n,n;K) è invertibile se e solo se rg(A) = n. In tal caso l’inversa è unica.

Unicità dell’inversa

Siano A ∈ Mat(n,n;K) e B, C inverse sinistra e destra, allora B = C = A^-1 ed essa è unica. Verifichiamo che B = C attraverso la seguente catena di uguaglianze: B = B*I_n = B*(A*C) = (B*A)*C = I_n*C = C, quindi se B e C esistono, sono uguali.

Sia C’ un’altra inversa destra di A → B = C’ ma B = C → C = C’.

Sia B’ un’altra inversa sinistra di A → B’ = C ma B = C → B = B’.

Matrici elementari e riduzione a scala

Attraverso le tre operazioni elementari effettuate sulla matrice identità, si costruiscono le matrici elementari.

• Matrice di permutazione P(i,j): scambio le righe R(i) e R(j) della matrice I_n
• Matrice T(i;t): moltiplico la riga R(i) di I per lo scalare t_n
• Matrice T(i,j;K): scambio la riga R(i) di I con la riga R(i) + tR(j)_n

Data A ∈ Mat(m,n;K), le operazioni elementari sulle righe sono equivalenti alla moltiplicazione a sinistra della corrispondente matrice elementare.

• Permutazione: P(i,j) * A
• Moltiplicazione per uno scalare: T(i;t) * A
• Sostituzione di una riga: T(i,j;t) * A

Segue che è sempre possibile trasformare una matrice generica A in una matrice a scala S, attraverso il prodotto a sinistra di una sequenza finita di matrici elementari.

Condizione sufficiente per l’invertibilità

È possibile ridurre la matrice generica A alla matrice identità I attraverso operazioni elementari sulle righe se e solo se rg(A) = n. (Solo se il rg(A) = n la riduzione a scala S di A avrà un pivot per ogni elemento della diagonale, che può diventare =1 effettuando una divisione)

• A è il prodotto di matrici elementari se e solo se rg(A) = n
• Se rg(A) = n allora A è invertibile.

Algoritmo di Gauss – Jordan

È possibile ottenere la matrice inversa di A compiendo la riduzione [A|I_n] → [I_n|A^-1]; applico cioè alla matrice composta [A|I_n] le operazioni elementari che riducono A all’identità. A * A^-1 = I_n → A * [A|I_n] = [A A|A I_n] = [I_n|A^-1] → [A|I_n] → [I_n|A^-1]

Condizione necessaria per l’invertibilità

Sia A una matrice quadrata con rg(A)<n, allora esiste B ∈ Mat(n,1;K) tale che il sistema lineare associato ad [A|B] non ha soluzione; riducendo a scala di A, avremo una riga (i) nulla, ciò rende la riga i di [A|B] = [0_1n|b≠0]. Segue che rg(A) < rg([A|B]) → sistema impossibile.

La matrice quadrata A con rg(A)<n, allora non esistono le matrici inverse destra e sinistra, quindi A non è invertibile.

Determinante e rango

Sottomatrice

Data una matrice A ∈ Mat(m,n;K), la sottomatrice A^ è la matrice con gli stessi elementi di A meno le righe R(i₁),…,R(i_k) e le colonne C(j₁),…,C(j_l).

Determinante

Data una matrice A ∈ (n,n;K) il determinante di A è la funzione Det: Mat(n,n;K) → K A → det(A) = |A| definita iterativamente su n nel seguente modo:

• n=1: det([a₁₁]) = a₁₁
• n>1: det(A) = ∑a_1jC_1j, dove C_1j = (-1)^i+j*det(A^ij) è detto complemento algebrico di a_ij

Teorema

Se il det(A)≠0 allora rg(A)=n

• [A|B] ha un’unica soluzione se e solo se det(A)≠0
• A è invertibile se e solo se det(A)≠0

Determinante ed operazioni elementari (MEG)

() ↔ ()